Đề thi HSG toán 5 + đáp án

Giao lu toán tuổi thơ lần thứ III
Môn: toán
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề)
I- Đề bài
Bài số 1
a. Tìm a, b, c, d biết:
ab,cd a,bcd = 18,063
b. Số A = 1 x 2 x 3 x 4 x . x 2010 x 2011 + 4013 chia cho 2007 d bao nhiêu?
Bài số 2
Đến dự giao lu toán tuổi thơ lần thứ ba, Compa vui tính có một bài toán: Tính
tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2007
Mời các bạn thí sinh cùng tham gia giải nhé!
Bài số 3
Một nhóm học sinh thuê thuyền đi chơi trên sông trong 2 giờ. Thuyền đi ngợc dòng
với vận tốc 3km/giờ và xuôi dòng với vận tốc 6km/giờ. Hỏi thuyền đi xa bến bao nhiêu km
thì phải quay trở về bến để trả thuyền đúng giờ.
(Giả sử rằng lúc khởi hành thuyền đi ngợc dòng).
Bài số 4
Cho hình vẽ bên, trong đó ABCD là hình chữ nhật, AB đợc kéo dài để có AB = BE.
Đoạn thẳng ED cắt BC ở M. Hãy:
a. So sánh diện tích hai tam giác BEM và CDM.
b. So sánh MB và MC. E
c. So sánh BH và CK.
H
M
B C

A D
K
II- Đáp án.
Bài số 1 (2,5điểm)

a. Tìm a, b, c, d biết
ab,cd a,bcd = 18,063
Ta có: ab,cd : a,bcd = 10 => Số ab,cd gấp 10 lần số a,bcd (0,25đ)
Mà hiệu hai số là 18,063. Ta có sơ đồ:
ab,cd (0,25đ)
a,bcd ? 18,063
Số a,bcd là: 18,063 : (10 1) = 2,007 (0,25đ)
Vậy a = 2; b = 0; c = 0; d = 7
Thử lại: 20,07 2,007 = 18,063 (đúng)
Đáp số : a = 2; b = 0; c = 0; d = 7 (0,25đ)
b. Xét số hạng thứ nhất:
1 x 2 x 3 x 4 x . x 2010 x 2011
* Nhận xét
2 1 = 1
3 2 = 1
4 3 = 1

2011 2010 = 1 (0,25đ)
Vậy số hạng thứ nhất là tích các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2011.
Mà 1 < 2007< 2011 => Số 2007 là một thừa số của số hạng thứ nhất suy ra tích 1
x 2 x 3 x 4 x x 2010 x 2011 chia hết cho 2007. (0,5đ)
Mặt khác 4013 : 2007 = 1 (d 2006).
Suy ra: 1 x 2 x 3 x 4 x x 2010 x 2011 + 4013 chia cho 2007 d 2006
Vậy số A chia cho 2007 d 2006. (0,5đ)
Đáp số: 2006 (0,25đ)
Bài số 2: (2,5điểm)
Ta bổ sung số 0 vào dãy số tự nhiên liên tiếp đã cho.
Suy ra ta có dãy số: 0, 1, 2, 3, , 2005, 2006, 2007 (0,25đ)
* Ta hãy tính tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 1999.
Nhận xét:

- Hai số 0 và 1999 có tổng các chữ số là: 0 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28
- Hai số 1 và 1998 có tổng các chữ số là 1 + 1 + 9 + 9 + 8 = 28

- Hai số 9 và 1990 có tổng các chữ số là 9 + 1 + 9 + 9 + 0 = 28
- Hai số 10 và 1989 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 1 + 9 + 8 + 9 = 28

- Hai số 99 và 1900 có tổng các chữ số là 9 + 9 + 1 + 9 + 0 + 0 = 28
- Hai số 100 và 1899 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 0 + 1 + 8 + 9 + 9 = 28

- Hai số 999 và 1000 có tổng các chữ số là 9 + 9 + 9 + 1 + 0 + 0 + 0 = 28 (0,75đ)
* Nh vậy trong dãy số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 1999 thì từng cặp số tính từ 2 đầu
trở vào đều có tổng các chữ số bằng 28.
Mà từ 1 đến 1999 có 1999 số hạng. Do đó từ 0 đ ến 1999 sẽ có 2000 số.
Do đó có 2000 : 2 = 1000 (cặp số). Mà mỗi cặp có tổng các chữ số bằng 28. (0,25đ)
Vậy tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến 1999 là:
28 x 1000 = 28000 (0,25đ)
* Tổng các chữ số của các số 2000; 2001; 2002; 2003; 2004; 2005; 2006; 2007 là:
2 x 9 + 0 x 17 + 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 44 (0,5đ)
Tổng các chữ số của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 2007 là:
28000 + 44 0 = 28044 (0,5đ)
Đáp số: 28044
Bài số 3 (2 điểm)
Ta thấy quãng đờng thuyền đi xuôi dòng bằng quãng đờng thuyền đi ngợc dòng.
Nên vận tốc thuyền đi xuôi dòng gấp vận tốc đi ngợc dòng bao nhiêu lần thì thời gian
thuyền đi xuôi dòng kém thời gian đi ngợc dòng bấy nhiêu lần. (0,25đ)
Vận tốc thuyền đi xuôi dòng so với vận tốc đi ngợc dòng thì gấp:
6 : 3 = 2 (lần) (0,25đ)
=> Thời gian thuyền đi xuôi dòng bằng thời gian thuyền đi ngợc dòng. Ta có sơ đồ:
?
Thời gian thuyền ngợc dòng (0,25đ)

2 giờ
Thời gian thuyền xuôi dòng
Thời gian thuyền đi ngợc dòng là:
2 : (1 + 2) x 2 =
3
4
(giờ) (0,5đ)
Thuyền chỉ đợc đi xa bến số km là phải quay về bến để trả thuyền đúng giờ là:
3 x = 4 (km) (0,5đ)
Đáp số: 4km (0,25đ)
Bài số 4: (3 điểm)
E
K
H

M
B C
A D
Gọi S là diện tích
a. Ta có:
- song song với AB => DC song song với AE. Vậy tứ giác ADCE là hình thang
vuông (0,25đ)
- Vì AB = DC mà AB = BE => BE = DC (0,25đ)
Vậy: SBEC = SCDE (vì 2 tam giác có đáy BE = DC; chiều cao CB bằng chiều cao
hạ từ đỉnh E xuống đáy DC) (0,5đ)
Hai tam giác BEC và CDE có diện tích bằng nhau và có phần diện tích tam giác
EMC chung. Do đó:
SBEC SEMC = SCDE SEMC
(0,5đ)
SBEM = SCDM

b. Theo câu a. Hai tam giác vuông BEM và CDM có diện tích bằng nhau. Và có
chiều cao BE = CD nên đáy MB = MC (0,5đ)
c. SBEM = SMEC (vì 2 tam giác có đáy MB = MC
chung chiều cao hạ từ E xuống BC) (0,5đ)
Mà hai tam giác EBM và EMC có chung đáy EM
Nên chiều cao BH = CK (0,25đ)
Đáp số: a. SBEM = SCDM
b. MB = MC (0,25đ)
c. BH = CK