Copy of DE 21 HSG t9 20122013

ĐỀ 21
--------------

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LẦN 1
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
----------------------

Bài 1: ( 2.0 điểm)
Cho x và y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: ( x + y ) = xy ( 3x + 3 y + 2 )
3

Chứng minh rằng: 1 − xy là một số hữu tỉ.
Bài 2: (2,0 điểm)
Cho 100 số tự nhiên a1, a2… a100 thỏa mãn:

1
1
1
+
+ .... +
= 19
a1
a2
a100

Chứng minh rằng: Trong 100 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau.
Bài 3: ( 2.0 điểm)
Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn. Kẻ các đường cao AD, BE của tam giác ABC.
Trên đoạn AD lấy điểm P sao cho ∠BPC = 900 ; trên đoạn BE lấy điểm Q sao cho ∠AQC = 900 .
Chứng minh rằng: Tam giác CPQ là tam giác cân.

Bài 4: ( 1,5 điểm)
Cho n là số tự nhiên và d là ước nguyên dương của 2n 2. Chứng minh rằng: n2 + d không là
số chính phương.
Bài 5: (2,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
2
biểu thức : P = 14(a + b + c ) +

ab + bc + ca
a 2b + b 2 c + c 2 a
------ Hết ------


ĐÁP ÁN VẮN TẮT VÀ THANG ĐIỂM
Bài
Nội dung trình bày
+) Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì 1 − xy = 1 là số hữu tỉ.
+) Nếu x ≠ 0 và y ≠ 0 : T ừ giả thiết ta có:
1

x 3 + y 3 = 2 xy ⇒

x2 y 2
x4 y4
x4 y 4
+
= 2 ⇒ 2 + 2 + 2 xy = 4 ⇒ 2 + 2 − 2 xy = 4 − 4 xy
y

x
y
x
y
x

2

 x2 y2 
⇒  − ÷ = 4 ( 1 − xy ) ⇒ 1 − xy =
x 
 y

2

1 x2 y2
1  x2 y2 
⇒
1
−
xy
=
−
−
là số hữu tỉ.

÷
2 y
x
4 y

x 

Giả sử trong 100 số tự nhiên đã cho đó không có hai số nào bằng nhau
1
1
1
1
1
1
+
+.... +
<
+
+.... +
a1
a2
a100
1
2
100

2

Ta có:

=1 +2(
<1 +2(
=1 +2(

1

1
1
+
+.... +
)
2+ 2
3+ 3
100 + 100
1
1
1
+
+.... +
)
2+ 1
3+ 2
100 + 99
2 − 1 + 3 − 2 +... + 100 − 99 ) =19

Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy điều giả sử sai.
Vậy tồn tại hai số bằng nhau.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông,
ta có:
Trong tam giác vuông AQC có: CQ2 = AC.CE
Trong tam giác vuông BPC có: CP2 = BC.CD
3

Mặt khác: ∆ACD∼∆ BCE (g.g) nên

AC CD

=
BC CE

suy ra: AC.CE = BC.CD
Do đó: CQ2 = CP2 hay CQ = CP
nên ∆PCQ cân tại C.

C
D

E
A

Q
P
B

Giả sử n2 + d = m2 ( m ∈ N) (*).Vì d là ước dương của 2n2 nên 2n2 = k.d (k ∈ N) suy ra:d =
4

2n 2
k

2n 2
2n 2
2
Thay d =
vào (*) ta có: n +
= m2 ⇔ n2.k2 + 2n2k = m2k2
k

k
mk
2
Từ đó suy ra: k2 + 2k = ( ) là số chính phương. Nhưng k2 < k2 + 2k < (k+1)2 nên k2 + 2k không thể
n

là số chính phương, mâu thuẫn
Vậy: n2 + d không là số chính phương.
Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2
Theo BĐT AM-GM thì:a3 + ab2 ≥ 2a2b; b3 + bc2 ≥ 2b2c;

c3 + ca2 ≥ 2c2a

Suy ra a2 + b2 + c2 ≥ 3(a2b + b2c + c2a) Suy ra P ≥ 14( a 2 + b 2 + c 2 ) +

3(ab + bc + ca)
a2 + b2 + c2

Đặt t = a2 + b2 + c2. Theo BĐT B.C. S thì: 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a +b + c)2 = 1 Do vậy: t ≥
Khi đó:
Vậy MinP =

⇒ P ≥ 14t +

3(1 − t ) t 27t 3 3 1 1
27t 3 3 23
= +
+ − ≥ . +2
. − =
2t

2
2
2t 2 3 2
2 2t 2 3

23
1
khi a = b = c =
3
3

1
.
3