Tập bài giảng đại số tuyến tính 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Phạm Thanh Tâm (chủ biên)
Trần Thị Vân Anh

TẬP BÀI GIẢNG

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2
(Lưu hành nội bộ)

HÀ NỘI - NĂM 2016
3


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Phạm Thanh Tâm (chủ biên)
Trần Thị Vân Anh

TẬP BÀI GIẢNG

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 2
(Tài liệu dùng cho sinh viên hệ sư phạm Toán trường ĐHSP Hà Nội 2)

HÀ NỘI - NĂM 2016
4

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU ................................................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ...................................................................................................... 7
1.1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .................................................................................. 8
1.1.1. Định nghĩa ........................................................................................................................ 8
1.1.2. Tính chất........................................................................................................................... 9
1.1.3. Ví dụ ................................................................................................................................. 9
1.1.4. Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính ............................................................................. 10
1.1.5. Không gian các ánh xạ tuyến tính .................................................................................. 11
1.2. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ XÁC ĐỊNH VÀ MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .......................... 12
1.2.1. Định lý về sự xác định của ánh xạ tuyến tính................................................................. 12
1.2.2. Đồng cấu tuyến tính ....................................................................................................... 14
1.2.3. Định lý về đẳng cấu tuyến tính....................................................................................... 15
1.2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính ........................................................................................ 16
1.2.5. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính .......................................................................... 16
1.2.6. Định lý về tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận ............................................... 18
1.2.7. Tích của các ánh xạ tuyến tính ....................................................................................... 19
1.3. HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ....................................................... 22
1.3.1. Tính chất của ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ..................................................... 22
1.3.2. Định lý về điều kiện tương đương của một đơn cấu tuyến tính ..................................... 23
1.3.3. Định lý đồng cấu tuyến tính các không gian vectơ ........................................................ 26
1.3.4. Ma trận đổi cơ sở của tự đồng cấu tuyến tính ................................................................ 28
BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 34
TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 1 ................................................................................ 50
VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC. ........................................................................................ 51
CHƯƠNG 2. CẤU TRÚC CỦA TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH ............................................................... 54
2.1. VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG ................................................................................. 54
2.1.1. Không gian véc tơ con bất biến ...................................................................................... 54

2.1.2. Giá trị riêng và véc tơ riêng............................................................................................ 55
2.1.3. Thuật toán tìm véc tơ riêng và giá trị riêng .................................................................... 56
2.2. KHÔNG GIAN CON BẤT BIẾN CỦA CÁC TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH THỰC VÀ
PHỨC ........................................................................................................................................... 60
2.2.1. Không gian véc tơ con bất biến ...................................................................................... 60
2.2.2. Ma trận của tự đồng cấu tuyến tính ứng với không gian con bất biến ........................... 62
2.2.3. Ví dụ ............................................................................................................................... 64
5


2.3. TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH CHÉO HÓA ĐƯỢC ........................................................ 66
2.3.1. Tự đồng cấu tuyến tính chéo hóa được .......................................................................... 66
2.3.2. Tiêu chuẩn chéo hóa được.............................................................................................. 67
2.4. TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH LŨY LINH....................................................................... 72
2.4.1. Khái niệm của tự đồng cấu tuyến tính lũy linh .............................................................. 72
2.4.2. Tính chất......................................................................................................................... 72
BÀI TẬP ...................................................................................................................................... 74
TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 2 ................................................................................ 83
VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC ......................................................................................... 84
CHƯƠNG 3. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG .................................................. 86
3.1. ÁNH XẠ ĐA TUYẾN TÍNH................................................................................................ 87
3.1.1. Khái niệm về ánh xạ đa tuyến tính ................................................................................. 87
3.1.2. Tính chất......................................................................................................................... 88
3.2. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG ........................ 97
3.2.1. Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương ............................................. 97
3.2.2. Ma trận của dạng song tuyến tính .................................................................................. 98
3.3. ĐƯA BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG VỀ DẠNG CHUẨN TẮC 102
3.3.1. Định nghĩa về dạng chính tắc ....................................................................................... 102
3.3.2. Sự tồn tại dạng chuẩn tắc của dạng toàn phương ......................................................... 102
3.4. HẠNG VÀ HẠCH CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG .......................................................... 106

3.4.1. Hạng và hạch của dạng toàn phương ........................................................................... 106
3.4.2. Tính chất....................................................................................................................... 107
3.5. CHỈ SỐ QUÁN TÍNH CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG ..................................................... 110
3.5.1. Định nghĩa .................................................................................................................... 110
3.5.2. Định lý phân loại chỉ số quán tính Sylvester ................................................................ 110
3.5.3. Điều kiện cần và đủ cho dạng toàn phương xác định dương và xác định âm .............. 113
BÀI TẬP .................................................................................................................................... 117
TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 3 .............................................................................. 120
VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC ....................................................................................... 121
CHƯƠNG 4. KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID ..................................................................................... 122
4.1 TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ EUCLID ............................................... 123
4.1.1. Không gian véc tơ Euclid ............................................................................................. 123
4.1.2. Tính chất....................................................................................................................... 123
4.2. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO.............................................................................. 132
4.2.1. Định nghĩa .................................................................................................................... 132
4.2.2. Tính chất....................................................................................................................... 132
4.3. TỰ ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH ĐỐI XỨNG ................................................................... 142
6


4.3.1. Định nghĩa .................................................................................................................... 142
4.3.2. Tính chất....................................................................................................................... 142
BÀI TẬP .................................................................................................................................... 152
TÓM TẮT CÁC BÀI GIẢNG CHƯƠNG 4 .............................................................................. 162
VÀI NÉT VỀ LỊCH SỬ TOÁN HỌC ....................................................................................... 163
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................................. 164

7

LỜI NÓI ĐẦU
Ở thời đại của chúng ta, khoa học và kĩ thuật phát triển như vũ bão.
Chúng đòi hỏi ngành giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi
nhu cầu về tri thức khoa học của thanh thiếu niên, giúp họ có
khả năng lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động. Hiện nay
chương trình và sách giáo khoa bậc phổ thông ở nước ta đã bắt đầu và đang
thay đổi để phù hợp với đòi hỏi ấy. Trường ĐHSP Hà Nội 2, một trong những
cái nôi đào tạo giáo viên THPT cho cả nước, cần phải có những đổi mới
tương ứng về chương trình đào tạo, bộ sách giáo trình, tập bài giảng và tài
liệu tham khảo. Vì mục đích đó, tập bài giảng Đại số tuyến tính 2 mới ra đời
nhằm mục đích thay thế cho bộ sách giáo trình cũ.
Tập bài giảng về Đại số tuyến tính 2 biên soạn lần này, không chỉ nằm
trong khuôn khổ của cuộc đổi mới ấy. Nó còn nhằm mục đích làm một bộ các
bài giảng tiêu chuẩn chung cho các cán bộ trường ĐHSP Hà Nội 2 theo
chương trình mới vừa qua của Bộ GD và ĐT, đòi hỏi không những phải đổi
mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương pháp giảng dạy của
giảng viên cũng như phương pháp học tập của sinh viên. Mặt khác, qua một
thời gian dài thực hiện chương trình và sách giáo trình cũ, đến nay đã có thể
đánh giá những ưu, khuyết điểm của nó, sự phù hợp của nó với trình độ đầu
vào của sinh viên các trường đại học sư phạm. Do đó tập bài giảng được biên
soạn lần này cũng thừa hưởng những ưu điểm và khắc phục những thiếu sót
của những cuốn sách cũ. Đối tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và
giảng viên các trường ĐHSP Hà Nội 2. Tập bài giảng cũng có thể được dùng
cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho tất cả những ai muốn tự học
môn học này (nếu có sự đồng ý của trường ĐHSP Hà Nội 2).
Cơ sở để nhóm tác giả lựa chọn nội dung của tập bài giảng này dựa trên
sự thay đổi về hình thức đào tạo của trường ĐHSP Hà Nội 2, yêu cầu đầu ra
và trình độ đầu vào của sinh viên trường ĐHSP Hà Nội 2 hiện nay và những
năm gần đây. Ngoài ra, nhóm tác giả cũng chú ý đến tính đến vai trò của môn
học đối với các môn khoa học khác như Giải tích, Hình học, Vật lý, Hoá

học,v.v.. đáp ứng nhu cầu học tập liên giữa các ngành, và tạo điều kiện cho
người học có thể tự học và học lên cao hơn. Cụ thể, tập bài giảng này phải
trang bị được cho người giáo viên toán tương lai ở trường THPT những kiến
thức cần thiết, đầy đủ và vững vàng về Đại số tuyến tính để giảng dạy tốt
3


những phần liên quan trong chương trình toán THPT. Tuy nhiên, nội dung và
phương pháp trình bày những nội dung ấy lại phải phù hợp với trình độ
nhận thức và khả năng tiếp nhận sinh viên. Mặt khác, tập bài giảng này cũng
phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể tự học và học được
những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muốn
của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trình độ của mình. Vì thế,
nội dung tập bài giảng chứa đựng những điều rất cơ bản mà mọi sinh viên
cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều
phải hiểu.
Cuốn sách này gồm bốn chương:
Chương I. Trình bày về khái niệm ánh xạ tuyến tính, sự xác định của ánh
xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của ảnh và hạt nhân
của một ánh xạ tuyến tính và mối quan hệ giữa ảnh và hạt nhân của ánh xạ
tuyến tính với hệ phương trình tuyến tính.
Chương II. Trình bày về giá trị riêng, véc tơ riêng và không gian véc tơ
con bất biến. Từ đó trình bày về cấu trúc của một tự đồng cấu tuyến tính trong
các trường hợp chéo hóa được và lũy linh. Tuy nhiên trong trường hợp của tự
đồng cấu lũy linh nhóm tác giả chỉ trình bày ở mức độ đơn giản.
Chương III. Trình bày về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, đưa
dạng toàn phương về dạng chuẩn tắc, chỉ số quán tính Sylvester. Các nội dung
này là một phần rất quan trọng của lý thuyết các dạng trong Đại số tuyến tính
tổng quát, các nội dung này có ảnh hưởng sâu sắc đến các vấn đề của Hình
học ở THPT, Hình học cao cấp, Phương trình vi phân và Phương trình đạo

hàm riêng.
Chương IV. Trình bày về tích vô hướng trên không gian véc tơ thực,
không gian véc tơ Euclid, các tự đồng cấu tuyến tính trực giao và đối xứng và
cấu trúc của chúng. Đây là nội dung đặc biệt quan trọng đối với việc xây dựng
Hình học Euclid sau này.
Mỗi chương đều có phần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học
tập của chương ấy. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt đôi nét chính nội
dung của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại. Phần bài tập có một số
lượng có thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách
mong muốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ
hội rèn luyện kĩ năng. Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên
4


cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể. Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải
càng nhiều bài tập càng tốt. Để có thể sử dụng tập bài giảng này, người học
cần được bổ sung kiến thức về số phức, nghiệm phức của một đa thức khi mà
chương trình Toán ở THPT chưa đề cập tới; hơn nữa cũng cần có khái niệm
về các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường để tiện diễn đạt và bắt nhịp
được với cách trình bày giáo trình; cần củng cố vững vàng kiến thức toán học
bậc THPT.
Giáo trình này được học sau học phần Đại số tuyến tính 1, khi mà người
học được trang bị những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính và tập hợp
lôgic. Khi giảng viên sử dựng tập bài giảng này để giảng dạy giá, có thể kết
hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hướng dẫn sinh viên tự
đọc sách, tổ chức, semina, v.v... Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối
với các giảng viên là: vì tập bài giảng còn được sử dụng để sinh viên tự học
nên có nhiều chỗ phải đặt vấn đề dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ. Do đó khi
giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần thiết nhất để có
đủ thời gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho

sinh viên tự học. Cũng như đã nói trên, Đại số tuyến tính nói chung và Đại số
tuyến tính 2 nói riêng có nhiều ứng dụng trong thực tế, do đó sinh viên cần có
kĩ năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán. Muốn thế việc thực hành
của sinh viên cần được coi trọng và chúng ta cần lựa chọn hình thức giảng
dạy thích hợp để đảm bảo giữa việc học lý thuyết ở lớp và thời gian cho việc
giải bài tập của sinh viên.
Đối với người học, khi học theo tập bài giảng này này luôn luôn có giấy
và bút trong tay để tự mình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa;
tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận;
vận dụng các khái niệm, các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho
trong sách. Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng nó để
củng cố và hệ thống lại kiến thức đã học được ở chương ấy. Cũng cần
nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một trong những ngành khoa học cổ
nhất nhưng cũng rất hiện đại. Những điều được trình bày ở đây chỉ là
những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà
chủ yếu là trường số thực). Còn nhiều vấn đề nội dung chưa thể đề cập
tới.
Cuối cùng, các tác giả hi vọng rằng tạp bài giảng này sẽ đáp ứng được
những đòi hỏi của chương trình, những mong muốn của người dạy và bạn
5


đọc. Tuy nhiên, tập bài giảng cũng sẽ khó tránh khỏi hết mọi khiếm khuyết.
Vì thế, các tác giả mong nhận được nhiều ý kiến của bạn đọc để có thể sửa
chữa những sai sót làm cho tập bài giảng này ngày càng hoàn thiện và ngày
càng hữu ích hơn.
Xin chân thành cảm ơn!

NHÓM TÁC GIẢ1

1

Phạm Thanh Tâm, Trần Thị Vân Anh

6


CHƯƠNG 1: ÁNH XÁ TUYẾN TÍNH
Ta đã biết các tập hợp liên hệ với nhau bởi các ánh xạ. Giả sử A và B
là hai tập hợp không rỗng, một ánh xạ từ A đến B là một quy tắc nào đó
cho ứng với phần tử a ∈ A một phần tử duy nhất f(a) ∈ B; f(a) được gọi
là ảnh của a. Ánh xạ từ tập A đến tập B được kí hiệu là f: A →B. Ánh xạ
f được xác định nếu nó thỏa mãn tính xác định khắp nơi và đơn trị, tức là biết
ảnh của mọi a ∈ A và mỗi ảnh đó đước xác định duy nhất. Các ánh xạ được
phân loại thành đơn ánh, toàn ánh, song ánh.
Nếu X ⊂ A thì tập hợp
f(X) = {b∈B | b = f(x) với một phần tử x nào đó thuộc X}
được gọi là ảnh của X.
Nếu Y ⊂ B thì tập hợp
f-1(y) = {a∈A | f(a)∈Y}
được gọi là ảnh ngược (hay tạo ảnh) của Y; v.v...
Bây giờ, đối với các không gian vectơ, chúng tạo thành không chỉ
bởi những phần tử độc lập, mà các phần tử ở đây còn có cả những phép toán.
Vì thế mối liên hệ giữa chúng cũng phải được thể hiện bởi những ánh xạ có
liên quan đến các phép toán ấy. Đó là ánh xạ tuyến tính.
Chương này dành cho việc nghiên cứu ánh xạ tuyến tính, gồm:
- Khái niệm ánh xạ tuyến tính hay các đồng cấu không gian vectơ,
các dạng ánh xạ tuyến tính như : đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.
- Sự xác định một ánh xạ tuyến tính (ở đó ta sẽ thấy rằng muốn xác định
một ánh xạ tuyến tính chỉ cần biết ảnh của các vectơ trong một cơ

sở) và ma trận của ánh xạ tuyến tính (ở đây ta sẽ thấy được rằng mỗi ánh xạ
tuyến tính giữa các không gian véc tơ hữu hạn chiều đều tương ứng một và
chỉ một với một ma trận nào đó khi chúng ta cố định một cặp cơ sở của hai
không gian véc tơ).
- Khái niệm ảnh và hạt nhân, mối liên quan giữa ảnh, hạt nhân với tính
chất toàn cấu, đơn cấu và đẳng cấu, mối liên hệ về chiều của không gian
nguồn với số chiểu của ảnh và của hạt nhân.
7


- Trên tập các ánh xạ tuyến tính từ không gian V đến không gian W
cũng có thể xác định phép cộng hai ánh xạ và phép nhân một ánh xạ với
một số làm cho tập các ánh xạ này trở thành một không gian vectơ. Đó
cũng là những điều mà bạn đọc cần nắm vững để có thể hiểu được các
khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng và không gian con bất biến của một tự
đồng cấu, sẽ được nghiên cứu tiếp ở chương II.
Các ánh xạ tuyến tính còn được nghiên cứu tiếp ở những chương sau. Nó
còn được mở rộng thành các khái niệm ánh xạ nửa tuyến tính, đa tuyến
tính, đa tuyến tính thay phiên. Song trong phạm vi của tập bài giảng này
chúng tôi chưa thể trình bày những lớp ánh xạ đa tuyến tuyến tính như thế.
Một dạng đặc biệt của ánh xạ đa tuyến tính sẽ được trình bày ở chương III.
Đó là dạng song tuyến tính.
Để hiểu được những điều trình bày trong chương này, bạn đọc cần nắm
vững những từ thức đã học về không gian vectơ, ma trận và ánh xạ giữa hai
tập hợp.

1.1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1.1. Cho V ,W là hai không gian vectơ trên trường K .
Ánh xạ f : V  W được gọi là một ánh xạ tuyến tính trên K nếu thỏa mãn hai

điều kiện (bảo toàn phép toán của không gian véc tơ):
r
r r
r
f     f    f 
r
r
f      f  





 

r r
với mọi  ,  V và   K .

Một ánh xạ tuyến tính trên K còn được gọi là một K-đồng cấu tuyến tính,
hay gọi tắt là K-đồng cấu tuyến tính.
Điều kiện tương đương cho một ánh xạ tuyến tính:
Mệnh đề 1.1.1.2. Ánh xạ f : V  W là một K-ánh xạ tuyến tính khi và chỉ
khi f : V  W thỏa mãn đẳng thức:
r
r
r
r
f      f     f 





 

r r
 ,  V , ,   K .

Chứng minh
8


Đây là khẳng định khá đơn giản, nó đến từ việc chúng ta tổ hợp hai điều
kiện xác định của một ánh xạ tuyến tính nên công việc kiểm tra, chứng minh
tính chất này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc như bài tập.

1.1.2. Tính chất
Các ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ trên trường K có các
tính chất cơ bản, được phát biểu thành mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 1.1.2.1. Một ánh xạ tuyến tính trên trường K giữa hai không
gian véc tơ bất kì luôn có các tính chất đơn giản sau:
1) Ánh xạ tuyến tính bảo toàn véc tơ không, tức là:
r
r
f 0 0



.
2) Ánh xạ tuyến tính bảo toàn véc tơ đối, tức là:

r
r
f      f   .
3) Ánh xạ tuyến tính có tính chất bảo toàn một tổ hợp tuyến tính bất kì:
r
r
r
r
r
r
f  
1 1  2 2  ...  m m   1 f 1   2 f  2   ...  m f  m  .

với mọi các 1 ,..., m  K và các véc tơ.
Chứng minh
Đây là các khẳng định khá đơn giản, chứng minh các kết quả này đến từ
việc chúng ta dùng hai điều kiện xác định của một ánh xạ tuyến tính nên công
việc kiểm tra, chứng minh tính chất này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc như
bài tập.

1.1.3. Ví dụ
Ví dụ 1.1.3.1. Một kiểm tra đơn giản ta có thể thấy ngay các ánh xạ đặc
biệt sau của lý thuyết tập hợp cũng đều là các ánh xạ tuyến tính;
• Ánh xạ không, ánh xạ mà biến các véc tơ bất kì thành véc tơ không,
• Ánh xạ đồng nhất của một không gian véc tơ,
• Ánh xạ thu hẹp của một ánh xạ tuyến tình,
• Ánh xạ hợp thành của hai ánh xạ tuyến tính,
9

• Ánh xạ nghịch đảo của một song ánh tuyến tính;
Ví dụ 1.1.3.2. Kí hiệu ¡  x  là tập các đa thức một biến x với hệ số trên
trường số thực. Ánh xạ đạo hàm

d
: ¡  x   ¡  x  cho bởi:
dx

d
an x n  ...  a1 x  a0   nan x n1  ...  a1

dx

là một ¡  ánh xạ tuyến tính.
Chú ý 1.1.3.3. Việc kiểm tra các ví dụ trên là các ánh xạ tuyến tính là
công việc khá đơn giản nên công việc kiểm tra này chúng tôi sẽ dành cho bạn
đọc, xem như là một bài tập thực hành tính toán để các bạn làm quen với các
ánh xạ tuyến tính.
Chúng ta chú ý một chút, nếu chúng ta xét một ánh xạ giữa hai tập hợp
bất kì thì nói chung chúng không có gì đặc biệt. Song, các không gian véc tơ
là các tập hợp mà có phép toán nên nếu chúng ta xét một ánh xạ tuyến tính
giữa các không gian véc tơ thì chúng ta cũng có thể định nghĩa được các phép
toán giữa các ánh xạ này.

1.1.4. Các phép toán trên ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.1.4.1. Giả sử V và W là những K – không gian vectơ và
f , g : V  W là những ánh xạ tuyến tính trên K từ V đến W. Chúng ta gọi tổng
của ánh xạ f và ánh xạ g là một ánh xạ mà được kí hiệu bởi f  g , ánh xạ
này được xác định bởi
r

r

r

r

f  g : V  W ,    f  g    f    g   .

Với   K và f : V  W là ánh xạ tuyến tính , ta gọi là tích của ánh xạ f
với vô hướng  là một ánh xạ được kí hiệu là . f , nó là ánh xạ tuyến tính
. f : V  W được xác định bởi:
r
r
r
   . f    . f   .

Dễ dàng kiểm tra rằng các ánh xạ f  g và . f cũng là ánh xạ tuyến tính
trên K từ V đến W, tuy nhiên đây là khẳng định khá đơn giản nên công việc
kiểm tra này chúng tôi sẽ dành cho bạn đọc như bài tập.

10


1.1.5. Không gian các ánh xạ tuyến tính
Định lý 1.1.5.1. Tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính từ K-không gian véc
tơ V vào K-không gian véc tơ W cùng với phép cộng hai ánh xạ tuyến tính và
phép nhân một vô hướng với một ánh xạ tuyến tính là một không gian vectơ
trên trường K . Ta kí hiệu không gian vectơ các K-ánh xạ tuyến tính từ V vào
W là Hom V ,W  .

Chứng minh
Dễ dàng ta thấy rằng f  g và . f cũng là ánh xạ tuyến tính với mọi cặp
f , g : V  W là những ánh xạ tuyến tính trên K. Chúng ta cũng có thể kiểm

tra được hai phép toán này trên Hom V ,W  thỏa mãn các tiên đề về không
gian véc tơ trên K. Việc kiểm tra hai phép toán này trên Hom V ,W  thỏa mãn
8 tiên đề về không gian véc tơ trên trường K chúng tôi sẽ dành cho các bạn
sinh viên xem như bài tập thực hành.

11


1.2. ĐỊNH LÝ VỀ SỰ XÁC ĐỊNH VÀ MA TRẬN ÁNH XẠ TUYẾN
TÍNH
Ta đã thấy từ K-không gian vectơ V bất kì đến một K-không gian W tuỳ ý
luôn luôn có đồng cấu không (theo ví dụ trên). Một câu hỏi chúng tôi đặt ra
trong mục này là: Ngoài đồng cấu không còn có đồng cấu nào khác không và
nếu có thì có cách nào để xác định chúng không?
1.2.1. Định lý về sự xác định của ánh xạ tuyến tính
Định lý 1.2.1.1. Giả sử V là một không gian vectơ n – chiều. Khi đó,
mỗi ánh xạ tuyến tính từ V vào W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của một
r

r

cơ sở. Nói một cách rõ hơn là, giả sử    1 ,...,  n  là một cơ sở của V còn
r r

r

1 , 2 ,..., n là n vectơ nào đó của W . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến

tính f : V  W sao cho:
r
f  i   i , i  1,..., n .

Chứng minh
a) Sự tồn tại
Trước hết ta xác định ánh xạ f : V  W cho bởi như sau: với mỗi véc tơ
r rr r r
r r
  x11  x2 2  ...  xn n trong V thì ta đặt ảnh của nó là:
r
r r r r
r r
f    x11  x2 2  ...  xn  n .

Đó thực sự là một ánh xạ vì theo cách xác định thì f xác định khắp nơi và
r

n

rr r

n

r

nếu    xi i ,    yi i trong không gian véc tơ V mà    thì dễ dàng
i 1

r

r

i 1

chúng ta có véc tơ:
r

r

n

r

      xi  yi  i  0
i 1

r

r

là véc tơ không trong V. Theo giả thiết, hệ véc tơ    1 ,...,  n  là một cơ sở
của V nên:
r r
xi  yi , i  1,..., n hay    .

Như vậy f hoàn toàn xác định một ánh xạ từ không gian véc tơ V vào
không gian véc tơ W.

+) f là một ánh xạ tuyến tính:
12


Ta phải kiểm tra rằng f là một ánh xạ tuyến tính. Thật vậy, với hai véc tơ
r

n

r

r

n

r

   xi i  V ,    yi i  V
i 1

r

r

n

r

r

i 1

n

r

thì       xi  yi  i  V và     xi i  V .
i 1

i 1

Theo định nghĩa của ánh xạ f ta có:
r
r r
r n
 n
f      f    xi  yi   i     xi  yi  
 i 1
 i 1
n
n
r
r
r
r
  xi  i   yi  i  f    f    .
i 1

i 1

n
r
r
r
r n
r
 n
f     f    xi i     xi i    xi i   f   .
i 1
 i 1
 i 1

r

r

n

r

r

Dễ dàng kiểm tra được f  i   i , i  1,..., n . Thật vậy, nếu    xi i
i 1

theo định nghĩa của f ta có:
r
r
 n r n
f    f   xi i    xi f  i 

 i 1
 i 1
.
r
r
Từ đẳng thức trên suy ra f  i   i , i  1,..., n là khi ta áp dụng cho các
r
r
véc tơ thuộc tập    1 ,...,  n  .

b) Sự duy nhất
Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f , g : V  W mà
r
r
r
f  i   g  i   i , i  1,..., n .
r

n

r

thì với mọi    xi i  V ta đều có:
i 1

n
r
r
r
r

 n r n
 n r
f    f   xi i    xi f  i    xi g  i   g   xi i   g   .
i 1
 i 1
 i 1
 i 1


Điều này chứng tỏ rằng có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính f : V  W
sao cho:
r
f  i   i , i  1,..., n .
13


Ý nghĩa của định lí:
1) Để xác định một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian véc tơ hữu hạn
chiều chúng ta chỉ cần xác định ảnh của các vectơ trong một cơ sở nào đó.
2) Nếu không gian véc tơ V có chiều n thì mỗi hệ n vectơ của W xác định
một ánh xạ tuyến tính từ V đến W. Như vậy, có thể có vô số ánh xạ tuyến tính
từ V đến W nếu W khác không gian véc tơ không.

1.2.2. Đồng cấu tuyến tính
Trong lý thuyết tập hợp các ánh xạ giữa các tập hợp được phân ra thành
các ánh xạ đặc biệt là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Tương ứng với chúng, các
ánh xạ tuyến tính cũng được phân thành đơn cấu, toàn cấu và đẳng cấu.
Định nghĩa 1.2.2.1. Cho V, W là các không gian véc tơ trên trường K.
Ánh xạ tuyến tính trên trường K, f : V  W , được gọi là:
a) Một đơn cấu tuyến tính (đơn cấu) nếu f là đơn ánh từ V đến W.

b) Một toàn cấu tuyến tính (toàn cấu) nếu f là toàn ánh từ V đến W.
c) Một đẳng cấu tuyến tính (đẳng cấu) nếu f là song ánh từ V đến W.
Chúng ta chú ý rằng, một ánh xạ tuyến tính giữa các K-không gian véc tơ
đôi khi người ta còn gọi với một tên khác là đồng cấu tuyến tính. Sử dụng lý
thuyết ánh xạ của các tập hợp và các tính chất của ánh xạ tuyến tính chúng ta
có thể khẳng định được kết quả sau:
Mệnh đề - Định nghĩa 1.2.2.2. Nếu f : V  W là một đẳng cấu tuyến
tính thì ánh xạ ngược f 1 : V  W cũng là một đẳng cấu tuyến tính. Chúng ta
gọi là phép nghịch đảo của f .
Chứng minh. Chứng minh của định lý này rất đơn giản nên chúng tôi sẽ
để dành nó cho các bạn sinh viên xem như bài tập.
Do đó chúng ta cũng có thể nói rằng mỗi đẳng cấu tuyến tính giữa các Kkhông gian véc tơ là một đồng cấu tuyến tính khả nghịch. Trong trường hợp
này, chúng ta cũng nói rằng không gian véc tơ V đẳng cấu với không gian véc
tơ W, kí hiệu là V  W .

14


1.2.3. Định lý về đẳng cấu tuyến tính
Trong trường hợp hai không gian V và W là các không gian véc tơ hữu
hạn chiều chúng ta có một đặc trưng cho tính chất đẳng cấu giữa chúng thông
qua số chiều.
Định lý 1.2.3.1. Hai không gian vectơ hữu hạn chiều trên cùng trường K
là đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng là các không gian véc tơ có cùng số
chiều trên K.
Chứng minh
Giả sử V  W thì có một đẳng cấu f : V  W . Ta sẽ chứng minh nếu
r
r
r

r
1,...,  n  là một cơ sở của V thì hệ  f 1  ,..., f  n  sẽ là một cơ sở của W .

Thật vậy:
Thứ nhất, ta chỉ ra

r
r
 f   ,..., f  
1

là một hệ sinh của W: vì f là đẳng

n

r
r
r
r
cấu tuyến tính nên với mỗi  W thì  V :   f   . Từ tính chất cơ sở ta
r

n

có biểu diễn    xi i nên ta có:
i 1

r



r

r

n

n

r

  f    f   xi i    xi f  i  .
 i 1



i 1

r
r
r
Suy ra véc tơ  biểu thị tuyến tính được qua hệ  f 1  ,..., f  n  .

Tiếp theo, ta chứng minh các véc tơ của W biểu thị tuyến tính duy nhất
qua

n
r
r
 n r

r
r
r
f


f


y
f

:
giả
sử
thì
f

,...,
f









 1


i
i
  yi i  . Vì f là
n 
 i 1

i 1
n

r

r

r

một đơn cấu tuyến tính nên véc tơ    yi i . Do biểu diễn duy nhất của 
i 1

r

r

qua hệ véc tơ cơ sở 1,...,  n  của V nên ta có xi  yi , i  1,..., n . Do đó biểu
r
r
r
diễn của  qua hệ  f 1  ,..., f  n  là duy nhất.
Từ hai khẳng định trên chúng ta suy ra rằng hệ các véc tơ
r

r
 f   ,..., f  
1

n

trong không gian véc tơ W là một cơ sở của K-không gian

véc tơ W . Vì vậy, chúng ta có dimV  n  dimW .
r r

r

Ngược lại, giả sử ta có dimV  dimW  n . Lấy 1,  2 ,...,  n  là một cơ sở
r r

r

của không gian véc tơ V và 1 ,  2 ,...,  n  là một cơ sở của không gian véc tơ
15


W . Khi đó theo định lý xác định ánh xạ tuyến tính chúng ta đã biết ở trước,

chúng ta có duy nhất ánh xạ tuyến tính g : V  W và cũng có duy nhất ánh xạ
r

tuyến tính h : W  V xác định bởi h   i    i , i  1,..., n mà là ánh xạ ngược của
r

ánh xạ tuyến tính g bởi việc kiểm tra được h.g  idV , g.h  idW , do đó ánh xạ
tuyến tính g là một song ánh từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ
W. Vậy ánh xạ g là một đẳng cấu tuyến tính và do đó V  W .

1.2.4. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Định nghĩa 1.2.4.1. Giả sử V ,W là những K – không gian vectơ hữu hạn
r

r

r
r
chiều,  e   e1,..., en  là một cơ sở của V ,    1 ,...,  n  là một cơ sở của W .

Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính f : V  W được xác định duy nhất bởi hệ vectơ

 f  er  ,..., f  er  . Các vectơ f  e 
r

1

j

n

r

lại biểu thị tuyến tính một cách duy nhất

r

qua cơ sở 1,...,  n  của W :
n
r
r
f  e j    aij i , j  1,..., n .
i 1

Trong đó các hệ số aij đều thuộc trường K . Như vậy ánh xạ tuyến tính f
được xác định một cách duy nhất bởi các vô hướng aij 1  i  m,1  j  n . Sắp
xếp chúng thành ma trận:
 a11 a12
a
a22
A   21
 ... ...

 an1 an 2

... a1n 
... a2 n 
  aij 
mn
... ... 

... amn 

và gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính f : V  W đối với cặp cơ sở  e và

  .

1.2.5. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính
Chúng ta chú ý, nếu chúng ta cố định một cơ sở của không gian véc tơ V
thì mỗi ánh xạ tuyến tính từ V đến W là tương ứng với duy nhất một ma trận
có dạng:

16


 a11 a12
a
a22
A   21
 ... ...

 an1 an 2

... a1n 
... a2 n 
  aij 
mn
... ... 

... amn 

ở đây m = dimW. Chúng ta có một câu hỏi ngay lập tức rằng: với việc cố định
một cơ sở của không gian véc tơ V và ma trận của tự đồng cấu tuyến tính nói
trên thì liệu chúng ta có một biểu diễn nào cho ảnh của ánh xạ tuyến tính
thông qua ma trận nói trên hay không? Quá trình xây dựng và các kết quả tiếp
theo dưới đây sẽ giúp chúng ta trả lời cho vấn đề này.
Xây dựng 1.2.5.1. Cho f : V  W là ánh xạ tuyến tính, có ma trận

A   aij 

đối với cặp cơ sở  e và    . Khi đó, nếu vectơ  V có tọa độ
mn
r
 x1,..., xn  trong cơ sở  e thì tọa độ của f   trong cơ sở   là  y1,..., yn 
r

tính bởi công thức:
n

 yi   aij x j

i 1
 j  1,..., n


Ta gọi công thức trên là biểu thị tọa độ của ánh xạ tuyến tính f đối với
cặp cơ sở  e  và   đã cho. Thật vậy ta có:
 n r  n
r
r
r
y


f


f

    x je j    x j f e j 

i i
i 1
 j 1
 j 1
m

n
r
 m r m  n
  x j   aij i      aij x j  i .
j 1
 i 1
 i 1  j 1


Vì biểu thị tuyến tính của mỗi vectơ thuộc W qua cơ sở    của nó là duy
nhất nên ta có được công thức trên.
 x1 
 y1 
r
 
 
Kí hiệu x   ...  là vectơ cột tọa độ của  trong cơ sở  e  , y   ...  là
x 
y 
 n
 m
r

vectơ cột tọa độ của f   trong cơ sở    thì công thức tính tọa độ của
r
f   được viết dưới dạng ma trận

y  Ax
17


trong đó ma trận A là ma trận của ánh xạ tuyến tính f đối với cặp cơ sở  e
và    tương ứng của V và W.

1.2.6. Định lý về tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận
Như đã nhận xét ở trên, mỗi ánh xạ tuyến tính từ V đến W là tương ứng
với duy nhất một ma trận có dạng:
 a11 a12
a
a22
A   21
 ... ...

 an1 an 2

... a1n 
... a2 n 
  aij 
mn
... ... 

... amn 

ở đây m = dimW. Chúng ta có một câu hỏi ngay lập tức rằng: tương ứng
ngược lại giữa các ma trận và các tự đồng cấu tuyến tính thì sao? Chúng có
tồn tại hay không và nếu các tương ứng đó có tồn tại thì sự tồn tại đó có là
duy nhất hay không? Kết quả của định lý sau đây sẽ giúp cho chúng ta khẳng
định rằng tương ứng này là tương ứng một và chỉ một.
Định lý 1.2.6.1. Ánh xạ cho tương ứng đặt mỗi một K-ánh xạ tuyến tính
f  Hom V ,W  với ma trận A  M  f  trong một cặp cơ sở cố định của V và
W là một K-đẳng cấu tuyến tính từ K-không gian véc tơ Hom V ,W  lên K-

không gian véc tơ Mat  m  n, K  . Do đó ta có Hom V ,W  là K-không gian
véc tơ có số chiều được tính bằng dim Hom V ,W   m  n .
Chứng minh
r

r

 e  e1,..., en  của V và    1,...,  m của W
các ánh xạ tuyến tính f , g  Hom V ,W  có các ma trận tương ứng là
Giả sử đối với cặp cơ sở

A   aij 

mn

và B   bij mn tức là ta có:
m
r
r
f  e j    aij j ,

j  1,..., n

i 1

m
r
r
g  e j    bij i ,

j  1,..., n .

i 1

Khi đó

18


m
r
r
 g   e j     aij  bij  i ,

f

j  1,..., n

i 1

  f   e j      aij  i ,

m

r

r

j  1,..., n .

i 1

Như vậy đối với cặp cơ sở đã cho ma trận của f  g là A  B , ma trận của
 f là  A . Nói một cách khác:
M  f  g  M  f   M g
M  f   M  f 

Điều này chứng tỏ phép đặt tương ứng mỗi K-ánh xạ tuyến tính với ma
trận của nó trong một cặp cơ sở cố định là ánh xạ tuyến tính.
Mặt khác có thể dễ dàng để kiểm tra rằng ánh xạ nói trên là một song ánh
cho nên nó là một K-đẳng cấu tuyến tính từ K-không gian véc tơ Hom V ,W 
lên K-không gian véc tơ Mat  m  n, K  . Do đó ta có Hom V ,W  là K-không
gian véc tơ có số chiều được tính bằng dim Hom V ,W   m  n .

1.2.7. Tích của các ánh xạ tuyến tính
Định lý 1.2.7.1. Cho U,V,W là các không gian véc tơ trên K và các ánh xạ
f : V  W , g : W  U là những ánh xạ tuyến tính trên K. Khi đó ánh xạ tích
go f : V  U cũng là ánh xạ tuyến tính trên K.

Chứng minh
Thật vậy, ta có:

 go f        g   f     f      g  f     g  f   
r

r

r

r

r

r

r
r r
r
   g o f       g o f   , ,   K ,  ,  V .

 

Mệnh đề 1.2.7.2. Với các kí hiệu như trong định lý trên, giả sử f có ma
r

r

r

r

trận A trong cặp cơ sở  e  e1,..., en ,    1,...,  m và g có ma trận B

trong cặp cơ sở    1 ,...,  m  ,  u   u1 ,..., u p  . Khi đó ma trận của ánh xạ
r

r

tuyến tính tích go f trong cặp cơ sở

r

r

r
r
r
r
 e   e1 ,..., en  ,  u   u1,..., u p  chính là

ma trận B. A .
19


Chứng minh
Theo giả thiết ta có
p
r
r
f  j    bkj uk .

m
r

r
f  ei    aij j và
j 1

k 1

Do tính chất tuyến tính của g ta có:


m



j 1

r 

 go f  ei   g  f  ei    g   a ji j    a ji g  j 
r

r



m

r

j 1

n
r
 p r  p  m
  a ji   bkj uk      bkj .a ji uk .
j 1
 k 1
 k 1  j 1


Gọi C   ckj  p  n là ma trận của go f trong cặp cơ sở  e , u  thì ta có:
p
r
r
go f  ei    ckiuk
k 1

Do biểu thị tuyến tính của  go f  ei  qua cơ sở u  là duy nhất nên ta phải
r

có :
m

cki   bkj a ji .
j 1

Điều này đúng cho mọi k  1,..., p và i  1,..., n nên hệ đẳng thức này
tương đương với đẳng thức ma trận C  B. A .
Chú ý 1.2.7.3. Nếu f , f  : V  W ; g , g  : W  U ; h : U  T là những ánh xạ
tuyến tính giữa những K - không gian vectơ thì chúng ta có các đẳng thức sau
đây :

 ho g o f  ho  go f 
go  f  f   go f  go f 
 g  g o f  go f  go f .
Từ đó, suy ra được các công thức tương ứng giữa các ma trận :
C  B. A    C.B  A
B  A  A   BA  BA

 B  B A  BA  BA
Chứng minh
20


Chứng ta chú ý rằng, việc chứng minh các công thức về các ánh xạ tuyến
tính trên trường K:

 ho g o f  ho  go f 
go  f  f   go f  go f 
 g  g o f  go f  go f
hay các công thức về ma trận
C  B. A    C.B  A
B  A  A   BA  BA

 B  B A  BA  BA
là có thể được kiểm tra dễ dàng trên việc tính toán cụ thể của ảnh của một ánh
xạ tuyến tính như các ánh xạ thông thường. Công việc kiểm tra, tính toán các
ảnh của các ánh xạ tuyến tính tương ứng chúng tôi sẽ dành nó cho các bạn
sinh viên, người đọc và xem như một bài tập thực hành cho người đọc.

21

1.3. HẠT NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Trở lại nhận xét ở trên, nếu chúng ta xét một ánh xạ giữa hai tập hợp bất kì
thì nói chung chúng không có gì đặc biệt. Song, các không gian véc tơ là các
tập hợp mà có phép toán nên nếu chúng ta xét một ánh xạ tuyến tính giữa các
không gian véc tơ thì có thể ảnh và ảnh người của chúng cũng sẽ có những
tính chất và đặc điểm riêng.
1.3.1. Tính chất của ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
Định lý1.3.1.1. Giả sử f : V  W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó ta có
các tính chất sau:
a) Nếu T là một không gian vectơ con của V thì ảnh f T  của nó qua f
là một không gian vectơ con của W .
b) Nếu U là một không gian vectơ con của W thì nghịch ảnh f 1 U  của
nó qua f là một không gian vectơ con của V .
Chứng minh
r

r

r

a) Vì f  0   0 nên 0  f T  , do đó f T  là tập con của W khác rỗng.
r r

r

r r

r

r

r

Giả sử  ,   f T  thì x, y  T :   f  x  ,   f  y  . Với   K , do tập T
r
r r
là không gian vectơ con của K-không gian véc tơ V nên x  y  T và  x T .
r r
r
Do đó f  x  y   f T  và f   x   f T  .

Theo giả thiết ánh xạ f là ánh xạ tuyến tính nên:
r r
r r
r
r
f  x  y   f  x   f  y       f T 
r
r
r
f   x    f  x     f T 

Vậy chúng ta đã chứng minh được rằng tập f T  là không gian vectơ con
của W trên K.
r

r

r

b) Vì f  0   0 nên 0  f 1 U  .
r r

r

Nếu  ,   f 1 U  thì f   , f     U . Vì f là ánh xạ tuyến tính nên
r

chúng ta có đẳng thức:
r
r r
r
f     f    f   U
r
r
f      f    U ,   K





 

22