De HSG toan 8 cap huyen dap an

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán 8
Thời gian: 120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2 điểm):
Cho biểu thức
 (x − 1) 2
1 − 2x 2 + 4x
1  x2 + x
A=
−
+
:
2
x3 −1
x − 1 x 3 + x
 3x + (x − 1)
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A > -1
Câu 2 (5 điểm):
Giải các phương trình sau:
a)

x − 2012 x − 2011 x − 2010
x −1
x

+
+
+ ×××+
+
= 2013
1
2
3
2012 2013

1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 8
Câu 3 (2 điểm):
b)

2

Xác định a và b để đa thức f (x) = x 4 − 9x 3 + 21x 2 + ax + b chia hết cho đa thức
x2 − x − 2 .
Câu 4 (2,5 điểm):
1 − 21a
= 1 − 3a (a là tham số)

x+7
Tìm giá trị của a để phương trình trên có nghiệm âm.
Câu 5 (7 điểm):
Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc cạnh BC, điểm F thuộc cạnh AD sao cho
CE=AF. Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại M, N.
a) Chứng minh rằng: CM.DN = a2
·
b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng: MKN
= 900
Cho phương trình

c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất?
Câu 6 (1,5 điểm):
Cho x, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2

2

 1  1
A =  1 + ÷ + 1 + ÷
 x  y

-------------------------- Hết -------------------------Họ và tên thí sinh:............................................ Số báo danh: ...........................................
Giám thị số 1....................................................Giám thị số 2:............................................

Trang 1


PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
DUY TIÊN

Câu
Câu 1
(2 điểm)

KỲ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG HSG LỚP 6,7,8 THCS
NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: Toán 8

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
Nội dung
x
≠
0,
x
≠
1,
x
≠
−
1
ĐKXĐ:

Điểm
0.25

x2 +1
a) Rút gọn được: A =
x +1

1
0.25

x2 +1
x2 + x + 2
> −1 ⇔
>0
x +1
x +1
Do đó x 2 + x + 2 và x + 1 phải cùng dấu
b) Để A > −1 thì

2

1 7

mà x + x + 2 =  x + ÷ + > 0
2 4

nên x + 1 > 0 ⇔ x > −1
Kết hợp với điều kiện xác định ta có: x > −1, x ≠ 0, x ≠ 1 thì A > -1
2

Câu 2
(5 điểm)

a)

0.25

0.25

x − 2012 x − 2011 x − 2010
x −1
x
+
+
+ ×××+
+
= 2013
1
2
3
2012 2013

 x − 2012   x − 2011   x − 2010 
 x −1   x

⇔
− 1÷ + 
− 1÷+ 
− 1÷ + ×××+ 
− 1÷ + 
− 1÷ = 0
0.75
1
2
3

 

 

 2012   2013 

x − 2013 x − 2013 x − 2013
x − 2013 x − 2013
+
+
+ ×××+
+
=0
1
2
3
2012
2013
1
1 
 1 1
⇔ (x − 2013) 1 + + + ×××+
+
÷= 0
2012 2013 
 2 3
⇔

1 1
1
1
+ + ×××+

+
≠0
2 3
2012 2013
⇔ x − 2013 = 0
⇔ x = 2013
Vậy tập hợp nghiệm của pt là S = {2013}
1
1
1
1
1
+ 2
+ 2
+ 2
=
2
x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 8
ĐKXĐ: x ≠ −1, x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4, x ≠ −5

0.5
0.25

mà 1 +

(1) ⇔

0.5
0.25
(1)

1
1
1
1
1
+
+
+
=
(x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 8

0.25
(2)

0.5

⇔

1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
+

−
+
−
+
−
=
(x + 1) (x + 2) (x + 2) (x + 3) (x + 3) (x + 4) (x + 4) (x + 5) 8

0.5

⇔

1
1
1
−
=
(x + 1) (x + 5) 8

0.25

⇔ 8(x + 5) − 8(x + 1) = (x + 1)(x + 5)
⇔ 8x + 40 − 8x − 8 = x 2 + 6x + 5
Trang 2


0.5
0.5
0.25

⇔ x 2 + 6x − 27 = 0
⇔ (x − 3)(x + 9) = 0
⇔ x = 3 (thỏa mãn) hoặc x = −9 (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của pt là S = { − 9, 3}

Câu 3
(2 điểm)

Gọi thương của phép chia đa thức f(x) cho đa thức x 2 − x − 2 là P(x).
Để đa thức f(x) chia hết cho P(x) thì ta phải có:
x 4 − 9x 3 + 21x 2 + ax + b = (x 2 − x − 2).P(x) đúng ∀x
hay x 4 − 9x 3 + 21x 2 + ax + b = (x − 2)(x + 1).P(x) đúng ∀x
Vì đẳng thức (1) đúng với mọi x nên
Với x = 2, ta có:
24 − 9.23 + 21.2 2 + 2a + b = 0
⇔ 2a + b = −28
(2)

0.25

(1)

0.5
0.25

0.25

Với x = -1, ta có:
(−1) 4 − 9.(−1)3 + 21.(−1) 2 − a + b = 0
⇔ b = a − 31

0.25

(3)

Thay (3) vào (2) có: 2a + a − 31 = −28
⇔ a =1
⇒ b = 1 − 31 = −30
a = 1
Vậy với 
thì f(x) chia hết cho x 2 − x − 2
b
=
−
30


Câu 4
(2.5
điểm)

ĐKXĐ: x ≠ −7
Biến đổi pt về dạng: (1 − 3a)x = −6
- Nếu a =

(2)

1
thì pt (2) có dạng 0x = −6 (vô lí)
3

⇒ pt(2) vô nghiệm ⇒ pt đã cho VN

0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

1
thì pt (2) là pt bậc nhất một ẩn
3
6
⇒ pt (2) có nghiệm duy nhất x =
3a − 1

- Nếu a ≠

Để x là nghiệm của phương trình đã cho thì
Để pt có nghiệm âm thì x < 0 ⇒
mà 6 > 0 ⇒ 3a − 1 < 0 ⇔ a <
1
3

Vậy với a < ,a ≠

0.25
6
1

≠ −7 ⇔ a ≠
3a − 1
21

6
<0
3a − 1

1
3

1
thì pt đã cho có nghiệm âm
21

0.25
0.25
0.5
0.25

Trang 3


Câu 5
(6,5
điểm)

0.5

a) Vì ABCD là hình vuông

AB / /CD ⇒ AB / /CN, AB / /ND

⇒
EC AF
AD = BC mà AF = EC ⇒ FD = BE ⇒ BE = FD (1)
CM CE
=
(2)
Vì AB//CM ⇒
AB BE
AB AF
=
(3)
Vì AB//DN ⇒
DN FD
CM AB
=
⇒ CM.DN = AB2 = a 2
Từ (1)(2)(3) ⇒
AB DN
CM AB
CM AD
=
⇒
=
( vì AD = BC = AB)
b) Theo câu a, ta có: ⇒
AB DN
BC DN
·

·
Do đó ∆CMB : ∆DAN (c.g.c) ⇒ CMB
= DAN
(4)
·
·
Mà DAN
+ AND
= 900 (Vì ∆DADN vuông tai D)

0.75
0.5
0.5
0.75
0.5
0.5

(5)

·
·
Từ (4)(5) ⇒ CMB
+ AND
= 900

0.5
0.5

·
Do đó MKN

= 900

c) Áp dụng BĐT côsi ta có
DN + CM ≥ 2 DN.CM = 2 a 2 = 2a (Vì a > 0)
DN + CM + CD ≥ 3a (Vì CD = a )
hay MN ≥ 3a

Dấu "=" xảy ra khi DN = CM = a. Khi đó
CE = BE
hay 
 AF = FD

Câu 6
(1,5
điểm):

CE AF CM a
=
=
= =1
BE FD AB a

0.5
0.5

0.5

Vậy khi E và F lần lượt là trung điểm của BC và AD thì MN có độ dài nhỏ nhất 0.5
là 3a
Ta có

2

2

 1  1
A = 1 + ÷ + 1 + ÷
y
 x 
2

2

 x+ y  x+y
= 1 +
÷ (Vìx + y = 1)
÷ + 1 +
x  
y 


0.25

0.25
Trang 4


2

2

y 
x

= 2 + ÷ + 2 + ÷
x 
y

 x y   x 2 y2 
= 8 + 4  + ÷+  2 + 2 ÷
x 
y x y
y
x
Vì x, y > 0 ⇒ > 0, > 0 nên áp dụng BĐT cô si ta có:
x
y
x y
xy
+ ≥2
=2
y x
yx
x 2 y2
x 2 y2
+
≥
2
=2
y2 x 2
y2 x 2

0.25

0.25
0.25

⇒ A ≥ 8 + 4.2 + 2 = 18
x = y
1
⇔x = y =
2
x + y = 1

Dấu "=" xảy ra khi 

Vậy minA =18 khi x = y =

0.25

1
2

Chú ý:
+ Điểm toàn bài không làm tròn.
+ Nếu học sinh làm cách khác nếu đúng cho điểm tối đa tương đương với biểu điểm.

Trang 5