Đề-Đáp án Toán 8 cấp huyện 2009-2010

UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1: ( 2,5 điểm)
a. Cho:
2
2
1 2 2 4
2 7 10 5
x x x
A
x x x x
− − −
= + −
− − + −
- Thực hiện rút gọn A.
- Tìm x nguyên để A nguyên.
b. Chứng minh: a + b = c thì a
4
+ b
4
+ c
4
= 2a
2
b
2

+ 2b
2
c
2
+ 2a
2
c
2
Bài 2: ( 1,5 điểm)
a. Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + ac + bc với mọi số a, b, c.
b. Chứng minh
cba
c
ab
b
ac
a
bc
++≥++
với mọi số dương a, b, c.
Bài 3: (1,5 điểm)
Giải phương trình:
6
4212

4
208
8
7216
2
64
2222
+
++
+
+
++
=
+
++
+
+
++
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
Bài 4: (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD. M là điểm trên đường chéo BD. Hạ ME góc với AB
và MF vuông góc với AD.
a. Chứng minh DE ⊥ CF; EF = CM

b. Chứng minh ba đường thẳng DE, BF và CM đồng qui.
c. Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất..
Bài 5: (1,5 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD là phân giác. Đường thẳng qua trung
điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.
Chứng minh BF = CE.
UBND HUYỆN QUẾ SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2009-2010
Môn: Toán - Lớp 8
Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1: ( 2,5 điểm)
5
42
)2)(5(
2
2
1
2
−
−
−
−−
−−
+
−
=
x

x
xx
xx
x
A
Điều kiện để A có nghĩa là x ≠5 và x ≠2
0,25
)2)(5(
158
)2)(5(
2)(42(25
22
−−
−+−
=
−−
−−−−−+−
=
xx
xx
xx
xxxxx
A
0,25
2
3
2)(5(
)3)(5(
−
+−

=
−−
−−−
=
x
x
xx
xx
A
0,25
( 2) 1 1
1
2 2
x
A
x x
− − +
= = − +
− −
0,25
A nguyên khi và chỉ khi
1
2x −
nguyên, khi đó x-2=1 hoặc x-2 =-1
⇒ x=3, hoặc x=1.
0,25
Đặt P = a
4
+ b
4

+ c
4
- 2a
2
b
2
-2 b
2
c
2
- 2a
2
c
2

= (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
- 4a
2
b
2
- 4b
2
c

2
- 4a
2
c
2
0,25
Thay c
2
= (a+b)
2
vào ta được:
= (2a
2
+ 2b
2
+ 2ab )
2
- 4(a
2
b
2
+ b
2
c
2
+ a
2
c
2
)

0,25
= 4[(a
2
+ b
2
+ ab)
2
- a
2
b
2
- c
2
(a
2
+b
2
)] 0,25
Thay c
2
= (a+b)
2
vào ta được:
= 4[ (a
2
+b
2
)
2
+2(a

2
+b
2
)ab + a
2
b
2
- a
2
b
2
-(a+b)
2
(a
2
+b
2
)]
= 4[ (a
2
+b
2
)
2
+2(a
2
+b
2
)ab -(a+b)
2

(a
2
+b
2
)]
0,25
= 4(a
2
+b
2
)[ (a
2
+b
2
) +2ab -(a+b)
2
]
= 0 ⇒ a
4
+ b
4
+ c
4
= 2a
2
b
2
+ 2b
2
c

2
+ 2a
2
c
2
0,25
Bài 2: ( 1,5 điểm)
⇔ 2(a
2
+ b
2
+ c
2
)≥ 2(ab + ac + bc)
0,25
⇔ 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
-2ab -2ac - 2bc ≥ 0
0,25
⇔ (a-b)
2
+ (a-c)
2
+ (b-c)
2
≥ 0

Bất đẳng thức cuối luôn đúng (Do (a-b)
2
≥ 0 …) nên có đpcm
0,25
Câu b
⇔
cba
abc
ab
abc
ac
abc
bc
++≥++
222
)()()(
0,25
Nhân hai vế với số dương abc được:
⇔
abcacbbcaabacbc
222222
)()()(
++≥++
0,25
Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có:
≥++
222
)()()( abacbc
abcacbbca
222

++
⇒ đpcm
0,25
Bài 3: (1,5 điểm)
⇔
6
6)6(
4
4)4(
8
8)8(
2
2)2(
2222
+
++
+
+
++
=
+
++
+
+
++
x
x
x
x
x

x
x
x
0,25
⇔
6
6
6
4
4
4
8
8
8
2
2
2
+
+++
+
++=
+
+++
+
++
x
x
x
x
x

x
x
x
0,25
⇔
6
6
4
4
8
8
2
2
+
+
+
=
+
+
+
xxxx
⇔
6
3
4
2
8
4
2
1

+
+
+
=
+
+
+
xxxx
⇔
)6)(4(
245
)8)(2(
165
++
+
=
++
+
xx
x
xx
x
0,25
⇔ (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)
⇔ (5x+16)(x
2
+10x + 24) = (5x+24)( x
2
+10x + 16)
0,25

⇔ 5x
3
+ 50x
2
+ 120x + 16x
2
+ 160x + 16.24
= 5x
3
+ 50x
2
+ 80x + 24x
2
+ 240x + 24.16
⇔ 8x
2
+ 40x = 0
0,25
⇔ 8x(x + 5) = 0
x = 0; x = -5
Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm
0,25
Bài 4: (3,0 điểm)
Câu a: 1,25 điểm
DF = AE ⇒ ∆DFC = ∆AED
0,25
⇒ ADE = DCF
⇒ EDC + DCF = EDC + ADE
0,25

EDC + ADE = 90
0

nên DE ⊥ CF
0,25
MC = MA (BD là trung trực của AC)
0,25
MA = FE nên EF = CM
0,25
Câu b: 1,0 điểm
⇒ ∆MCF =∆FED ⇒ MCF = FED
0,25
Từ MCF = FED chứng minh được CM ⊥ EF
0,25
Tương tự a) được CE ⊥ BF
0,25
ED, FB và CM trùng với ba đường cao của ∆FEC nên chúng đồng qui.
0,25
Câu c: 0,75 điểm
ME + MF = FA + FD là số không đổi. 0,25
⇒ ME.MF lớn nhất khi ME = MF
0,25
Lúc đó M là trung điểm của BD 0,25
Bài 5: (1,5 điểm)
A B
C
D
M
E
F

Trong ∆BMF có AD//MF nên:

BD
BM
BA
BF
=
0,25
Trong ∆CAD có AD//ME nên:

CD
CM
CA
CE
=
0,25
Chia vế theo vế được:

CM
CD
BD
BM
CE
CA
BA
BF
..
=
0,25

BD
CD
CE
CA
BA
BF
=⇒
.
(BM=CM) 0,25
AD là phân giác nên:

AB
AC
BD
CD
=
0,25
Thay vào trên được:

AB
AC
CE
CA
BA
BF
=
.

CEBF
CE

BF
=⇒=⇒
1
0,25
A
B CD M
E
F