Cực trị trong mặt phẳng

Nguy ễn Minh H ải – THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẶT PHẲNG
Dạng 1. Cho điểm A và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho MA
min
.
Phương pháp.
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên (d).
-
M (d): MA MH.∀ ∈ ≥
-
min
MA MH⇒ =
khi M là hình chiếu vuông góc của A trên (d).
Ví dụ 1. Cho đường thẳng (d): x – 3y + 2 = 0. Tìm M trên (d) sao cho MA
min
.
a. A( 1; 2) b. A(2; 4) c. A(0; 1)
HD.
Dạng 2. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho MA+MB
min
.
Phương pháp.
TH1. A, B nằm khác phía so với (d).
- Gọi
I (d) (AB) I= ∩ ⇒
nằm giữa A và B.
-
M (d): MA MB AB IA IB.∀ ∈ + ≥ = +
-
min
MA MB AB M I.⇒ + = ⇔ ≡

TH2. A, B nằm khác phía so với (d).
- Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua (d).
-
1
M (d): MA MB MA MB.∀ ∈ + ≥ +
( A
1
, B khác phía)
-
min 1 min 1 1
MA MB MA MB A B M (d) (A B).⇒ + = + = ⇔ ≡ ∪
Ví dụ 2. Cho đường thẳng (d): x – 2y + 1 = 0. Tìm M trên (d) sao cho MA+MB
min
.
a. A(1; 2), B(2; 0).
b. A( 1; 2), B(2; 4).
HD.
a.
M (d) (AB)= ∩ =
b. A
1
là điểm đối xứng với A qua (d).

1
M (d) (A B)= ∩ =
Ví dụ 3. Cho đường thẳng (d): 2x – 3y + 1 = 0. Tìm M trên (d) sao cho MA+MB
min
.

a. A(1; 2), B(2; 0).
b. A( 1; 2), B(2; 4).
HD.
Dạng 3. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho
max
MA MB−
Phương pháp.
TH1. A, B nằm cùng phía so với (d).
- Gọi
I (d) (AB) | IA IB| AB.= ∩ ⇒ − =
-
M (d) :| MA MB| AB∀ ∈ − ≤
-
max
| MA MB| AB M I.⇒ − = ⇔ ≡
Nguy ễn Minh H ải – THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH
TH2. A, B nằm khác phía so với (d).
- Gọi A
1
là điểm đối xứng với A qua (d).
-
1
M (d):| MA MB| | MA MB|.∀ ∈ − = −
( A
1
, B cùng phía)
-
max 1 1
| MA MB| A B M (d) (A B).⇒ − = ⇔ ≡ ∩
Ví dụ 4. Cho đường thẳng (d): x – 2y - 2 = 0. Tìm M trên (d) sao cho |MA-MB|

min
.
a. A(1; 2), B(2; 0).
b. A( 1; 2), B(2; 4).
HD.
Ví dụ 5. Cho đường thẳng (d): x – 2y + 1 = 0. Tìm M trên (d) sao cho MA+MB
min
.
a. A(1; 2), B(2; 0).
b. A( 1; 2), B(2; 4).
HD.
Dạng 4. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm M trên (d) sao cho
2 2
min
n.MA m.MB+
Phương pháp.
- Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số.
- Đặt tọa độ M trên (d) phụ thuộc ytham số t.
- Tính biều thức:
2 2
n.MA m.MB f (t)+ =
là một tam thức bậc 2 với hệ số a > 0.
- Đánh giá f(t) để tìm GTNN.
Ví dụ 6. Cho A(0;2), B(1; 0), C(2; -1) và đ/thẳng (d): 2x - y + 3= 0. Tìm M trên (d) sao
cho:
a.
2 2
min
MA 2.MB+
b.

2 2
min
2.MA m.MB−
c.
2 2 2
min
MA MB MC+ +
HD.
Dạng 5. Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm M trên (d) sao cho
min
n.MA m.MB+
uuuur uuur
Phương pháp.
- Viết phương trình đường thẳng (d) dạng tham số.
- Đặt tọa độ M trên (d) phụ thuộc ytham số t.
- Tính biều thức:
min
n.MA m.MB f(t)+ =
uuuur uuur
là một tam thức bậc 2 với hệ số a > 0.
- Đánh giá f(t) để tìm GTNN.
Ví dụ 7. Cho A(0;2), B(1; 0), C(2; -1) và đ/thẳng (d): 2x + y + 3= 0. Tìm M trên (d) sao
cho:
a.
min
MA 2.MB−
uuuur uuur
b.
min
2.MA MB 3MC+ −

uuuur uuur uuur
HD.
Nguy ễn Minh H ải – THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH
Dạng 6. Cho đường tròn
2 2 2
(C) : (x a) (y b) R .− + − =

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho Ax + By + C đạt GTLN, GTNN ?
Phương pháp. Áp dụng BĐT Bunhia.
- Ta có:
Ax By C A(x a) B(y b) (C aA bB)+ + = − + − + − −
- BĐT:
2 2 2 2 2 2 2 2
[A(x a) B(y b)] (A B )[(x a) (y b) ] (A B ).R− + − ≤ + − + − = +
-
2 2 2 2
R A B A(x a) B(y b) R A B⇒ − + ≤ − + − ≤ +
-
2 2 2 2
C aA bB R A B Ax By C C aA bB R A B⇒ − − − + ≤ + + ≤ − − + +
Ví dụ 8. Cho đường tròn
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 4.− + + =
Tìm M( x, y) trên (C) sao cho:
a. x + y đạt GTLN, GTNN.
b. x – 2y + 1 đạt GTLN, GTNN.
HD.
Ví dụ 9. Cho đường tròn
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 4.− + + =

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho d(M, (d)) đạt GTLN, GTNN:
a. (d): x – y + 1= 0. b. (d): 2x + y – 1= 0.
HD.
Dạng 7. Cho đường tròn
2 2 2
(C) : (x a) (y b) R .− + − =

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho
2 2
x y+
đạt GTLN, GTNN ?
Phương pháp.
- Có:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P x y (x a) (y b) 2(ax by) (a b ) R (a b ) 2 (a b ).P= + = − + − + + − + ≤ − + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
P x y (x a) (y b) 2(ax by) (a b ) R (a b ) 2 (a b ).P= + = − + − + + − + ≥ − + − +
- Đánh giá để tìm GTLN, GTNN của P.
Ví dụ 10. Cho đường tròn
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 4.− + − =

Tìm M( x, y) trên (C) sao cho
2 2
x y+
đạt GTLN, GTNN ?
HD.
Dạng 8. Cho đường tròn

2 2 2
(C) : (x a) (y b) R− + − =
và điểm M nằm bên trong đường
tròn.
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và Cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho:
1. AB ngắn nhất.
2. d(I, (d)) lớn nhất.
Phương pháp.
Gọi H la hình chiếu vuông góc của tâm I trên (d), khi đó: d(I, (d)) = OH ≤ AB.
Đồng thời có:
2 2
min max
AB 2.AH 2 R IH AB IH IM= = − ⇒ ⇔ =
Vậy cả hai trường hợp đều xảy ra khi và chie khi M là hình chiếu vuông góc của I trên (d).
Ví dụ 11. Cho đường tròn
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 4− + − =
và điểm M( 2; 3).
1. CMR đường thẳng (d) bất kỳ đi qua M luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
2. Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho AB ngắn nhất.
3. Viết phương trình (d) sao cho d(I, (d)) lớn nhất.
Nguy ễn Minh H ải – THPT L ê Xoay – Ôn thi TN – ĐH
HD.
Ví dụ 12. Cho đường tròn
2 2
(C) : (x 1) (y 2) 9− + + =
và điểm M( 3; -1).
1. CMR đường thẳng (d) bất kỳ đi qua M luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
2. Viết phương trình đường thẳng (d) sao cho AB ngắn nhất.
3. Viết phương trình (d) sao cho d(I, (d)) lớn nhất.

HD.

Dạng 9. Cho điểm
0 0 0 0
M(x ;y ) O(0;0); x ,y 0.≠ >
Viết phương trình đường thẳng (d) đi
qua M và cắt Ox, Oy tại A(a; 0) và B(0; b) phân biệt sao cho:
1. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. 2. OA + OB ngắn nhất.
3. d(M; (d
1
)) nhỏ nhất. 4.
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất.
Phương pháp. – (d) có dạng:
0 0
x y x y
1 1 (1).
a b a b
+ = ⇒ + =
1.
1
S(OAB) ab.
2
=
Áp dung BĐT Côsi:
0 0 0 0
0 0

x y x y
1 2 . ab 4x y
a b a b
= + ≥ ⇒ ≥
2. Từ (1) ta thế a theo b. Khảo sat hàm theo biến b, từ đó tìm GTNN.
3. Ta có
1 1
d(M,(d )) OM d(M,(d )) OM≥ ⇒ =
khi M là hình chiếu vuông góc của O trên
(d
1
).

OM⇒
uuuur
là vtpt của đt(d
1
).
4. Có:
2 2 2
0 0
0 0
2 2 2 2 2 2
0 0
1 1 x y 1 1 1
( )(x y ) ( ) 1 ( )
a b a b a b (x y )
+ + ≥ + = ⇒ + ≥
+
Ví dụ 13. Cho điểm M( 1; 9). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt Ox, Oy

tại
A(a; 0) và B(0; b) phân biệt sao cho:
1. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. 2. OA + OB ngắn nhất.
3. d(M; (d
1
)) nhỏ nhất. 4.
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất.
HD.
Ví dụ 14. Cho điểm M( 4; 9). Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và cắt Ox, Oy
tại
A(a; 0) và B(0; b) phân biệt sao cho:
1. Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất. 2. OA + OB ngắn nhất.
3. d(M; (d
1
)) nhỏ nhất. 4.
2 2
1 1
OA OB
+
nhỏ nhất.
HD.
vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv.