chuyên đề về hàm số

Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ



Vấn đề 1: Phép biến đổi đồ thò :

Phương pháp:
1) Dạng 1: Từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đồ thò (C
1
):
( )
xfy
=
, với các ghi nhớ:
* (C): y = f(x) và (C’): y = – f(x) đối xứng nhau qua Ox
* Viết
( )



<
≥
==
0
0
f(x) - f(x) khi
(x) f(x) khi f
xfy

* Đồ thò (C

1
) :
( )
xfy
=
được vẽ bằng các bước:
+ Giữ lại đồ thò (C) nằm phía trên x
+ Lấy đối xứng qua Ox của phần đồ thò (C) nằm phía dưới Ox
+ Hợp 2 phần đồ thò ta được đồ thò (C
1
):
( )
xfy
=
2) Dạng 2:Từ đồ thò (C):y = f(x) suy ra đồ thò của hàm (C
2
):
( )
xfy
=
với các ghi nhớ
*
( )
xfy
=
là hàm chẵn nên có đồ thò đối xứng qua Oy
* Ta vẽ đồ thò (C
2
) qua các bước:
+ Giữ lại phần đồ thò (C) bên phải Oy

+ Lấy đối xứng qua Oy phần vừa giữ lại của (C)
+ Hợp 2 phần đồ thò ta có đồ thò (C
2
):
( )
xfy
=
3) Dạng 3: từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đồ thò của hàm (C
3
):
( )
xfy
=
bằng cách
kết hợp dạng 1 và dạng 2
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục qua Oy (sau khi bỏ đi phần bên trái Oy.
Giữ nguyên phần bên phải, hợp của nó và phần lấy đối xứng là đồ thò (C
2
)
( )
xfy
=
+ Lấy đối xứng tất cả các phần đồ thò (C
2
) vừa kết hợp nằm dưới trục Ox lên
trên Ox
+ Giữ nguyên phần bên trên, lúc đó ta có đồ thò của hàm (C
3
):
( )

xfy
=
4) Dạng 4: Ta xét trường hợp đơn giản
Từ đồ thò (C) :
bax
CBxAx
y
+
++
=
2
(giả sử a > 0) suy ra đồ thò (C
4
)







>−<
+
++
−
>−>
+
++
=
+

++
=
0)a;(x
0)a;(x
a
b
bax
CBxAx
a
b
bax
CBxAx
bax
CBxAx
y
2
2
2

Qua các bước :

---1
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
+ Vẽ (C), và bỏ đi nhánh đồ thò của (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
a
b
x
−=
+ Lấy đối xứng phần (C) bên trái tiệm cận đứng (d):
a

b
x
−=
vừa bỏ đi qua d
• Tương tự với a < 0 (ta có thể nhân tử và mẫu với –1)
• Tương tự với các đồ thò (C
4
)
dcx
bax
y
+
+
=
hay
( )
( )
xQ
xP
y
=
... và các đồ thò
( )
( )
xQ
xP
y
=

hay

( ) ( )
...xQxPy
=
5) Dạng 5:Từ đồ thò (C): y = f(x) suy ra đường cong biểu diễn (C
5
):
( )
xfy
=
hay (C
5
):
( )
( )
( )( )
0
≥



−
=
xf:đk
xf
xf
y
qua các bước
+ Vẽ (C): y = f(x) và bỏ phần ở dưới trục Ox
+ Lấy đối xứng phần giữ lại qua trục Ox, (xuông phía dưới trục Ox)
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
( )
1
:
2
−
=
x
x
yC
b) Suy ra đồ thò
( )
1
:
2
1
−
=
x
x
yC
Giải: Đồ thò (C)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4

5
6
x
y
x=1
y=x+1
Đồ thò (C
1
)

---2
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)
Vẽ đồ thò
( )

1
:
2
2
−
=
x
x
yC
Đồ thò (C
2
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x+1
x=-1
Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)
Vẽ đồ thò
( )
1
:
2
3

−
=
x
x
yC

---3
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Đồ thò (C
3
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=-1
x=1
y=-x+1
y=x+1
Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)
Vẽ đồ thò
( )
1
:
2
4
−

=
x
x
yC
Đồ thò (C
4
)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
x=-1
Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)
Vẽ đồ thò
( )
1
:
2
5
−
=
x
x
yC


---4
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1



Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:

Phương pháp : Cho hai đường cong (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y= g(x)
Biện luận sự tương giao của (C
1

) với (C
2
)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
f(x) = g(x)
⇔
f(x) – g(x) = 0 (1)
* Giải và biện luận phương trình (1)
* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C
1
) với (C
2
)
- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C
1
) cắt (C
2
)
- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C
1
) tiếp xúc (C
2
)
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có

hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x
3
– 3x + 2 = m(x – 2) + 4
 (x – 2)( x
2
+ 2x + 1 – m) = 0 (1)

---5
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x
2
+ 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0
⇔
m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2
Ta có
m
=∆
′
m < 0

0
<∆
′
⇔
: (2) vô nghiệm
m = 0
0
=∆
′
⇔
: (2) có nghiệm kép x = – 1
0 < m ≠ 9
0
>∆
′
⇔
: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
- Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm
0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4)
Bài toán 2: Cho hàm số y =
2
x 4x 1
x 2
y
+ +
=
+

(C)
Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x
2
+ 4x + 1 = mx
2
+ 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)
⇔
(1 – m)x
2
+ (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
< x
2
< – 2 V – 2 < x
1
< x
2

(
)

( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]







>−+−−−−=−
>−−−+−=∆
≠−=
⇔
032221412
03214
2
44
01
mmmmaf
mmmm
ma






>−
>+

⇔
m) (
m m
013
01624
2
9

---6
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08





>
≠
⇔
1.
3
4
m
m

Kết luận :






>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh của (C)
Bài toán 3:Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
. Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d’) y = –x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)
x
2
= (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔
2x
2
– (m + 1)x + m = 0 (*)

Ta có
∆
= (m + 1)
2
– 8m > 0
⇔
m
2
– 6m + 1 > 0




+>
−<
⇔
53
53
m
m
Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:







−
=+−=

+
=
+
=
⇒
4
13
4
1
2
m
mxy
mxx
x
II
BA
I
A và B đối xứng qua (d)
⇒
I thuộc (d): y = x – 1
⇒
1
4
1
4
13
−
+
=
−

mm
⇒
m = – 1
Lúc đó (*) thành trở thành : 2x
2
– 1 = 0
⇔
x =
2
1
±
Vậy








+−
−
2
2
1;
2
1
A









−−
2
2
1;
2
1
B
Bài toán 4:Cho (P) y = x
2
– 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x
sao

---7
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x
2
– 2x – 3 = 2x + m
⇔
x

2
– 4x – 3 – m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
⇔
∆
′
= 7 + m > 0
⇔
m > –7
Lúc đó gọi x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1) ta có
S = x
A
+

x
B
= 4
P = x
A
x
B
= – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc  f’(x
A
)f’(x
B

) = –1
⇔
(2 x
A
–2)(2 x
B
–2) = – 1
⇔
4P – 4S + 5 = 0
⇔
4(–3 –m) –16 + 5 = 0
⇔
m =
4
23
−
(nhận vì m > –7)
b) A, B thuộc (d)
⇒
y
A
= 2 x
A
+ m
y
B
= 2 x
B
+ m
Ta có AB

2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (y
B
– y
A
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100

⇔
(x
A
– x
B
)
2
= 20
⇔
S
2
– 4P = 20
⇔
16 + 4(3+m) = 20
⇔
m = – 2 (nhận vì m > –7)
Bài toán 5 : Cho hàm số
( ) ( )
H
mx
mxxfy
+
+−+==
1
3
Tìm a để đường thẳng
( )
∆
: y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu

Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
( )
∆
:

( ) ( )
111
1
1
2
−≠++=
+
++
x:đk xa
x
x
( )
11233
22
++++=++⇔
xxxaxx
( ) ( ) ( ) ( )
* 02121
2
=−+−+−=⇔
axaxxxg
( )
∆
cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu


---8
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
2121
01, xxxx
<<Λ−≠


( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
21
012121
021
01
01
001
<<⇔



≠=−+−−−
<−−
⇔






≠−
≠−
<−
⇔
a
aaa
aa
a
g
ga



Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :

Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
)
Tính y’ = f’(x)
⇒
y’(x
0
) = f’(x
0
)
Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x

0
;y
0
) là: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(x
A
; y
A
) và có hệ số
góc k : (D) : y =k(x – x
A
) + y
A

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – x
A
) + y
A
(1)
* (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác đònh đïc k. Từ đó
viết được phương trình (D)
- Cách 2:

* Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
* (D) đi qua điểm A nên : (y
A
– y
0
) = f’(x
0
)(x
A
– x
0
) (1)
Giải (1) tìm được x
0
, từ đó tìm được phương trình của (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k
(D) : y = kx + m (1)

* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m
* (D) là tiếp tuyến của (C)
⇔
(1) có nghiệm kép. Từ đó tìm được giá trò của m ,
từ đó viết được phương trình của (D)
- Cách 2:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm:

---9
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
(D) có hệ số góc k
(D) có hệ số góc f’(x
0
)

⇒
f’(x
0
) = k (1)
* Giải (1) tìm được x
0
; y
0
= f(x
0
). Từ đó viết được phương trình của (D)

Bài toán 1: Cho hàm số (C)
22
43
2
−
+−
=
x
xx
y
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
( )
(C) 1x
≠
−
+−=
−
+−
=
1
1
1
222
43
2
x

x
x
xx
y

( ) ( )
⇒∈
CbaM ;
tiếp tuyến tại M là (d)
( )
( )
baxyy
a
+−
′
=







−
+−=
1
1
1
2 a
a

b
( )
( )
1
1
1
2
1
1
2
1
2
−
+−+−






−
−=⇔
a
a
ax
a
y
Tiệm cận đứng của (C) là (d
1
) : x = 1

( ) ( )






−
+−=∩⇒
1
2
2
1
;1
1
a
Add
Tiệm cận xiên của (C) là (d
2
) :
( ) ( )






−−=∩⇒−=
2
3

;121
2
2
aaBdd
x
y
Ta có :
( ) ( )
MBA
xaaxx
==−+=+
121
2
1
2
1

( )
MBA
y
a
a
a
a
yy
=
−
+−=







−+
−
+−=+
1
1
1
22
3
1
2
2
1
2
1
2
1
Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là
IBIAIAB
xxyySI
−−=⇒







−
2
1
2
1
;1

222.
1
2
.
2
1
=−
−
=
a
a
Vậy S
IAB
không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x
0

; y
0
)
( )
C
∈
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x
0
) =
963
0
2
0
−+
xx
Ta có
( )
121213
2
0
−≥−+=
xk
. Dấu “=” xảy ra khi x
0
= – 1
Vậy Min k = – 12
⇔
M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất

Bài toán 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 (Cm)

---10
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( )




−<
>
⇔



≠=
>−=∆
⇔
2
2
010
04
2
m
m
g
mg
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0



==
−=+=
⇒
1

CB
CB
xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
( ) ( )
1
−=
′′
⇔
BC
xfxf
( )( )
12323
−=++⇔
mxmxxx
CBCB
( )
[ ]
1469
2
−=+++⇔
mxxmxxxx
CBCBCB
( )
[ ]
14691
2
−=+−+⇔
mmm

102
2
=⇔
m
5
±=⇔
m
(nhận so với điều kiện)
Bài toán 4: Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lït là
giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh
rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x
0
; y
0

) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
( )
( )
( )
( ) ( )
12132313
32
00
3
0
2
0
+−−=−−+−−=
xxxxxxxxyd

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)
( ) ( )
121323
32
0
3
+−−=−−
xxxxx
( ) ( )
02
0
2
0
=+−⇔
xxxx


---11