Bồi dưỡng Toán 9 (đề 18)

Bài 1: Tích của 1 nghiệm của phương trình x
2
+ ax + 1 = 0 với 1 nghiệm của phương
trình x
2
+ bx + 1 = 0 là nghiệm của phương trình x
2
+ cx + 1 = 0. Tìm hệ thức liên hệ
giữa a, b và c.
Lời giải:
Gọi x
1
, x
3
và x
1
x
3
lần lượt là nghiệm của các phương trình x
2
+ ax + 1 = 0, x
2
+ bx + 1
= 0 và x
2
+ cx + 1 = 0 theo như giả thiết ban đầu của bài toán.
Dễ dàng nhận thấy và lần lượt là các nghiệm còn lại của
các phương trình trên.
Ta có: và

Tương tự như vậy, ta có:

(1)
Ta có: x
1
+ x
2
= –a, x
3
+ x
4
= –b, x
1
x
3
+ x
2
x
4
= –c và x
1
x
2
= 1, x
3
x
4
= 1. (2)
Thay (2) vào (1) ta suy ra:

Hay là a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4
Vậy a
2
+ b
2
+ c
2
+ abc = 4 là hệ thức liên hệ giữa a, b và c
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: với
Lời giải:
Ta có: (1)
Từ đẳng thức (1) suy ra:
x
3
= 3x
2
– x = 3(3x – 1) – x = 8x – 3
x
4
= 3x
3
– x
2
= 3(8x – 3) – (3x – 1) = 21x – 8

x
5
= 3x
4
– x
3
= 3(21x – 8) – (8x – 3) = 55x – 21

Vậy P =
Bài 3: Chứng minh rằng
Lời giải:
Ta có:

Lại có
Suy ra: (1)
Tương tự như vậy, ta có:
(2)
Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta được ĐPCM.
Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác.
Chứng minh rằng:
Lời giải:
Đặt x = p – a, y = p – b, z = p – c. Khi đó x, y, z là các số dương và:
a = y + z, b = z + x, c = x + y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
và


Tương tự như vậy, ta có và
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:

Hay là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài toán được chứng minh.
Bài 5: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Một góc 45
0
quay xung quanh đỉnh A
và nằm bên trong hình vuông cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a
2
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E. Chứng minh
Lời giải:
a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM
Dễ dàng nhận thấy ABM = ADF(cạnh, góc, cạnh)
AF = AM
Mặt khác:
NAF = NAD + DAF = NAD + MAB = BAD – MAN = 90
0
– 45
0
= 45
0
Từ đó suy ra: MAN = FAN(cạnh, góc, cạnh)
MN = FN =BM + DN
Xét tam giác vuông CMN, ta có: MN
2
= CM
2
+ CN
2
(BM + DN)

2
= (a – BM)
2
+ (a – DN)
2
(1)
Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a
2
. ĐPCM
b)Ta có: EAF = MAN + NAF = 45
0
+ 45
0
= 90
0
EAF là tam giác vuông
(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)