BD Bat dang thuc

bất đẳng thức- bất phơng trình.
A. Kiến thức cần nhớ
A Mục tiêu
- Hệ thống các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
- Rèn luyện khả năng phân tích, t duy sáng tạo cho HS.
B. Nội dung cụ thể
Rèn luyện kỹ năng chứng minh bất đẳng thức bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng.
I. Bất đẳng thức
1. Định nghĩa bất đẳng thức.
Ta gọi hệ thức dạng a < b (hay a > b, a

b, a

b) là bất đẳng thức và a gọi là vế
trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức.
2.Tính chất.
a > b

a b > 0
a > b

a + c > b + c (
c R
)
a > b

a.c > b.c nếu c > 0
a.c < b.c nếu c <0

a >b
c>d


a + c > b + c





a > b > 0
a.c > b.d
c > d > 0
a > 1


a
n
< a
n+k
với n, k

N
*
0 < a <1

n n+k
a > a
với n, k

N
*

a + b a b a - b
a > b

a
2k+1
> b
2k+1
a > b > 0

a
2k
> b
2k
3. Các bất đẳng thức cơ bản.

( )

2
x y 0 x;y
(x + y)
2


4xy. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y.
x
2

+ y
2
+ z
2


xy + yz + zx. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.


1 1 4
+
x y x+y
( Với x; y dơng). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y.

a 0 a
. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 0

a a - a a


a b
+ 2
b a
với a; b dơng. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
0 A A

0. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A = 0.
4. Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức
-Phơng pháp biến đổi tơng đơng, sử dụng các tính chất của bất đẳng thức.
-áp dụng bất đẳng thức côsi, bunhiacovski, trêbsep

-Sử dụng các bất đẳng thức phụ
-Phơng pháp chứng minh phản chứng
-Phơng pháp chứng minh làm trội
-Phơng pháp chứng minh quy nạp.
II. Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhất của biểu thức A.
B ớc 1 : Chứng minh A

m (hay A

m) với mọi gía trị của biến trong đó m là một
hằng số.
B ớc 2 : Chỉ ra trờng hợp xảy ra dấu "=".
B ớc 3 : Kết luận.
III. Bất phơng trình.
1. Định nghĩa.
- Một bất phơng trình ẩn x có dạng A(x) < B(x) hay A(x) > B(x); A(x)

B(x); A(x)

B(x), trong đó vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.
- Gía trị của x mà khi thay vào bất phơng trình, ta đợc một khẳng định đúng gọi là
nghiệm của bất phơng trình.
- Tập hợp tất cả các nghiệm của bất phơng trình đợc gọi là tập nghiệm của bất ph-
ơng trình.
- Giải bất phơng trình là tìm tập nghiệm của bất phơng trình đó.
2. Bất phơng trình tơng đơng.
Hai bất phơng trình gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng tập nghiệm.
3. Bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
a. Định nghĩa.
Bất phơng trình dạng ax + b < 0 (hoặc ax + b > 0; ax + b

0 ax + b

0)
trong đó a, b là hai số đã cho, a

0, đợc gọi là bất phơng trình bậc nhất một ẩn.
b. Hai qui tắc biến đổi t ơng đ ơng bất ph ơng trình.
+ Qui tắc chuyển vế
Khi chuyển một hạng tử của bất phơng trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi
dấu hạng tử đó.
+ Qui tắc nhân với một số.
Khi nhân cả hai vế của một bất phơng trình với cùng một số khác 0, ta phải:
- Giữ nguyên chiều của bất phơng trình nếu số đó dơng.
- Đổi chiều bất phơng trình nếu số đó âm.
4. Bất phơng trình bậc cao.
Biến đổi về bất phơng trình tích rồi giải bất phơng trình tích.
5. Bất phơng trình phân thức.
Biến đổi về bất phơng trình thơng rồi giải bất phơng trình thơng.
6. Bất phơng trình chứa dấu gía trị tuyệt đối.
Cách 1: Xét khoảng.
Cách 2: Biến đổi tơng đơng.
Cách 3: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế.
Cách 4: Đặt ẩn phụ.
7. Bất phơng trình chứa dấu căn.
Cách 1: Xét khoảng.
GV: Lê Thị Huyền Trờng THCS Lê Thánh Tông
2
Cách 2: Biến đổi tơng đơng.
Cách 3: Sử dụng tính chất của bất đẳng thức, so sánh gía trị hai vế.

Cách 4: Đặt ẩn phụ.

B. bài tập
I. Bất đẳng thức.
Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng phơng pháp biến đổi tơng đơng.
Bài 1: Cho các số thực a, b, c, d thoả mãn điều kiện
0

dcba
.Chứng
minh rằng:
a) a
2
b
2
+ c
2


( a b +c)
2
*b) a
2
b
2
+ c
2
- d
2

( a b + c - d)
2
(Trích đề thi HSG cấp tỉnh năm 03 04 )
Hớng dẫn
a
2
b
2
+ c
2


( a b +c)
2


a
2
b
2
+ c
2


a
2
+ b
2
+ c
2

2ab + 2ac 2bc

..........


(b a).(b c)

0
b, áp dụng câu a.
* Bài 2: Chứng minh rằng nếu y

x
3
+ x
2
+
x
+1 (1) thì ta có x
2
+ y
2


1 (2)
Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện (1) để (2) xảy ra dấu bằng.
(Trích đề thi HSG cấp tỉnh năm 03 04 )
Hớng dẫn
Xét 3 trờng hợp xảy ra;
TH1: x

0
y 1


x
2
+ y
2


1
TH2: x

-1
1
2

x

x
2
+ y
2


1
TH3: - 1 < x < 0

y >1

x
2
+ y
2


1
Dấu = xảy ra khi x = 0; y = 1 hoặc y = 0; x = -1
* Bài 3: Cho ba số dơng a, b, c thoả mãn 0 < a
b c
. Chứng minh rằng
a,

a b c b c a
+ + + +
b c a a b c
b,

c b b a
+ +
a c a b

Xét hiệu, chứng minh hiệu không âm.
** Bài 4: Cho a.b.c = 1 và a
3
> 36. Chứng minh rằng:
cabcabcb
a
++>++
22

2
3
Hớng dẫn
Xét hiệu, tách thành
a
abca
cb
a
12
36
2
3
2

+







* Bất đẳng thức Côsi:
Cho n số không âm a
1
, a
2
, ....,a
n
. Ta có: a

1
+ a
2
+ ....+a
n

n
n
aaan ...
21

GV: Lê Thị Huyền Trờng THCS Lê Thánh Tông
3
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= .... = a
n
* Bài 5: Cho a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
là các số dơng có tổng bằng 1. Chứng minh rằng :

10241
1
.1
1
.1
1
.1
1
.1
1
54321

aaaaa
.

Hớng dẫn

4
4
1
5432
1
5
1
4
1
3
1
2
1
54321
1
.411
1
a
aaaa
a
a
a
a
a
a
a
a
a

aaaaa
a
+++=
++++
=
Tơng tự có:......
Nhân vế với vế ta đợc điều phải chứng minh
* Bài 6: Tìm GTLN của biểu thức:
P(x) =
2
21
2
xx
x
+
Hớng dẫn
P(x) xác định
2
1
1021
2

xxx
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm 1 và 1 - x - 2x
2
ta có:
( )
( )
2
2

21.1
2
211
xx
xx

+
Do đó: P(x)
11
2
22
2
2
2
=

+
x
xxx
Đẳng thức xảy ra
0
0
121
2
=



=
=

x
x
xx
Vậy GTLN của P(x) là 1 xảy ra khi x = 0.
* Bài 7: Cho x.y = 1 và x > y. CMR:
22
22


+
yx
yx
Hớng dẫn
VT =
( ) ( )
( )
yx
yx
yx
yx
yx
xyyx

+=

+
=

+

222
22
Vì x > y nên x - y > 0. áp dụng BĐT Côsi ta có:
VT
( )
22
2
..2



yx
yx
II. Tìm gía trị nhỏ nhất, gía trị lớn nhất.
III. Bất phơng trình.
Bài tập
Bài 1: Cho a

1; b

1. Chứng minh rằng: a
ababb
+
11
Bài 2: Cho a
1
; a
2
; a
3

; ......;a
n
không âm và a
1
a
2
a
3
.....a
n
=1. Chứng minh rằng:
(1+a
1
)(1+ a
2
)(1+ a
3
) ......(1+a
n
)
n
2

Bài 3: Chứng minh rằng
Rx

ta có: x
12
- x
9

+ x
4
x +1 >0
Bài 4: Cho a; b; c; d là các số dơng và
3
1
1
1
1
1
1
1
1
=
+
+
+
+
+
+
+
dcba
GV: Lê Thị Huyền Trờng THCS Lê Thánh Tông
4
Chứng minh rằng a.b.c.d
81
1

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi x, y khác 0 ta có:
2

6
2
6
44
x
y
y
x
yx
++
Bài 6: Cho a > 0, x > 0. Chứng minh rằng:
8
7
8
7
.8







+
a
x
ax
Bài 7: Cho x là số thực tuỳ ý, chứng minh rằng: x
100
- 10x

10
+ 2004

1995
Bài 8: Cho a > 2, b > 2. Chứng minh rằng a.b > a+b
Bài 9: Chứng minh rằng với mọi a ta có: 2a
4
+ 1

2a
3
+ a
2
.
Bài 10: Cho
1;1

ba
Chứng minh rằng;
ab
ba
+

+
+
+
1
2
1
1

1
1
22
Bài 11: Tìm GTNN của : P =
( )
( )( )
11
2233

++
yx
yxyx
Bài 12: Cho a
1
; a
2
; a
3
; ......;a
n
> 0. CMR:
2
...
...
21
1
2
32
2
2

21
2
1
n
n
n
aaa
aa
a
aa
a
aa
a
+++

+
++
+
+
+
Bài 13: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( ) ( )
cbaaccbbacba
++<+++++++
.3.2
222222
Bài 14: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn điều kiện a + b + c=1. CMR:

6
+++++

accbba
Bài 15: Tìm GTNN của biểu thức:
A=
22
11






++






+
u
v
v
u
với u + v =1 và u > 0, v > 0
GV: Lê Thị Huyền Trờng THCS Lê Thánh Tông
5