Đề thi HSG toán 9 cấp huyện

Đề thi HSG huyện môn toán 9
(Thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Bài 1(2,0 điểm):
Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9
số còn li bằng 18047. Xác nh số b xoá.
Bài 2(2,0 điểm):
a. Giải phơng trình:
8x 11 4 6 11 4 6 + =
.
b. Cho biểu thức: A =
( )
(
)
3
3 3
3
2 1 2 1
3
+
. Chứng minh rằng A là một số
nguyên.
Bài 3(2,0 điểm):
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x
3
+ (2 - x)
3
.
b. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau:
2 2 2
x y z xy 3y 4z 6+ + < + +

.
Bài 4(2,5 điểm):
Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng (d) không có điểm chung
với đờng tròn. M là một điểm di chuyển trên (d), từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB
với đờng tròn (A, B là tiếp điểm).
a. Chứng minh rằng, khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một
điểm cố định.
b. Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt MA tại P. Hãy xác định vị
trí điểm M để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất.
Bài 5(1,5 điểm):
Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A, có các cạnh tơng ứng a, b, c.
Cho biết: a = 140cm, b:c = 3:4. Tìm độ dài đờng cao h thuộc cạnh huyền.
Hết
Đáp án chấm bai thi HSG môn toán 9
Bài 1(2,0 điểm):
Cho 10 số nguyên dng liên tip. Nu xoá mt trong 10 số đó thì tổng 9
số còn li bằng 18047. Xác nh số b xoá.
Giải
Xét 10 số nguyên dơng liên tiếp l x, x + 1, , x + 9.
Tổng của 10 số l 10x + 1 + 2 + + 9 = 10x + 45.
Giả sử số b xoá l x + k (k = 0, 1, 2, , 9) thì tổng 9 số còn l i l T = 9x
+ 45 k. Vì 18047 chia cho 9 có số d l 2 nên k < 9 v do đó số T chia cho 9
có d l 9 k = 2, suy ra k = 7.
Ta có 9x + 45 - 7 = 18047 nên x = 2001. S b xoá l 2008.
Bài 2(2,0 điểm):
c. Giải phơng trình:
8x 11 4 6 11 4 6 + =
. (0,75đ)
d. Cho biểu thức: A =
( )

(
)
3
3 3
3
2 1 2 1
3
+
. Chứng minh rằng A là một số
nguyên. (1,25đ)
Giải
a) Phơng tình đã cho tơng đơng với:
( ) ( )
= + +
= + +
= + +
= + +
=
=
2 2
8x 11 4 6 11 4 6
8x 2 2 3 2 2 3
8x 2 2 3 2 2 3
8x 2 2 3 2 2 3
2 2x 4 2
x 2
b) Đặt B =
( )
(
)

3
3 3
2 1 2 1+
ta có:
(1)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= +

= + + +



= + +



= + + = =


3
3
3 3
3
3 3 3 3
2
3 3 3
2 3

3 3 3 3
B 2 1 2 1
2 3 2 2 1 1 2 1
3 2 3 2 3 2 1
3 2 3 2 1 2 1 3 2 1 3
Do đó
=
3
B 3
. Suy ra
3 3 3
A B : 3 3 : 3 1
= = =
l số nguyên.
Bài 3(2,0 điểm):
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x
3
+ (2 - x)
3
. (0,75đ)
d. Tìm các số nguyên x, y, z thoả mãn bất đẳng thức sau: (1,25đ)
2 2 2
x y z xy 3y 4z 6+ + < + +
.
Giải
a) Ta có
( )
( )
( )
= + = + +

= +
= + +
= +
3
3 3 2 3
2
2
2
Q x 2 x x 8 12x 6x x
6x 12x 8
6 x 2x 1 2
6 x 1 2 2
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x = 1. Vậy
=
min
Q 2
(đạt đợc khi x = y
= 1).
b) Bất đẳng thức
+ + < + +
2 2 2
x y z xy 3y 4z 6
tơng đơng với
+ + + <
2 2 2
x y z xy 3y 4z 7 1
(*)
Vì x, y, z nguyên nên từ (*) ta có
+ + +
2 2 2

x y z xy 3y 4z 7 0
Do đó:
( )

+ +
ữ ữ

2 2
2
y y
x 3 1 z 2 0
2 2
(2)
Suy ra

=



=


=



y
x 0
2
y

1 0
2
z 2 0
Từ đó ta có các số nguyên thoả mãn bất đẳng thức đã cho l :
= = =x 1, y 2,z 2
(2)
Bài 4(2,5 điểm):
Cho đờng tròn tâm O bán kính R và đờng thẳng (d) không có điểm chung
với đờng tròn. M là một điểm di chuyển trên (d), từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB
với đờng tròn (A, B là tiếp điểm).
c. Chứng minh rằng, khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một
điểm cố định.
(1,25đ)
d. Từ O kẻ đờng thẳng song song với AB, cắt MA tại P. Hãy xác định vị
trí điểm M để tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất. (1,25đ)
Giải
(d)
N
O
K
A
P
M
B
H
a) Vì MA, MB l các tiế p tuyến của đờng tròn nên MA = MB v MA


OA.
Vì MA = MB v OA = OB nên OM l trung trự c của AB, suy ra AB

OM. Trong tam giác AOM vuông tại A có AN l đ ờng cao nên ON. OM = OA
2
= R
2
(không đổi).
Gọi H l chân đ ờng vuông góc hạ từ O đến (d) v K l giao củ a AB v
OH. T hai tam giác đồng dạng ONK v OHM (g- g) có
ON OK
OH OM
=
Suy ra
ON.OM
HK
OH
=
Vì ON.OM, OH không đổi nên OK không đổi. Mặt khác K nằm giữa O
v H nên suy ra K cố định. Vậy khi M di chuyển trên (d) thì AB luôn đi qua một
điểm cố định.
(3)
b) Ta có
( ) ( )
MOP
1 1 1
S MP.OA MA AP .OA MA AP .R
2 2 2
= = + = +
(1)
p dụng bất đẳng thức Côsi có

( )
1
MA AP MA.AP
2
+
(2)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi v ch khi MA = AP.
Trong tam giác vuông MOP có MA . AP = OA
2
= R
2
(3)
T (1), (2) v (3) có
2
MOP
S R
Tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất l R
2
(đạt đợc khi MA = MP = R. Vậy để
tam giác MOP có diện tích nhỏ nhất thì OM =
R 2
.
Bài 5(1,5 điểm):
Cho tam giác vuông ABC, vuông tại đỉnh A, có các cạnh tơng ứng a, b, c.
Cho biết: a = 140cm, b:c = 3:4. Tìm độ dài đờng cao h thuộc cạnh huyền.
Giải
Từ giả thiết b : c = 3 : 4 ta có
= =
b c
k

3 4
Suy ra b = 3k, c = 4k
p dụng định lý Pitago v o tam giác vuông đang xét có:
( ) ( )
+ =
2 2
2
3k 4k 140
hay
( )
=
2
2
5k 140
Suy ra 5k = 140, do đó k = 28. Từ đó các cạnh b, c của tam giác l 84cm
v 112cm.
Từ
= =
bc
ah bc h
a
. Do đó đờng cao thuộc cạnh huyền l
= =
84.112
h 67,2cm
140
Hết