De thi HSG toan 8 dap an bieu diem p3

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

HUYỆN NHO QUAN

NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi gồm có 01 trang)

ĐỀ BÀI
Câu 1 (4 điểm):
1.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x 3 + 8 x 2 + 19 x + 12
b) x 3 + 6 x 2 + 11x + 6
2. Cho A = x 3 + 8 x 2 + 19 x + 12 và B = x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 . Tính

A
.
B

Câu 2 (2 điểm): Giải phương trình
a) x 2 - 2005x – 2006 = 0
b) |3x – 1| - |2x + 5| = 4
c) |x – 2| + |x – 3| + |2x – 8| = 9
Câu 3 (5 điểm): Lúc 7h sáng, một người đi xe máy từ A đến B dài 45km. Tới B, người đó
giải quyết xong công việc trong 1h30’ rồi quay về A , tới A lúc 11h. Đoạn đường AB gồm một

đoạn đường bằng phẳng và một đoạn đường lên dốc. Vận tốc lúc lên dốc là 24km/h, lúc
xuống dốc là 45km/h và trên đường bằng là 40km/h. Hỏi đoạn đường bằng dài bao nhiêu km?
Câu 4 (3 điểm):
1.So sánh A = 1997 . 1999 và B = 1998 2
2. Chứng minh rằng
a) ( x + y )( x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 ) = x 4 − y 4
b) Nếu (a + b) 2 = 2(a 2 + b 2 ) thì a = b
Câu 5 (6 điểm): Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF.
a) Chứng minh rằng: AE ⊥ BC.
b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên
đoạn thẳng AB.
---Hết---


PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN NHO QUAN

HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn thi : Toán

Câu
Câu 1
(4
điểm)

Phần

Nội dung
3
2
phần1 a) x + 8 x + 19 x + 12
2đ
= x 3 + 4 x 2 + 4 x 2 + 16 x + 3 x + 12

Điểm

= x 2 ( x + 4) + 4 x( x + 4) + 3( x + 4)

0.25
0.25
0.25

0.25

= ( x 2 + 4 x + 3)( x + 4)
= ( x + 1)( x + 3)( x + 4)
b) x 3 + 6 x 2 + 11x + 6
x 3 +3 x 2 + 3 x 2 + 9 x + 2 x + 6
x 2 ( x + 3) + 3 x( x + 3) + 2( x + 3)
( x 2 + 3x + 2)( x + 3)
( x + 1)( x + 2)( x + 3)

=
=
=
=

phần2
2đ

Ta có : A = x 3 + 8 x 2 + 19 x + 12 = ( x + 1)( x + 3)( x + 4)
B = x 3 + 6 x 2 + 11x + 6 = ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
=>

a)

0.75
0.75

x+4
A ( x + 1)( x + 3)( x + 4)
=
=
B ( x + 1)( x + 2)( x + 3)
x+2

0.5

x 2 - 2005x – 2006 = 0

 x 2 + x – 2006x – 2006 = 0
 x (x + 1) – 2006(x + 1) = 0
 (x + 1)(x – 2006) = 0
x+1=0
 x = -1

Câu 2

(2
điểm )
b)

x – 2006 = 0  x = 2006
Vậy tập nghiệm của phương trình là S ={-1;2006}
- Có thể xét bảng hoặc không xét bảng
- ( học sinh làm theo cách khác mà trình bày đúng và kết quả
đúng vẫn cho điểm tối đa).
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S = {

Câu 3
(3
điểm)

0.25
0.25
0.25
0.25

Đổi 1h30’ =

3
giờ
2

Gọi độ dài đoạn đường bằng là x (km) (0 < x < 45)
 Thời gian lên dốc là:

45 − x

(h)
24

−8
;10}
5

0.2
0.2
0.15
0.15
0.15
0.15

1

(GV
chấm
tự chia
nhỏ
biểu
điểm


45 − x
(h)
45
2x
 Thời gian đi đoạn đường bằng là
(phải tính 2x vì ta tính thời

40
gian cả đi và về)

 Thời gian xuống dốc là:

Theo bài ra, ta có phương trình:
45 − x
45 − x
2x
3
+
+
+ =4
24
45
40
2

tùy
theo
bài
làm
của
học
sinh.

Giải phương trình ta được x = 27 (thỏa mãn điều kiện).
Vậy độ dài đoạn đường bằng là 27 km.
Ta có:

A = 1997 . 1999
= (1998 – 1) . (1998 + 1)
= 1998 2 - 1
mà 1998 2 - 1 < 1998 2
nên
A< B

Phần 1

Câu 4
(3
điểm)

Phần 2

0.25
0.25
0.25
0.25

a)Ta có: ( x + y )( x 3 − x 2 y + xy 2 − y 3 )
= x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + x 3 y − x 2 y 2 + xy 3 − y 4
= x 4 − y 4 = VP

0.5
0.25
0.25

=> VT = VP (đpcm)

0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125
0.125

(a + b) 2 = 2(a 2 + b 2 )

b) Từ
=>
=>
=>
=>
=>
=>
=>

a 2 + 2ab + b 2 = 2a 2 + 2b 2
a 2 + 2ab + b 2 − 2a 2 − 2b 2 = 0
− a 2 + 2ab − b 2 = 0
− (a 2 − 2ab + b 2 ) = 0
− ( a − b) 2 = 0

a–b=0
a = b (đpcm)
C

D
I

H

O

E

F

0,5

A

Câu 5
(6
điểm )

a
2đ

K

M

B

∆AME = ∆CMB (c-g-c) ⇒ ∠EAM = ∠BCM
Mà ∠BCM + ∠MBC = 900 ⇒ ∠EAM + ∠MBC = 900

⇒ ∠AHB = 900
Vậy AE ⊥ BC

1
0,5
0,5


b
2đ

c
1,5đ

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến
1
1
⇒ HO = AC = DM
2
2

⇒ ∆DHM vuông tại H
⇒ ∠DHM = 900
Chứng minh tương tự ta có: ∠MHF = 900
Suy ra: ∠DHM + ∠MHF = 1800
Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của AC và DF.
Ta có: ∠DMF = 900 ⇒ MF ⊥ DM mà IO ⊥ DM ⇒ IO // MF
Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF

Kẻ IK ⊥ AB (K∈AB)
⇒ IK là đường trung bình của hình thang ABFD
⇒ IK =

AD + BF AM + BM AB
=
=
(không đổi)
2
2
2

0,5
0,5
0,5
0,5

0,5
0,5

Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định.
0,5
Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di
động trên đoạn thẳng AB

Lưu ý : Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.