SKKN toan cuc hay

B. Nội dung
I. Lý thuyết:
Với hai số không âm a, b bất kỳ ta có:
ab
ba

+
2
Chứng minh:
Ta có: (
a
-
b
)
0

(*) a > 0. b > 0
<=> a - 2
ab
+ b
0

<=> a + b
ab2

<=>
ab
ba

+
2

Theo (*) dấu => sảy ra <=> a = b
(Đpcm)
II. Bài tập vận dụng
1. áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số để chứng minh các bất đẳng thức
Bài tập 1:
Cho hai số dơng a, b chứng minh rằng:
baba
+
+
411
Giải:
Do a, b dơng =>
0
1
.0
1
>>
ba
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
ba
1
,
1
ta có:
baba
1
.
1
2
11

+
(1)
<=>
ab
ba
211
+
Mà
2
ba
ab
+

(2)
=>
ba
ab
+

21
=>
ba
ab
+

42
=>
baba
+
+

411
Từ (1) và (2) ta thấy dấu bằng xảy ra <=>
a = b
(Đpcm)
Bài tập 2:
Cho hai số dơng a, b chứng minh rằng:
2
+
a
b
b
a
Giải:
Do a, b dơng =>
a
b
b
a
.0
>
> 0
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số
b
a
và
a
b
ta có:

a

b
b
a
a
b
b
a
.2
+
=>
12
+
a
b
b
a
=>
2
+
a
b
b
a
Dấu = sảy ra <=>
a
b
b
a
=
<=> a

2
= b
2
<=> a = b
( Đpcm)
2. Vận dụng bất đẳng thức côsi và các bài tập trên để giải bài toán cực trị:
Dựa vào bất đẳng thức côsi:
ab
ba

+
2
hoặc a + b
ab2

( a, b
)0

Ta rút ra đợc một số nhận xét sau:
Nhận xét 1:
Với hai số không âm bất kỳ có tổng không đổi tích lớn nhất khi hai số
bằng nhau
Nhận xét 2
Với hai số không âm bất kỳ có tích không đổi tổng bé nhất khi hai số
bằng nhau
Từ hai nhận xét trên ta có thể khai thác cho trờng hợp không thể có
điểm rơi nh sau: tổng quát hơn ( nằm đúng cho trờng hợp có điểm rơi)
Nhận xét 3:
Với hai số không âm bất kỳ có tổng không đổi tích lớn nhất khi giá trị
tuyệt đối của hiệu hai số bé nhất

Chứng minh:
Nhận xét 1, nhận xét 2 hiển nhiên
Ta sẽ chứng minh nhận xét 3
Với a >0, b > 0 và a + b = S không đổi ta phải chứng minh P = a.b bé nhất
Nếu S = / a b / nhỏ nhất
Thật vậy ta có:
S
2
= / a b/
2
= a
2
2 ab + b
2
= (a + b)
2
4 ab
=> S
2
= S
2
4 P
=> P = S
2
- S
2
4
mà S không đổi => S
2
không đổi

=> P = ab lớn nhất khi S = / a b/ nhỏ nhất
Dựa vào các nhận xét trên ta có thể đa vào bài tập sau:
Bài tập 1:
Cho a
0,0

b
và a.b = 1 . Tìm min S = a + b
Giải :
Vận dụng nhận xét 2 ta thấy a.b = 1 không đôi
=> S = a + b nhỏ nhất <=> a = b
<=> a = b = 1
<=> S min = 2 <=> a = b = 1
Bài tập 3:
Bài 3: Cho biến thiên y =
2
18 x
x
+
x > 0. Tìm min y ?
Giải:
Do x > 0 =>
0
2
.0
18
>>
x
x
=> áp dụng

Bất đẳng thức Côsi cho hai số
2
;
18 x
x
ta có:
2
18 x
x
+

2
.
18
2
x
x


92

Dấu = sảy ra <=>
2
18 x
x
=

<=> x
2
= 36

<=> x = 6
Vậy y min = 6 <=> x = 6
Bài tập tơng tự:
Cho y =
1
2
2

+
x
x
( x > 1) tìm y min?
HD: y =
2
1
1
2
2
1
+

+

x
x
Bài tập 4:
Cho y =
xx

+

1
11
0 < x < 1 tìm ymin
Giải:
Do 0 < x < 1 nên
xx

>
1
1
.0
1
> 0
=> y =
xx

+
1
11

xx
+

1
4
= 4
Dấu = sảy ra <=> x = 1 x
<=> x =
2
1

=> y min = 4 <=> x =
2
1
Bài tập 5:
Cho P = x (1 x ) x

( 0,1) Tìm P max?
Giải:
Do x

( 0,1) => x > 0; 1 x >0
=> P = x ( 1 x) lớn nhất
<=> x = 1- x
<=> x =
2
1
.

( 0,1)
=> P max =
2
1
(1 -
2
1
) <=> x =
2
1
.
=> P max =

4
1
<=> x =
2
1
.
Bài tập tơng tự:
Cho Q = ( 8 + x + x
2
) (20 - x x
2
) x > -5
Tìm Qmax?
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của P =
1
24
2
++ xx
x
Giải: