Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm

Dùng phép tịnh tiến để giải một số bài toán tìm tập hợp điểm
Phương pháp:
 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho

uuuu
r r
EM = v

không đổi (tức là phải
tìm ra một hình bình hành có EM là cạnh và cạnh đối diện của nó phải cố
định).
 Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.
 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo
vectơ

r
v

Ví dụ 1: Cho hai điểm phân biệt B, C cố định ( BC không phải là đường kính )
trên đường tròn (O), điểm A di động trên (O). Chứng minh rằng khi A di động
trên (O) thì trực tâm tam giác ABC di động trên một đường tròn.
Giải
A
D

O

H
B

M

C

Gọi H là trực tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Tia BO cắt
đường tròn (O) tại D. Ta có
ADCH là hình bình hành

∠BCD = 900

nên DC // AD, AH // CH suy ra tứ giác

uuur uuur
uuuu
r
⇒ AH = DC = 2OM

. Vì

uuuu
r
OM

không đổi suy ra


uuuur ( A) = H
T2OM

. Vậy khi A di chuyển trên đường tròn (O) thì H di chuyển trên

đường tròn (O’) là ảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo

uuuu
r
2OM

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD có đáy AB cố định và đáy CD thay đổi. Biết AB
= a và CD = b (với a, b không đổi). Tìm quỹ tích điểm C trong các trường hợp
sau
∠ADB = 900

a.
b. DA = DB

Giải:
D

a. Gọi I là trung điểm AB suy ra I cố

C

định.
Giả thiết suy ra
⇒ ID = IA = IB =

∆ADB
AB a
=
2
2

vuông tại D

A

A'

I

I'

.

Do đó điểm D chạy trên đường tròn (C) tâm
R=

I và bán kính
( (C) cố đinh ).

a
2

bỏ đi hai điểm A và B

Gọi A’ thuộc canh AB sao cho
với

uuur
AA '

AA ' b
= ⇒
AB a

AA’CD là hình bình hành

cố định. Từ đó theo định nghĩa phép tịnh tiến ta có:

uuu
r :D a C
TuAA
'

I a I'
(C ) a (C ')

uuur uuur
⇒ DC = AA '

B


Mà điểm D chạy trên đường tròn (C) nên điểm C sẽ chạy trên đường tròn (C’).

I ' = TuAAuuur' ( I )

Vậy tập hợp tất cả các điểm C là đường tròn (C’) tâm
R=

a

2

và bán kính

bỏ đi hai giao điểm của (C’)và đường thẳng AB.

b. Gọi d là trung trực của AB suy ra D cố định (vì A, B cố định), theo giả

thiết ta có DA = DB.
⇒D

chạy trên d (bỏ qua trung điểm AB)

Gọi A’ thuộc cạnh AB sao cho:
⇒ AA ' CD

AA ' b
=
AB a

là hình bình hành

A

d

d'

D

C

A'

B

suy ra DC = AA’ (với AA’ cố định). Từ đó theo
định nghĩa phép tịnh tiến ta có:
uuu
r :D a C
TuAA
'

d →d'

Mà điểm D chạy trên đường thẳng d nên điểm C sẽ chạy trên đường thẳng d’.
Vậy tập hợp điểm C là đường thẳng
thẳng AB.

uuu
r (d )
d ' = TuAA
'

, bỏ giao điểm của d’ và đường

Ví dụ 3: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Gọi d là
đường thẳng thay đổi nhưng luôn đi qua A và cắt (O), (O’) lần lượt tại M và N.
Lấy điểm P trên tia AM, điểm Q trên
AP = AQ =

tia AN sao cho

1
AM
2

.

a. Tìm tập hợp tất cả các điểm P.
b. Tìm tập hợp tất cả các điểm

Q.
Giải:

M
P

A

H

H'

N
Q

O

K

I

I'
O'

B


Gọi H, H’ lần lượt là các hình chiếu của O, O’ lên đường thẳng d.
Gọi I’ là hình chiếu của O lên O’H’, I là hình chiếu của O’ lên OH, K là trung
điểm của OO’. Khi đó ta có:
∠OIO ' = 900 ⇒ I '
∠OIO ' = 900 ⇒ I

chạy trên đường tròn (K)
chạy trên đường tròn (K)

Với (K) là đường tròn cố định (vì (K) có đường kính OO’ cố định).
⇒ OI ' = HH ' =

a. Ta có OI’H’H là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)
AQ =

mà theo giả thiết ta lại có

1
MN ⇒ AQ = OI ' ⇔ AOI ' Q
2

⇔ I ' Q = OA.

hành
Lại có hai điểm O và A cố định nên
ta có phép tịnh tiến sau:

uuu
r
OA

1
MN
2

là hình bình
cố định. Do đó

uuur : I ' → Q
TOA

( K ) → ( K ')

Lại có I’ chạy trên đường tròn (K) nên điểm Q chạy trên đường tròn
uuur [( K )].
( K ') = TOA

Vậy quỹ tích Q là đường tròn
uuuur uuu
r
KK ' = OA

uuur [( K )],
( K ') = TOA

R=

với tâm K’

OO '
2

được xác định bởi công thức
và bán kính
b. Hoàn toàn tương tự câu a ta có quỹ tích của P là đường tròn tâm
( K '') = TOuuu'uAr [( K )],
R=

bán kính

với tâm K’’ được xác định bởi công thức

OO '
2

.

KK '' = O ' A

và có