LUY THUA DAI SO LOP 7

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

LUỸ THỪA
Kiến thức cơ bản:
1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
xn  
x
.x
.x ....
x

 x  Q; n  N, n  1

n thõa sè x
n

a
an
a
Nếu x  th ×    n
b
b
b

 a, b  Z, b  0 

Qui ước x0 = 1 (với x  Q, x  0)
2.Tính chất.
Với x, y  Q; m, n  N * ta có
x m .x n  x m  n
x m : x n  x mn

x 
m

n

 x. y 

n

 x  0; m  n 

 x m .n
 x n .y n

n

x
xn

 
yn
y

 y  0

Nâng cao:
1. Luỹ thừa với số mũ nguyên âm.
xn 

1
xn

 x  0

2. So sánh hai luỹ thừa
a) Cùng cơ số: Với m > n > 0 thì.
x > 1  xm > xn
x = 1  xm = xn
0 < x < 1  xm < xn
b) Cùng số mũ: n  N*
* Với x, y > 0 nếu x > y  xn > yn
* x > y  x2n+1 > y2n+1
* x  y  x2n > y2n
* (-x)2n = x2n
* (-x)2n+ 1 = -x2n + 1
1


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

BÀI TẬP
Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số .
1) 123: (3-4.64)
1

5

6

3
7
5
343 
2)   .   .   : 

 7   3   3   625 

2

2
10) 2 2.23.  
3

11) 32.

3) 54.125.(2,5)-5.0,04

1
1
.812. 3
243
3
2

5)



13) 46.256 2.2 4

22.4.32
2 2.25

6) 9.33.

2

1

14) 2.4.16.   .23
2

1
81

7) 34.35:

1
3

12)  32  . 5 .27

1 

4) 4.25 :  23. 
 16 



2

15) 4 6.4 4.  23.2 4 

1
27

16)  32  .

1 4
8) 2 .9. .  
54  9 

1

1
243

2

2

 1 8 16  81
17)  : :   :

 9 27 48   128

3

 1  2

 2  .2 .8
9)   2 . 22
23 .16

18) a) 99...9 + 1

(có n thừa số 9)

3

 

 

Bài 2: Tính
2

5

1) 12   
3 6

2

0

1 1
14
15)  23 :  .  32.9  7.    5

2

1
5
3
2) 25.   .  2  
2

3) 2 4.  2 2 

2 8



 25 

3

16) 22   32   4 2.16  2.52
3

17) 2 3   52  .53  4 3.16  2

3

3

40

1

1
4)   :  
9 3

0

2

5

5) 25.   .  2 3 
2
6)  2  3
3

2

 2

3

2

1
1
1
18) 4     2     3     1
 2
 2
 2

10

2

3

1



1 2
17
19)  2 3 : 2  .  4 2.8  7.    19


2  3
0

 23 

1
2 1
20) 2  3.    2 2.  2  :  .8
2
2

3

2

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu
1

 4  3  3 2   2 
7)   .    :   
 3   4    3 

9)  5

5

2

0
 1  1  1  2
2


22)  0,1     . .  2

  7   49 



5

 2 2  .  4  2


8) 
3
2
 2  .  2 



2

1

2

2

 0,7  .  5
 1
 2 3 



3

2

2

25)  32    23    52 

2

5
2  3
 3  .   4  .  1
11)   2  3
2  5 
 5  .   12 
  


12)

1

0

2

3

20

27)  2   22   1   2 

3

2
2
3
28)  32    52    2  

4



0

13)  3  33   3
24
14) 3  105.  
 51 

0

Bài 3: Tính
1

1

1

1) A   1  .  1  .  1  ...  1 
2
3
4
101






 



4

2) B   2 1  31  .  2 1  31    2 1.20  : 23
n

3) C   1 .  1
4) A   0,25

1

2 n 1

.  1

n 1

Với n  N

2
 4  2  5 3   2  3
 1
.  1   25.   :    :   
 4
 3   4    3 

 x 6  x  x 5

5) B   x  4 

 x 5 x 6 
2

0

2



2 1
2
29) 2  8  2  :   2 2.4   2 
2

4

0

2

1

2

1
6

1
26)           : 2
 3
 7 2

5
 1
.  1  .  1
 2

2

1

2
2
2
24) 6.     3.     2     4
 3
 3
 3

 4  2  3 3   2 3
10)   .    :  
 3   4    3 

2



1

: 25 


23) 6.     3.     1 :    1 
 3    3 
  3 

 . 1  . 1
  2  105

3

3

 

2

1

0

1
6
1
21)          : 2
3
 7 2

biết x = 7
3

6) D   1 1 .  1 ...  1

99

HD:

3


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu
1
2
 3 2  4 3   3 3
247
7
1  5
1) A    .    25   .    :     ... 
4
60
60
4 4
 4   5    2 
1

2) B  32  9
2

3) C = (-1)4n+2 =  1 



2 n1

=1

6) D = (-1) 1 + 2 + 3 + ... +99
Mà 1 + 2 + 3 + ... + 99 =

1  99  .99  4950
2

Do đó D = (-1)4950 = 1
Bài 4: Tính
3

3

a)  5  1  2  ;
2
 1
d)  6   
3
 3

b)  5  8  3  2 

2

;

1  2  3  4 
e)

;

3

c )  4  9  1  3 

2

13  2 3  33  43

Hướng dẫn.
a) ĐS: 512 ; b) 5832
c) 4913;

d) 0

e) 1
Bài 5: Tính nhanh
a) A = 1945(1.9.4.6)(1.9.4.7)...(1.9.9.2)
b) B = (100 - 12)(100 - 22)...(100 - 252)
Hướng dẫn:
a) Số mũ chứa thừa số 1.9.5.0 = 0  A = 1
b) Tích chứa thừa số 100 - 102 = 0  B = 0
Bài 6: Không dùng máy tính, hãy tính :

2

3

 2
 2
 2
1) A  6.    12.    18.   ;
 3
 3
 3
2) B = (18.124 + 9.436.2 + 3.5310.6) : (1 + 4 + 7 + … + 5896).
2

4
3


 81,624 : 4  4,505   125
3
4


3) A 
2
2
 11


 

2  13
:
0
,
88

3
,
53

(
2
,
75
)





:
25





 25


4


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

HD:
2
3
2
 2
 2
 2
 2
 2  2 
1) A  6     12     18     6    1  2     3    
 3
 3
 3
 3  
 3   3  

 4 4
  4 1      4.1   4 ;
 3 3
2) B  (18.124
 9.436.2
 3.5310.6)
 4
7 
 ...  5869)



 : (1

M

N

M = 18(124 + 436 + 5310) = 18.5870 ;
Tổng N có (5869 – 1) : 3 + 1 = 1957 số hạng nên

N

(1  5869).1957 5870.1957

2
2

 B M:N 

2.18.5870
36

1957.5870 1957

Bài 7: Tính
3

4

2

5
2  3
 3  .   4  .  1
1)   2  2 ;
2  5 
 5  .   12 
  


7

3

2 7 9  3 
 5  .5   4  :  16 
2)   7 2   
2 .5  512
3

3

 1   3 
 2    4   2 
3)     2
5
 3 3
2.  1    
4 8

2
1
4) 3 .   .  1 
 3  2

3

2

4

3  1
2    .  
4  2
5)
0
 1
1
10    
 8

3

2

4
4
6) 0,02 .10 .   .  0, 4 
 5

3

4

Bài 8: Tính
1)

4510.510
7510

215.9 4
2) 6 3
6 .8

3)

253.55
6.510

2

2

12)

46.95  69.120
84.312  611

42.252  32.125
13)

23.52

14)
5

219.273  15.4 9.94
6 9.210  1210


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

4)

25.63
82.92

15)

36.454  1513.59
27 4.253  456

5)

215.94
66.83

16)

45.94  2.69
210.38  68.20

6) 32

1
1
.812. 2
243
3




7)  4.2 5  :  23.

17)

1
16 

66  63.33  36
8)
73

9)

810  410
84  411

7

10)
11)

4

496.5  711
10

 7 

.5  2.495

18)

212.35  46.36
212.93  84.35

19)

5.415.99  4.3020.89
5.29.619  7.229.276

4924.12510.28  530.749.4 5
20)
529.162.7 48

 73



2

21)

493

153  5.152  53
183  6.182  6 3

22)

114.6  115 98.3  99 105  105.3
:
:
114  115 98.5  98.7 105.11
212.35  46.92

 2 .3
2

6

 84.35



510.73  255.492

125.7 

3

 59. 14 

HD:

212.35  46.92

10

510.73  255.492

212.35  212.34 510.73  5 .74

 12 6 12 5  9 3 9 3 3
3
22) 2 6
9
3
4 5
 2 .3  8 .3 125.7   5 .14 2 .3  2 .3 5 .7  5 .2 .7
212.34.  3  1 510.73. 1  7 
 12 5

2 .3 .  3  1 59.73. 1  23 
10

3

212.34.2 5 .7 .  6 

 12 5 
2 .3 .4
59.73.9
1 10 7
 

6
3
2

Bài 9: Tính.
1) A 

8
1 2 6
. 3 . 2
1125 10 3

2) B  512 
10

512 512 512
512
 2  3  ...  10
2
2
2
2
5

1
1
 2  .5   4  .3
 
3) C   
11
1 1 1
.  
1024 3  2 

6

3


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

1

1

1

1

1

1

1

1

 1

1

1

1 

4) D    2  3  4  .35   5  6  7  8  39  ...   97  98  99  100  .3101
3
3
3 
3 3 3 3 
3 3 3 3 
3
HD:
1) Sử dụng a-n =
1
2

2) B  512 1  


1
2

Đặt S = 1  

1
ĐS: -1
an

1 1
1 
 3  ...  10 
2
2 2
2 

1 1
1
 3  ...  10
2
2 2
2
1
2

Ta có 2S = 2 - 1  

1 1
1
1 1 1
1
 3  ...  9 = 1   2  3  ...  9
2
2 2

2
2 2 2
2

1 1 1
1
1 1 1
1
1
2S - S =  1   2  3  ...  9  -  1   2  3  ...  10   S = 10
2 2 2
2
2 2 2
2
2




 B = 512.





1
1
1
 512.


10
2
1024 2

10

10

10

1
1
1
 2  .5   2  .3
 2   5  3




3) C 
  10
 12
10
10
1 1 1 1 1 1 1
 2  .3  2  . 2  2   3  2 
 
 
  


1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1 1

4) D    2  3  4  .35    2  3  4  . 4 .39  ...    2  3  4  96 .3101
3 3 3 3 
3 3 3 3  3
3 3 3 3 3


33  32  3  1 5 33  32  3  1 5
33  32  3  1 5
.3

.3

...

.3
34
34
34
 40.3
 40.3  ...  40.3  120.25  3000

25 sohang

Bài 10: Cho H = 2 2010  2 2009  2 2008 ...  2  1 . Tính

2010H

HD:
Ta có 2H = 2 2011  2 2010  2 2009 ...  2 2  2
2H - H = 2 2011  2 2010  2 2010 .  2 2009  2 2009 ..  2 2  2 2  2  2  1
H

= 2 2011  2.2 2010  1

H  2 2011  2 2011  1  1  2010H = 2010

Bài 11: Rút gọn.
1) S  217  216  215  ...  2 2  2  1
2) A  2100  299  298  297  ...  22  2
7


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

3) B  3100  399  398  397  ...  32  3  1
4) A = 1 + 5 + 52 + 53 + ... + 549 + 550
HD:
1) Đặt S '  216  215  ...  2 2  2  1
 2 S '  217  216  215  ...  22  2
 2S' - S' = 2
 S=2

17

17

-1  S' = 217 - 1

- (217 - 1) = 1

2) Tính 2A = 2101  2100  299  2 98  ...  23  2 2
 3A = 2

101

-2  A=

2101  2
3

3) Tính 3B  4B = 1 + 3101  B 

1  3101
4

4) 5A = 5 + 52 + 53 + ... + 549 + 551
5A - A = 551 - 1
 A=

551  1
4

LOẠI 2: CHỨNG MINH VÀ CHỨNG MINH CHIA HẾT.
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau.
a)128.912  1816 ;

b)7520  4510.530

5
; c)

4

 53

125

Bài 2: Chứng minh rằng.
1) 76 + 75 - 74  55
2) 55 - 54 + 53  7
3) 76 + 75 - 74  11
4) 109 + 108 + 107  555
5) 109 + 108 + 107  222
6) 31995 + 31994 + 31992  37
7) 165 + 215  33
8) 5100 - 12533 - 2549  19
9) 817 - 279 - 913  45
10) 817 - 279 - 913  405
8

5



3



64
253

; d)

93

3

4

 33



2



1
4


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

11) 2454.5424.210  7263
Bài 3: Chứng minh rằng.
1) 210 + 211 + 212 : 7 là số tự nhiên
2) 810 - 89 - 88 : 55 là số tự nhiên
Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì.
1) 3n+2 - 2n + 2 + 3n - 2n  10
2) 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2  6
3) 4343 - 1717  10
4) 71000 - 31000  10
5) 20012001 + 19971996  10
6) (121980 - 21000)  10
7) (191981 + 111980)  10

8) 3636 - 910  45
HD.
1) 3n+2 - 2n + 2 + 3n - 2n = 3n(32 + 1) - 2n(2 + 1) = 3n.10 - 2n.5 = 3n.10 - 2n - 1.10  10
2) 3n + 3 + 3n + 1 + 2n + 3 + 2n + 2 = 3n + 1(32 + 1) + 2n + 2(2 + 1)
= 3n + 1.2.5

+ 2n + 2.3 = 3n.6.5 + 2n + 1. 6  6

3)
4343 = 43 40 . 433 = (434)10.433 = (...1)10.(...7) = ... 7
1717 = 1716.17 = (174)4.17 = (...1)4.17 = ...7
Vậy 4343 và 1717 có tận cùng bằng 0, do đó chia hết cho 10
4) Tương tự câu 3)
Bài 5: Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
a) Chứng minh S  3
b) Chứng minh S  15
c) Tìm chữ số tận cùng của S
HD:
a) S = 2( 1 + 2) + 23( 1 + 2) + ... + 299(1 + 2) = ... = 3(2 + 23 + ... + 299)  3
b) S = 2 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297( 1 + 2 + 22 + 23) = 15( 2 + 25 + ... 297)  15
c) Theo câu b) thì S  5 mặt khác S lại là số chẵn  S  2. Do đó S  5.2 = 10
9


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

Vậy S có chữ số tận cùng là 0
Bài 6: Cho A = 1 + 3 + 32 + 32 + ... + 399
a) Chứng minh A  4
b) Chứng minh A  40

HD:
a) Nhóm hai số hạng một nhóm ta được.
A = 4( 1 + 32 + 34 + ... + 399)  A  4
b) Nhóm 4 số hạng một nhóm ta được
A = 40(1 + 34 + 38 + ... + 396)  A  40
Bài 7: Cho A = 5 + 52 + 53 + ... + 5100
a) Chứng minh rằng A  126
b) Tìm chữ số tận cùng của S.
HD:
a) A = (51 + 54) + (52 + 55) + (53 + 56) + ... + (593 + 596)
= 5.126 + 52.126 + 53.126 + ... + 593.126  126
b) A  126  A là số chẵn mặt khác A  5  A  10
Vậy A có chữ số tận cùng là 0
Bài 8:
a) Cho số A = 3 + 32 + 3 3 + ... + 3100 Chứng minh rằng A chia hết cho 120
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương x thì.
A = 3x+1 + 3x + 2 + 3x + 3 + ... + 3x+ 100 chia hết cho 120
c) Cho tổng S = a + a2 + a3 + ... + an (n  N)
Với giá trị nào của n thì S chia hết cho a + 1 (a  -1)
HD:
b) Tổng có 100 số hạng nhóm 4 số hang một nhóm ta được 25 nhóm
A= (3x+1 + 3x + 2 + 3x + 3 + 3x + 4) + (3x + 5 + 3x + 6 + 3x + 7 + 3x + 8) + ... +
(3x + 97 + 3x + 98 + 3x + 99 + 3x+ 100)
= 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x + 4(3 + 32 + 33 + 34) + ... + 3x + 96(3 + 32 + 33 + 34)
= 3x.120 + 3x + 4.120 + ... + 3x + 96.120  120
c)* Nếu n lẻ thì
10


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

S = (a + a2) + (a3 + a4) + ... + (an - 2 + an -1) + an
= a(1 + a) + a3(1 + a) + ... + an - 2(1 + a) + an
Trong tổng trên coa an không chia hết cho a, các số hạng còn lại đều chia hết cho
a + 1. Vậy S không chia hết cho a + 1
* Nếu n chẵn thì
S = (a + a2) + (a3 + a4) + ... + (an - 1 + an )
= a(1 + a) + a3(1 + a) + ... + an - 1(1 + a)
Mỗi số hạng đều chia hết cho a + 1. Vậy S  a + 1
Vậy nếu n là số tự nhiên chẵn thì S  a + 1
LOẠI 3: TÌM X
* Tìm cơ số:
Chú ý: Nếu hai luỹ thừa bằng nhau mà số mũ chẵn thì cơ số bằng nhau hoặc đối
nhau.
Bài 1: Tìm x biết
1) (x - 2)3 = -27

12) (2x - 2)2 = 16

2) (x - 1)5 = -32

13) (3x - 2)2 = 81

3) (1 - x)3 = 216

14) (2x - 3)2 = 25

4) (x - 5)5 = 32

15) (2x - 1)4 = 81

5) (2x + 1)3 = 64

16) (2x - 1)6 = (2x - 1)8

6) (x + 5)3 - -64

17) (2x - 3)2 = 9

7) (3x - 2)5 = -243

18) (2x + 1)2 = 16

8) (2x + 1)3 = -8

19) (x + 2)2 = 36

9) 172x2 - 79: 983 = 2-3

20) (x - 2)8 = (x - 2)6

10) (7x + 2)-1 = 3-2

21) (4x - 3)4 = (4x - 3)2

11) (3x - 7)2009 = (3x - 7)2007
Bài 2: Tìmx biết.
2

1)  5x  1 

36
49

2

1
1
2)  x   
4
4


11


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu
3

3)  x  1 

1
27
1
9

4) (7x + 2)-1 =
3

2 2


5)  x     
3  3


6) 8 x  1

2 n 1

6

 52 n 1 voi n  N

2n

7)  3 x 2  51   24 

2n

 n  N *

HD:
7)Vì n  N* nên 2n là số mũ chẵn khác 0 nên.
3 x 2  51  24
 x 2  25
 x  5


 2
 2

 x  3
3 x  51  24
x  9

Vậy x  3; 5
Bài 3: Tìm x biết
5

3
3
1)   x   
5
5

7

2

1
1
3)   x   
2
2

3

3

1
1

2)    x 
18
 3

1
1
4)    x 
81
 3

Bài 4: Tìm x, y biết
1) x2 + y4 = 0
2) (x - 1)2 + (y + 2)2 = 0
3) (x - 11 + y)2 + (x - 4 - y)2 = 0
4) (2x + 3)4 + (3x - 2)3 = 0
4

1
5) x   y    0
10 

2

20

10

1
1
6)  x  5    y 2    0

4
2



7)  2 x  5

2000

  3y  4 

2008

0

2

1
2
8)   x    3 x  y   0
5


12

5


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

Bài 5: Tìm mối quan hệ giữa x, y biết
a) x4 = y4
b) x5 = y5
HD:
a) x =  y
b) x = y
* Tìm số mũ:
Bài 1: Tìm x biết
1) 2x = 16

10) 32x + 2 - 32x = 162

2) 3x + 1 = 9x

11) 52x + 1 - 2.52x0 = 375

3) 3x - 1 =
-2x

12) 2x + 2x+4 = 136

1
243
x

4) 81 .27 = 9
x

 8  2
5)     

 27   3 
-3

x

6) 5 .25 = 5

5

12

3x

13) 3x + 3x + 2 = 810
14)2x + 2x + 3 = 144
15) 3.52x + 1 - 3.25x = 300
16) 16x : 4x = 16
17) 2-1.2x + 4.2x = 72

1
3

7) .3 x  7.32.9 2  2.3 x

18) (22: 4).2x = 32

8) 5x + 5x + 2 = 650

19)4 3x + 2 = 4x + 5

9) 3x - 1 + 5.3x-1 = 162

20) 32x - 1 = 243

Bài 2: Tìm n biết.

6) 32.34.3n  37

1)

1 n
.27  3n
9

7)

2) 3-2.9n = 3n
n

9
3
3)     
 25   5 

1 n
.2  21.32.42  4.2 n
2

8) 2-1.2n + 4.2n = 9.25
4

9) 2 1.2 n  4.2 n  9.25
10) 32  n.16n  2048

1 n
.27  3n
9

11) .34.3n  37

5) 3-2.34.3n = 37

12) 32.3n = 35

4)

1
9

13) (22 : 4).2n = 4
Bài 3: Tìm n biết

4) 9.27 

1) 8 < 2n  2.32
13

1
 27.243
3n

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

5) 9.27  3n  243

1
 2n  4
4

2)

6) 25  5.5n  125

3) 8.27  6 n  36.4.9

7) 2.16  2n > 4
8) 32 < 2n < 128

Bài 4: Tìmx biết.

 

d ) 3x

2

: 33 

x

28
3
a)    4
3
4

 

e)5 x 53



2



b) 1, 782 x  2  1, 78 x : 1, 78x  0
c)5

x  2  x  3 

1

HD:
x

3 3
a)     
4 4

4

 x = -4

b) 1, 782 x 2  x  1, 78 x  x  0
 1, 78x 2  1, 780  x = 2

c) 5 x  2  x 3  5 0
 (x + 2)(x + 3) = 0

Bài 5: Tìmx biết.
2

x

 12   5 
 3
a)         
 25   3 
 5
 3
b)   
 4
4
c)  
5

3 x 1



2 x 7



4

256
81

625
256

HD:
x

x

2

9
81
 12 
 12  144  12 
a)   

  
   x = 2
25 625

615  25 
 25 
 25 
3 x 1

4

 3
 3
 
  

b)  4 
 4
 3 x  1  4  x  1

Bài 6 : Tìm x biết.
a)

1 2 3 4 5 30 31
. . . . ... .  4 x
4 6 8 10 12 62 64

14

1
243

 625

Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

b)

45  4 5  4 5  45 65  65  65  6 5  6 5  6 5
.
 8x
35  35  35
25  2 5

c)

7 x  2  7 x 1  7 x 52 x  52 x 1  52 x  3

57
131

HD:
a)

1 2 3 4 5
30 31
.
.
.
.
...
. 6  4x
2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 2

1.2.3.4...30.31
 22x
30 6
1.2.3.4...30.31.2 .2
1
 22x
2 36

b)

x  18

4.4 5 6.6 5
. 5  8x
5
3.3 2.2

46 66
. 6  23 x
6
3 2
6

6

6 4
3x
  .   2
 3  2

212  2 3 x  x  4

Bài 7: Tìm x biết
a) (x - 1)x + 2 = (x - 1)x + 4
b) (x - 7)x + 1 - (x - 7)x + 11 = 0
Bài 8 : Tìm x, y  Z sao cho
a) 1996x - 1995 = 1994y
b) 3x + 8 = y2
c) (x - 2y)2 + y2 = 169
x

x

3
4
d)       1
5 5

HD:
a) * Nếu x = 0  y = -1
* Nếu x  0  1996x - 1995 lẻ mà 1994y chẵn do đó đẳng thức không xảy ra
Vậy x = 0; y = -1
b) * Với x = 0  y2 = 9  y =  3

15


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

* Với x  0 thì Vế trái chia 3 dư 2  y2 chia cho 3 dư 2 đó là điều vô lí vì số
chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1
ĐS: (0; 3) , (0; -3)
c)
3
5

4
5

d) Ta thấy 0   1 ; 0   1 Do đó
3

x

4

x

3

2

4

2

* Nếu x > 2              1
5 5 5 5
x

x

2

2

3 4 3 4
* Nếu x < 2              1
5 5 5 5
2

2

3  4
* Với x = 2        1
5 5

Vậy x = 2
LOẠI 4: SO SÁNH LUỸ THỪA
Bài 1: So sánh.
1) 2300 và 3200

9) 1020 và 9010

2) (-32)9 vµ (-18)13

10) 0,110 và 0,320

3) 227 vµ 318

11) (-5)30 và (-3)50

4) (32)9 vµ (18)13

12) 6) (-32)9 và (-16)13

5) 5) 6416 và 1612
6) 334 và 520
7) 9920 và 999910

100

1
1
13)   va  
 16 
 2 
10

8) 321 và 231

1
14)  
 16 

1
và  
2

9) 230 + 330 + 430 và 3.2410

15) 715 và 1720
16) 5300 và 3500

HD:
1) 2300 = 8100

; 3200 = 9100

ta có 8100 < 9100  2300 < 3200
2) Ta có 329 = 245 < 252 = 1613 < 1813
9

13

 (-32) > (-18)

3) 227 = 89
16

500

50


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

318 = 99
9

9

 8 <9  2

27

< 318

4) 329 = 245 < 252 < (24)13 = 1613 < 1813
5) 334 > 330 = (27)10 > 2510 = 520
6) 715 < 815 = 320 < 1720
7) Cách 1:
9920 = 9910.9910

(1)

999910 = (99.101)10 = 9910.10110 (2)
Từ (1) và (2)  9920 < 999910
Cách 2:
9920 = (992)10 < (99.100)10 = 990010 <
999910
8) 321 = 320.3 = (32)10.3 = 910.3

(1)

231 = 230.2 = (23)10.2 = 810.2

(2)

Từ (1) và (2)  321 > 231
9) Ta có 430 = 230.230 = (23)10.(22)15 >
810.315 > (810.310).3 = 2410.3
Do đó 230 + 330 + 430 > 3.2410
Bài 2: Tính xem A gấp mấy lần B
a) A = 3,4.10-8 và B = 34.10-9
b) A = 10-4 + 10-3 + 10-2 và B = 10-9
HD:
a) A = B
b) A = 0,0111  A = 11100000.B
Bài 3: So sánh.
a) A = 20 + 21 + 22 + ... + 250 và B = 251
HD:
a) 2A = 21 + 22 + ... + 251
 2A - A = A = 2

51

- 1 < 251 = B

17


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

LOẠI 5: TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số
a) 421
b) 953
c) 3103

d) 84n + 1
f) 1423 + 2323 + 7023
Bài 3 : Tìm chữ số tận cùng của số có dạng.
n

a) A  22  1 với n  N; n  2
n

b) B  2 4  5

(n  1, n  N )

BÀI TẬP NÂNG CAO:
Bài 1: Tìm cặp (x, y) biết.
1

 x  x  y   48
a) 
y  x  y   1

24

3

 x  x  y   10
b) 
 y  x  y   3

50

HD:
a) Từ (gt)  x  x  y   y  x  y  


 x  y  x  y  
1
4

* xy x 
* xy

1
1

48 24

3
2
1
1
  x  y 
 xy
48
16
4

1
1
;y
12

12

1
1
1
 x
 y
4
16
6

b) Thực hiện phép trừ ta được x  y  

3
5

1 1
1 1
ĐS:  ;  ;  ; 
2 10
2 10


 



Bài 2: Tìm cặp (x, y) biết.
3x  5 
a) 


 9 

2008

 3 y  0, 4 


3



2010

0

18


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

Bài 3:
Chứng minh rằng không tồn tại 3 số hữu tỉ x, y, z nào thoả mãn đồng thời.
xy 

13
11
3
; yz 
; xz  

15
13
13

HD:
2

Từ (gt)   xyz  

13 11  3 
11
. .    
(1)
15 3  13 
15

Đẳng thức (1) không thể xảy ra vì (xyz)2 > 0
Vậy không tồn tại x, y, z thoả mãn ĐK đề bài.
Bài 4: Tìm các số hữu tỉ a, b, c thoả mãn.
a) ab = 2; bc = 3; ca = 54
5
3

4
5

b) ab  ; bc  ; ca 

3
4

c) a(a  b  c)  12; b(a  b  c )  18; c(a  b  c)  3
d) ab  c (1) ; bc  4a (2) ; ac  9b (3)
HD:
a) ab.bc.ca = 2.3.54
2

2

 (abc) = (6.3)  abc =  18

* abc = 18  a = 6; b =

1
c=9
3

* abc = -18  a = -6; b =

1
; c = -9
3

b) ĐS
3
4
a ; b ; c 1
4
5
3

4
a
;b
; c  1
4
5

c) Cộng từng vế 3 đẳng thức ta được (a + b + c)2 = 36  a + b + c =  6
a = -2; b = 3 c =5
a = 2; b = -3; c = -5
d) Nhân từng vế 3 đẳng thức ta được (abc)2 = 36abc
 abc(abc - 1) = 0

* abc = 0
19


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

Nếu một trong 3 số a, b, c bằng 0 thì hai số còn lại cũng bằng 0
* abc = 36
Từ (1)  c2 = 36  c =  6
Từ (3)  9b2 = 36  b =  2
Nếu c = 6 thì a và b cùng dấu nên a = 3, b = 2 hoặc a = -3, b = -2
Nếu c = 6 thì a, b trái dấu nên a = 3, b = -2 hoặc a = -3, b = 2
KL: Bộ số (a, b, c) thoả mãn ĐK là:
(0, 0, 0), (3; 2; 6), (-3; -2; 6), (3; -2; -6), (-3; 2; -6)
Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức.
4

1

a) A   2 x    1
3

b) B  1  3 x 

2008

 2009

Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức.
6

2 
4
a) A    x    3
15 
9
3

b) B  2009   x  6 
4


2008

Bài 7: Cho x + y = 2 Chứng minh rằng xy  1
HD:
Đặt x = 1 + m; y = 1 - m

Ta có xy = (1 + m)(1 - m) = 1 - m2  1
Dấu "=" xảy ra  m = 0  x = y = 1
Bài 8:
Cho 5 số tự nhiên a, b, c, d, e thoả mãn ab = bc = cd = de = ea.
Chứng minh rằng a = b = c = d = e
HD:
Chú ý rằng nếu hai luỹ thừa bằng nhau có cơ số (là số tự nhiên) khác nhauthì luỹ
thừa nào có cơ số nhỏ hơn sẽ có số mũ lớn hơn.
Giả sử a  b, chẳng hạn a < b (1) (trường hợp a > b chứng minh tương tự)
Từ ab = bc = cd = de = ea. và a < b  b > c, c < d, d > e, e < a, a > b điều này mâu
thuẫn với (1). Do đó a = b.
20


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu

Nếu a = b = 1  c = d = e = e
Nếu a = b  2 thì b = c = d = e.
Vậy a = b = c = d = e.
Bài 9: Tìm các số tự nhiên x và y, biết rằng.
a) 2x + 1.3y = 12x
b) 10x : 5y = 20y
c) 2x = 4y - 1 và 27y = 3x + 8
HD:
a) Từ (gt) 

22 x 3y
 x  2 x 1  3y  x  x  1  y  x  0  x  1; y  1
x 1
2

3

b) x = 2y
c) Tìm được x = 2y - 2 và 3y = x + 8
ĐS: x = 10; y = 6
2

3

4

98

1
1
1
1
1
1
Bài 10: Cho B =           ...      
2 2 2 2
2
2

99

Chứng minh rằng. B < 1
Giải:
1
2

Ta có 2B = 1  
 2B - B = 1 -

1 1
1
1
 3  ...  97  98
2
2
2
2
2

1
 B<1
299

Bài 11:
1) Cho C =

1 1 1
1
1
 2  3  ...  99 Chứng minh rằng C <
3 3 3
3
2

2)

3
5
7
19
 2 2  2 2  ...  2 2  1
2
1 .2 2 .3 3 .4
9 .10

3)

1 2 3
100 3
 2  3  ...  100 
3 3 3
3
4

2

HD:
1) Tính 3C rồi trừ cho C ta được 2C = 1 
2)

3
5
7
19
 2 2  2 2  ...  2 2

2
1 .2 2 .3 3 .4
9 .10
2

21

1
1
1
1
 C   99 
99
3
2 2.3
2


Nguyễn Đức Huấn - THCS Phan bội Châu
22  12 32  22 42  32
102  92



...

12.22
22.32
32.4 2
9 2.102

1 1 1 1 1 1
1
1
1
 2  2  2  2  2  2  ...  2  2  1  2  1
1 2 2 3 3 4
9 10
10


3) Đặt M =

1 2 3
100
 2  3  ...  100
3 3 3
3

 3M = 1 

2 3
100
 2  ...  99
3 3
3

1
1
1 1 1
 3M - M = 1    2  3  ...  98  99

3
3
3 3 3

 100
  3100


Theo bài 11 thì biểu thức trong ngoặc nhỏ hơn
2M < 1 +

1
3
 M<
2
4

22

1
nên
2