CHỦ đề hàm số lớp 12

NGUYỄN THỊ LANH

1


CHỦ ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Nhắc lại bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp
Đạo hàm của f  x  với x là biến số

1
cos2 x
1
 cot x  '   2
sin x

c'  0

 tan x  ' 

 x  '  x


1

,

 1  1
 x   x2
 

 

 x  '  2 1x

e '  e

 x '  n

 loga x  ' 

a x '  a x lna
x

1

n

n

x

n 1

sinx  '  cosx;

x

 ln x  ' 

1

x lna

1
x

Đạo hàm của f  u  với u là hàm số

u'
cos2 u
u'
 cot u  '   2
sin u

c'  0

 tanu  ' 

 u '   u


1

 u'

,

 1  u'
 u   u2
 

a '  u' a

 u  '  2u'u

e  '  u' e

u

u

 u '  n u'u

 loga u  ' 

sinu '  u' cosu

 lnu  ' 

n

n

n 1

u

 lna

u

u'
ulna

u'
u

cosu '  u' sinu

cosx  '   sinx
ad  bc
 ax  b 
'
.
 Chú ý: 

2
 cx  d   cx  d 
* Tổng, hiệu, tích, thương của đạo hàm

 u  v  '  u' v'

 u  v  '  u' v  v' u

 u  u' v  v' u
 v ' 
v2
 

 k  u '  k  u'; k 

2. Nhắc lại tính đồng biến, nghịch biến của hàm số
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K.

 Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu  x1 , x2 K, x1 < x2  f  x1   f  x2 
 Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu  x1 , x2 K, x1 < x2  f  x1   f  x2 
y

y

f(x2)

f(x1)

f(x1)
O

f(x2)
x 1 x2

x

x

O

Đồ thị hàm số đồng biến
NGUYỄN THỊ LANH

x1

x2

Đồ thị hàm số nghịch biến
2


3. Các định lí
Định lí 1: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K.
 Nếu f '  x   0, x K thì hàm số f  x  đồng biến trên K.
 Nếu f '  x   0, x K thì hàm số f  x  nghịch biến trên K.
 Nếu f '  x   0, x K thì hàm số f  x  không đổi trên K.
Định lí 2: Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm trên khoảng K.
 Nếu f '  x   0, x K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f  x 
đồng biến K.
 Nếu f '  x   0, x K và f '  x   0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f  x 
nghịch biến K.
 Chú ý: Khoảng K trong định lí trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa
khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết : “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. Xét khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Phương pháp giải:
 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số
 Bước 2: Lấy đạo hàm và xét dấu của
 Bước 3: Từ bảng xét dấu và vận dụng định lí em suy ra khoảng đơn điệu
của hàm số
BÀI TẬP MẪU
 Cơ bản
Câu 1: Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên  ;   ?
A. y  x3  2x.

B. y  3x3  9x  2.

C. y  x4  2x2  1.

Hướng dẫn giải
Bây giờ, em sẽ đi phân tích các đáp án nhé!
y'
Hàm số
Dấu y '

D. y  2.

Kết luận

y  x3  2x

y'  3x2  2

y'  0, x 

y đồng biến trên  ;  

y  3x3  9x  2

y'  9x2  9

y'  0, x 

y nghịch biến trên  ;  

y'  0  x  0

y đồng biến trên  0; 

y  x4  2x2  1

y'  4x3  4x

y 2

y' 0

 y '  0, x  0

 y '  0, x  0
y'  0, x 

và nghịch biến trên  ;0
y là hàm hằng trên  ;  

 Đáp án A
NGUYỄN THỊ LANH

3


Câu 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
Khẳng định nào sau đây không đúng?
x


2
0
f ' x 


và có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây.
0





2
0




f x

4

1

A. Hàm số đồng biến trên  2;0 và  2;   .
B. Hàm số đồng biến trên  2; 1 .
C. Hàm số đồng biến trên  2;0  2;   .
D. Hàm số nghịch biến trên  ; 2 và  0;2 .
Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng biến thiên em có, hàm số đồng biến trên các khoảng  2;0 ;  2;  và
nghịch biến trên các khoảng  ; 2 ;  0;2  Đáp án A và D đúng.
Mà  2; 1   2;0 nên đáp án B đúng.
Đáp án C sai vì theo định nghĩa, hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng, đoạn
hoặc nửa khoảng.
 Đáp án C
Câu 3: Hàm số y  x3  3x2 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
B. 0;2 .

A.  ;0 .

D.  4;0 .

C. 2;   .
Hướng dẫn giải

Em tính được y'  3x  6x  y'  0  3x  x  2  0  x  0 hoặc x = 2.
2

Em lập được bảng xét dấu như sau:
x
0

0
f ' x 

f x



2
0






0


4
Từ bảng biến thiên em thấy, hàm số nghịch biến khi y '  0 trên  0;2 .
Câu 4: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
bên. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên  1;0  1;   .
B. Hàm số đồng biến trên  1; 3 ; 1;   .
C. Hàm số đồng biến trên  1;0 ; 1;   .
D. Hàm số nghịch biến trên  ; 1 ;  4;1 .
NGUYỄN THỊ LANH

 Đáp án B

và có đồ thị như hình

y
-1 O

1

x

-3
-4

4


Hướng dẫn giải
Em hãy nhìn vào đồ thị và thấy được hàm số y  f  x  đồng biến trên  1;0 ; 1;  
và nghịch biến trên  ; 1 ; 0;1

 Đáp án C

 Vận dụng





Câu 5: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  7 x2  1  x  3  x  2 , x  . Mệnh
đề nào dưới đây đúng?

2

3

A. Hàm số nghịch biến trên  ; 2 .

B. Hàm số đồng biến trên  2;3 .

C. Hàm số nghịch biến trên  2;7  .

D. Hàm số đồng biến trên 1;   .
Hướng dẫn giải

 x  2
Em thấy f '  x   0   x  7  x  1  x  3  x  2  0  x  3
 x  7
Trục xét dấu của y’:





2

2

+

3

-

-

-2

+

7

3

Từ trục xét dấu của y’ em thấy: hàm số nghịch biến trên  2;7  .
 Đáp án C

Câu 6: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hàm số f '  x  như

y

hình bên. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. Hàm số nghịch biến trên  ;   .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   .
x

C. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;1 .

-1 O

D. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;2 .

1

2

Hướng dẫn giải
Dựa vào đồ thị của hàm số f '  x  em có bảng xét dấu của f '  x  như sau:

1



x
f ' x 



0

1


0



2


0



 f '  x   0, x   ;  
 Đáp án A
Câu 7: Hàm số y  2x  1  x2 đồng biến trong các khoảng nào sau đây?


A.  1;


2 
.
5

 2


;1  .
 5 

B. 

Tập xác định: D   1;1 .
NGUYỄN THỊ LANH

C.  1;1 .

D.  1;   .

Hướng dẫn giải

5


x  0
2

; y’ = 0  2 1  x2  x  
2
2 x
2
2
5
1 x
1x
4 1  x  x
 Em vẽ được bảng biến thiên như sau:
y'  2

x



x

2 1  x2  x





2

-1

1

5



y’

0







5

2

y

2


2 
  Đáp án A
5

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

 Hàm đã cho đồng biến trên  1;

Câu 8: Hàm số y  x3  6x2  9x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A.  ;1  3;   .
Câu 9: Hàm số y 

B. 1;3 .

C.  ;1 ; 3;   .

D. 1;   .

x 1
nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
x 2

A.  ;2  2;   .

B.  0;2 .

C.  ;2 ; 2;   .

D. Không có.

Câu 10: Hàm số nghịch biến trên  ;2 và đồng biến trên  2;  là
A. y  x3  x.

B. y  x  2 .

C. y 

x 1
.
x 2

1
Câu 11: Cho đồ thị của hàm số y  x2  x 4 như hình vẽ bên.
4
Khẳng định nào trong các khẳng định sau là sai?



B. Trên  1; 2  thì hàm số đồng biến.
C. Trên   2;0 thì hàm số nghịch biến.
D. Trên  2;  thì hàm số nghịch biến.
A. Trên ;  2 thì hàm số đồng biến.

D. y 

x 3
.
x 2
y

1
x
- 2 O

2

Câu 12: Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm f '  x  . Hàm số f  x  đồng biến trong khoảng

A.  ;   .

y

B.  1;0 ; 1;   .
C.  1;1 .
D.  1;   .

NGUYỄN THỊ LANH

1
x
-1 O

1

6


Câu 13: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x2  1, x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên  ;0 .

B. Hàm số nghịch biến trên  ; 1 .

C. Hàm số nghịch biến trên  1;0 .

D. Hàm số đồng biến trên  ;   .





Câu 14: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x2  1  x  5 , x  . Mệnh đề nào dưới
đây đúng?

2

A. Hàm số nghịch biến trên  ; 1 .

B. Hàm số đồng biến trên  ;1 .

C. Hàm số nghịch biến trên  1;1 .

D. Hàm số đồng biến trên  1;   .

Câu 15: Hàm số y  1  x2 đơn điệu trên các khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
C. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;0 và nghịch biến trên  0;1 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;0 và đồng biến trên  0;1 .
Câu 16: Hàm số y  x  cos2 x
A. Đồng biến trên  ;   .

B. Đồng biến trên  ;  k  ; k  .

C. Không đồng biến cũng không nghịch biến.

D. Nghịch biến trên  ;   .

8

C

9
C

ĐÁP ÁN
11
12
B
A

10
B

13
D

14
C

15
C

16
A

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 8:
Tập xác định: D  . Em lại có: y'  3x2  12x  9; y'  0  x  1 hoặc x  3.
 Bảng biến thiên:

x
y’




1
0





3
0
0




y

4



 Đáp án C
Câu 9:
1

y' 
 0, x  2  Hàm số nghịch biến trên  ;2 ; 2;   .  Đáp án C
2
 x  2
Câu 10:
Em loại đáp án C và D vì các hàm số này luôn đơn điệu trên tập xác định.

NGUYỄN THỊ LANH

7


x  2 khi x  2
1 khi x  2
Em xét hàm số y  x  2  
 y'  
2  x khi x  2
1 khi x  2
 Hàm số đồng biến trên khoảng  2;  và nghịch biến trên khoảng  ;2 .

 Đáp án B
Câu 11:







Nhìn vào đồ thị em thấy, hàm số đồng biến trên các khoảng ;  2 ; 0; 2 và





nghịch biến trên các khoảng  2;0 ;

2;



 Đáp án B

Câu 12:
Em nhìn thấy đồ thị hàm số f '  x  nằm hoàn toàn phía trên trục Ox
 f '  x   0, x 

và f '  x   0 tại x  1.

 Đáp án A

Câu 13:
Em có: f '  x   x2  1  0, x   Hàm số đồng biến trên  ;   .  Đáp án D
Câu 14:
 x  1
Em thấy f '  x   0  x  1  x  5  0   x  1
 x  5
Trục xét dấu của y’:



2



2

+

-

+

1

-1

+
5

Từ trục xét dấu của y’ em thấy: hàm số nghịch biến trên  1;1 .  Đáp án C
Câu 15:
Em tìm được tập xác định của hàm số là: D   1;1 ; y ' 
Em vẽ được bảng biến thiên của hàm số như sau:
0
x
-1
1

0

y’



x

; y '  0  x  0.

1  x2



1
y
0

0

 Đáp án C
Câu 16:
Em tính y'  1  sin2x. Do 1  sin2x  1  1  sin2x  0, x  .
 Hàm đồng biến trên  ;    Đáp án A

NGUYỄN THỊ LANH

8


Dạng 2. Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến
trên từng khoảng xác định

Phương pháp giải: Xét hàm số

trên K

 Tính
 Nêu điều kiện của bài toán:
+ Hàm số đồng biến trên K

(Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

+ Hàm số nghịch biến trên K

(Dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm)

Từ đó, em sử dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai để tìm m.
 Em cần chú ý rằng: Cho hàm số




BÀI TẬP MẪU
 Vận dụng
1
Câu 17: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y  x3  2x2  mx  1 đồng biến trên  ;   .
3
A.  4;   .
B.  4;   .
C.  ;4  .
D.  ;4 .
Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số: D  .
Em có: y'  x2  4x  m
Hàm số đồng biến trên  ;   khi và chỉ khi y'  x2  4x  m  0, x 

a  1  0, x

m4
 '  4  m  0, x 

 Đáp án A

Câu 18: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y  mx3  mx2   m  1 x  2 đồng biến
trên  ;   là

3
3
 m  0.
 m  0.
C.
2
2
Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số: D  .

A. m  0.

B.

D. m  .

Em có: y'  3mx2  2mx  m  1
TH1: m  0  y'  1  Hàm số đồng biến trên  ;    m  0 thỏa mãn.
TH2: m  0  y'  3mx2  2mx  m  1, xét  '  m2  3m2  3m  2m2  3m.

NGUYỄN THỊ LANH

9


Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;   thì

m  0 m  0
y '  0, x   

2
 '  0 2m  3m  0
m  0

 m  0
 
 m  0. Kết hợp 2 trường hợp em được m  0.
 m   3
 
2
 Đáp án A
Câu 19: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y 
khoảng xác định là
A.  ; 1 ; 1;   .

C.  1;1.

.

B.

mx  1
luôn đồng biến trên từng
xm
D.  ;1 .

Hướng dẫn giải
Tập xác định: D 

\ m và em tính được y ' 

m2  1

 x  m

2

.

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi y'  0, x  m
m  1
 Đáp án A
 m2  1  0  
m  1
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 20: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y  f  x  

1 3
x  2x2  2m  1 x  3m  2
3

nghịch biến trên  ;   là




A.  ;

5 
.
2 

 5



B.  ;   .
 2





C.  ;

5 
.
2 

 5



D.  ;   .
2


Câu 21: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y  f  x   x3  2x2   m  1 x  m  3
đồng biến trên  ;   là




7

A.  ;  .
3


7



B.  ;   .
3





7

7

C.  ;  .
3




D.  ;   .
3


Câu 22: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y  f  x   mx3  3x2   m  2 x  3 nghịch
biến trên  ;   là

A.  ; 1 .

B.  1;   .

D.  1;   .

C.  ; 1 .





Câu 23: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y  f  x   m2  5m x3  6mx2  6x  6
luôn đồng biến trên  ;   là

A. 0  m  5.
NGUYỄN THỊ LANH

B. 0  m  5.

C. 5  m  0.

D. 5  m  0.
10


Câu 24: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y 
xác định là
A. m  0.

B. m  0.

x
đồng biến trên từng khoảng
xm

C. m  0.

Câu 25: Tập hợp các giá trị thực của m để hàm số y 

D. m  0.
2

3x  mx  2
luôn nghịch biến trên
2x  1

từng khoảng xác định là
11
11
11
11
A. m  .
B. m  .
C. m  .
D. m  .
2
2
2
2
1
1
3
Câu 26: Cho hàm số y  x3   sin   cos  x2  xsin2 . Các giá trị của  để hàm số
3
2
4
đồng biến trên  ;   là



5
 k2 .
6
6

5
 k2 .
D.  k2   
6
6

5
 k .
12
12

5
 k   
 k .
C.
12
12
A.

 k   

B.



 k2   

Câu 27: Các giá trị thực của m để hàm số y  x2  2  mx  2 đồng biến trên  ;   là

A. m  1.

B. 1  m  1.

C. 1  m  1.

D. m  1.

Câu 28: Các giá trị thực của m để hàm số y  cosx  3 sin x  2mx đồng biến trên  ;  
là
A. m  1.
B. m  1.
C. m  1.
D. m  1.
Câu 29: Các giá trị thực của m để hàm số y  cosx  sinx  mx nghịch biến trên  ;   là

1
A. m  .
2

B. m 

2
.

2

D. m  1.

C. m   2.

Câu 30: Các giá trị thực của m để hàm số y  x2  2x  1  2mx đồng biến trên  ;   là

1
A. m  .
2

1
B. m  .
2

1
C. m  .
2

1
D. m  .
2

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y   m  1 x  2m  3 cosx nghịch
biến trên  ;   ?
A. 5.
20
C

B. 0.
21
D

22
A

23
B

C. Vô số.
ĐÁP ÁN
25
26
27
B
A
D

24
C

D. 10.
28
C

29
C

30

A

31
B

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 20:
Tập xác định của hàm số: D  .
NGUYỄN THỊ LANH

11


Em có: y'  x2  4x  2m  1 và  '  22  2m  1  2m  5.
Hàm số nghịch biến trên  ;   khi và chỉ khi y'  0, x 
a  1  0, x 

2m  5  0, x 
 Đáp án C
Câu 21:

Tập xác định: D 

m

  '  0, x 

5
2

và y'  3x2  4x  m  1

Hàm số đồng biến trên  ;   khi y'  0, x 

 3x2  4x  m  1  0, x 

a  3  0, x 
7
 Đáp án D

m
3
 '  3m  7  0
Câu 22:
Tập xác định của hàm số: D  .

Em có: f '  x   3mx2  6x  m  2
Hàm số nghịch biến trên  ;   khi và chỉ khi f '  x   3mx2  6x  m  2  0, x 
+ Với m = 0, khi đó f '  x   6x  2  0  x  

1
 không thỏa mãn x  .
3

m  0
m  0

+ Với m  0 , khi đó f '  x   0, x   
2
3m  6m  9  0

 '  9  3m  m  2  0
m  0

 m  1
m  1 v m  3
Câu 23:

Tập xác định: D 

 Đáp án A





và y'  3 m2  5m x2  12mx  6

TH1: m2  5m  0  m  5 hoặc m = 0.
+ Với m  0  y'  6, x   0  m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
+ m  5  y'  60x  6  m  5 không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2: m2  5m  0, hàm số đồng biến trên  ;   khi y'  0, x 





 3 m2  5m x2  12mx  6  0, x 

2


m  5m  0

0 m5
2

 '  2m  10m  0

 Đáp án B
Câu 24:
Tập xác định: D 

\ m và y ' 

m

 x  m

2

Hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định khi y'  0, x  m
 m  0  m  0

NGUYỄN THỊ LANH

 Đáp án C
12


Câu 25:
1 

\  .
2 

Tập xác định: D 

Em tính được f '  x  

6x2  6x  4  m

2x  1

2

1
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi f '  x   0, x  .
2

6  0, x 
11

  '  9  6  4  m  0  m 
2
2
6x  6x  4  m  0, x
 Đáp án B
Câu 26:
3
Tập xác định: D  và y '  x2   sin   cos  x  sin2
4
Hàm số đồng biến trên  ;   khi y'  0, x 

a  1  0, x 
3
 x2   sin   cos  x  sin2  0, x   
4
  1  2sin2  0

1

5
 1  2sin2  0  sin2    k2  2 
 k2
2
6
6

5
  k   
 k
 Đáp án A
12
12
Câu 27:
x
Em có tập xác định D  và y ' 
m
2
x 2
Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   khi y '  0, x  
m

x
x2  2

Mà g'  x  

x

, x   m  min g  x  với g  x  
x

2

2

2



x2  2

 0, 

x
x2  2

 m  0, x 

x
x2  2

và lim g  x   1; lim g  x   1
x 

x 

 m  1

 Đáp án D
Câu 28:
Tập xác định D 

và y'   sin x  3 cosx  2m

Hàm số đồng biến trên khoảng  ;   khi y'  0, x 

  sinx  3cosx  2m  0, x   2m  3cosx  sinx, x 

NGUYỄN THỊ LANH

13







 2m  2sin   x  , x   2m  min 2sin   x  
x


3

3


 





Vì 1  sin   x   1  2  2sin   x   2  min sin   x    2  2m  2  m   1
x
3 
3 
  3 
 Đáp án C
Câu 29:
Tập xác định D 

và y'  cosx sinx  m

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   khi y'  0, x 



 cos x  sin x  m  0, x   m    cos x  sin x  , x   m   2 sin  x  
4



 

 m  min   2 sin  x     m   2
x
4 


 Đáp án C
Câu 30:
x  1  2mx khi x  1
Em nhận thấy y  x2  2x  1  2mx  x  1  2mx  
1  x  2mx khi x  1
1  2m khi x  1
 y' 
1  2m khi x  1

Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;   thì y'  0, x 
1  2m  0, x 
1

m

1

2m

0,

x


2


 Đáp án A
Câu 31:
y'  m  1  2m  3 sin x.

Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   khi y'  0,  x 
 m 1  2m  3 sin x  0, x  , đặt sin x  t,t  1;1
2

f 1  0
3m  2  0
m 
 f  t   m  1  2m  3 t  0,  t  1;1  


3  m 
f  1  0 m  4  0 m  4


 Đáp án B

NGUYỄN THỊ LANH

14


Dạng 3. Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
Phương pháp giải

* Cách 1: Em tính y’, cô lập m và dựa lưu ý sau để tìm m.


* Cách 2: Tính y’, lập bảng biến thiên để tìm ra các khoảng đơn điệu, từ đó rút ra
kết luận.

BÀI TẬP MẪU
 Vận dụng

x  2m
đồng biến trên 1;  .
xm
B. m  0.
C. 0  m  1.
Hướng dẫn giải

Câu 32: Tìm m để hàm số y 
A. 0  m  1.
Em có: y ' 

m

 x  m

2

D. m  1.

,x  m

Hàm số đồng biến trên 1;   y'  0, x 1;  



m

 x  m

2

 0, x  1;    m  0

1 

Bảng biến thiên:
x
y’



m



1

+

+

y
Từ bảng biến thiên em suy ra được: m  1

2

Từ 1  và  2 em có 0  m  1.
 Đáp án C
Giải nhanh: Hàm số luôn đơn điệu trên  ;m  và  m; 

m  0
y '  0
Yêu cầu bài toán  

 0  m  1.
1;     m;   m  1


Câu 33: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y  2x3  32m  1 x2  6m  m  1 x
nghịch biến trên  ;5 ?
A. m  5.
NGUYỄN THỊ LANH

B. m  5.

C. m  4.

D. m  5.
15

Hướng dẫn giải
Em có: y  2x3  32m  1 x2  6m  m  1 x
x  m
 y '  6x2  6 2m  1 x  6m  m  1  y '  0  
x  m  1

Em có bảng biến thiên:
x 
y’
+

m
0

m 1
0





+

y
Yêu cầu bài toán  m  5
 Đáp án A
Câu 34: Cho hàm số y  x3  3x2  3mx  1. Tập hợp các giá trị của m để hàm số nghịch
biến trên khoảng  0;  là
A.  ; 1 .

C.  ; 1.

B.  ;3 .

D.  ;3.

Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số: D 

nên hàm số liên tục trên

và y'  3x2  6x  3m.

Cách 1: Hàm số nghịch biến trên  0;  thì cũng nghịch biến trên 0; 
Yêu cầu bài toán  y'  0, x 0;  

 3x2  6x  3m  0, x 0;    3m  3x2  6x, x 0;  
 m  x2  2x  g  x  , x 0;    m  min g  x  , g'  x   2x  2  0  x  1
0; 

 Bảng biến thiên:
x
y’



0
0



1
0





y

1
 m  min g  x   g 1  1.
0; 

Cách 2: y ' là tam thức bậc hai có  '  9  9m.
* TH1:  '  0  m  1. Khi đó y'  0, x   Hàm số nghịch biến trên  ;  
nên cũng nghịch biến trên  0;   .
* TH2:  '  0  m  1  y' có 2 nghiệm phân biệt x1  1  m  1  x2  1  m  1
Em hình dung ra được bảng biến thiên như sau:
NGUYỄN THỊ LANH

16


x



x1



y’



x2

0

0





y  x1 



y

y  x1 



Do đó hàm số có hai khoảng nghịch biến là  ;x1  và  x2 ;   .

 Hàm số nghịch biến trên 0;    0;     x2 ;    x2  0.
 1  m  1  0  m .

 Đáp án C
Câu 35: Cho hàm số y  x3  3x2  3mx  1. Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến
trên khoảng 3;   ?
B. m   ;3.

A. m   ;3 .

C. m  .

D. m .

Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số: D 

nên hàm số liên tục trên

và y'  3x2  6x  3m.

 Hàm số nghịch biến trên 3;  thì cũng nghịch biến trên 3; 
2
 y'  0, x 3;    3x  6x  3m  0, x 3;  

 m  x2  2x  g  x  , x 3;    m  min g  x 
3; 

Em lại có: g'  x   2x  2  0  x  1  Bảng biến thiên:
x
y’



3





y
3

 m  min g  x   g 3  3.
3; 

 Đáp án B

 Chú ý: Em chú ý, hàm số y  x3  3x2  3mx  1 liên tục trên

nên hàm số nghịch biến

trên 3;  thì cũng nghịch biến trên 3;   . Nếu em không để ý đến điều này dẫn đến
việc không tìm được min g  x  và chọn sai đáp án là D.
3; 

 Nâng cao

m 3
1
x   m  1 x2  3 m  2 x  . Tất cả các giá trị nguyên của m
3

3
thuộc  0;5 để hàm số đồng biến trên 2;  là
Câu 36: Cho hàm số y 

A. 3.
NGUYỄN THỊ LANH

B. 0.

C. 4.

D. Vô số.
17


Hướng dẫn giải
Tập xác định: D  .
Em tính được y'  mx2  2 m  1 x  3 m  2
TH1: m  0  y'  2x  6  0  x  3 nên không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2: m  0. Hàm số đồng biến trên 2;  khi y'  0, x 2,  
 y'  mx2  2 m  1 x  3  m  2  0, x 2,    m 

2x2  12x  6

 m  max g  x  . Mà g'  x  



2, 

x2  2x  3



2

6  2x
 g  x  , x 2,  
x  2x  3
2

; g'  x   0  x  3  6

Em có: lim g  x   0  Bảng biến thiên:
x 

x

2



y’



0

0

2
3

y



3 6


0

2
 m  max g  x   g 2   m  1; 2; 3; 4
2, 
3
 Đáp án C
1
1
Câu 37: Các giá trị thực của m để hàm số y  mx3  1  3m  x2  2m  1 x  nghịch
3
3
biến trên 1;5 là
 11

A.  ;   .
 3


 11


B.  ;   .
3


11 

C.  ;  .
3

Hướng dẫn giải
Tập xác định của hàm số: D  .

 11

D.  ;   .
 3


Em có y'  mx2  21  3m x  2m  1

1
 Không thỏa yêu cầu bài toán.
2
TH2: m  0. Do hàm số liên tục trên
nên hàm số nghịch biến trên 1;5 thì cũng
TH1: m  0  y '  2x  1  0  x  

nghịch biến trên 1;5 .
Hàm số nghịch biến trên 1;5 khi y'  mx2  21  3m x  2m  1  0, x [1;5]

m

2x  1
 g  x  , x [1;5]  m  max g  x 
[1;5]
x  6x  2
2

Em lại có: g'  x  

NGUYỄN THỊ LANH



 ; g' x   0  x  1  21 hoặc x  1  21
2
2
 x  6x  2
2 x2  x  5
2

2

18


Tương tự bài trên em suy ra m  max g  x   g 5 
[1;5]

11

3

 Đáp án B
 Chú ý: Nếu đề bài yêu cầu đồng biến hoặc nghịch biến trên đoạn a;b thì cũng làm
tương tự như trên.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1
Câu 38: Cho hàm số y   x3   m  1 x2   m  3 x  4. Tất cả các giá trị thực của m để
3
hàm số đồng biến trên  0;3 là
A. m 

12
.
7

B. m 

12
12
.
C. m  .
7
7
x 2
Câu 39: Tìm m để hàm số y 
nghịch biến trên  1;   .
x  3m
A. m 

2
.
3

B. m 

2
.
3

C. m  1.

D. m 

12
.
7

D. m  1.

Câu 40: Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3mx2  m nghịch biến trên 0;1 .

1
A. m  .
2

1
B. m  .
2

Câu 41: Cho hàm số y 

2x2  mx  2  m
. Tất cả các giá trị thực của m để hàm số đồng
x  m 1

biến trên  0;  là
A. m  2.

B. m  2.

C. m  0.

C. m  2.

D. m  0.

D. m  2.





Câu 42: Cho hàm số y  mx  6m  5 x  2 1  3m . Tất cả các giá trị thực của m để hàm
x 1
số nghịch biến trên 1;  là
2

7

7
.
.
D. m 
3
3
tan x  2
 
Câu 43: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 
đồng biến trên  0;  .
tan x  m
 4
A. m 

7
.
3

B. m 

7
.
3

A. m  0 hoặc 1  m  2. B. m  2.

C. m 

C. m  0.

D. m  2.

Câu 44: Tìm các giá trị thực của m đề hàm số y  m x2  1 đồng biến trên  4;5 ?
A. m  0.

B. m  0.

C. m  0.

2 5
đồng biến trên  1;2 ?
2x  m
1
B. m  5 và m  .
2
1
D. 4  m  5 và m  .
2

Câu 45: Tìm các giá trị thực của m đề hàm số y 
A. m  5.

1
C. m  .
2
NGUYỄN THỊ LANH

D. m  1.

x

19


sin x  m
 
nghịch biến trên  ;  ?
sin x  1
2 
C. m  1.
D. m  1.

Câu 46: Tìm các giá trị thực của m đề hàm số y 
A. m  1.

B. m  1.

Câu 47: Tìm các giá trị thực của m đề hàm số y  32x  3x  mx đồng biến trên  2;5 ?
A. m  171ln3.
38
B

B. m  3.

39
C

40
A

C. m  171ln3.
ĐÁP ÁN
42
43
44
D
A
A

41
B

D. m  3.
45
D

46
C

47
C

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 38:
và y'  x2  2 m  1 x  m  3.

Tập xác định: D 

Hàm số đồng biến trên 0;3  y'  x2  2 m  1 x  m  3  0, x 0;3
 m 2x  1  x2  2x  3  m 

Em có g'  x  

m

12
7

2x2  2x  8

2x  1

2

x2  2x  3
 g  x   m  max g  x 
x0;3
2x  1

 0, x 0;3  g  x  là hàm số đồng biến trên

 Đáp án B

Câu 39:
3m  2

Em có: y ' 

 x  3m 

2

, x  3m

Hàm số nghịch biến trên  1;    y'  0, x  1;  



3m  2

 x  3m 

2

 0, x   1;    m 

2
3

1

m

1

Bảng biến thiên:
x
y’









y
Từ bảng biến thiên em suy ra được: m  1
Từ 1  và  2 em có m  1.
Câu 40:
Cách 1: Tập xác định: D 

2

 Đáp án C

 Hàm số liên tục trên

.

 Hàm số nghịch biến trên 0;1 thì cũng nghịch biến trên 0;1 .
Em có y  x3  3mx2  m  y  3x2  6mx
NGUYỄN THỊ LANH

20


Yêu cầu bài toán  y'  0, x 0;1

x
x
 3x2  6mx  0  m  , x 0;1  m  max  
x0;1 2
2
 

x
1
Xét f  x   , x 0;1 . Em có f '  x    0x 0;1
2
2
Bảng biến thiên:
x
0
f ' x 

+

0

1

+

1
2

f x

0
Dựa vào bảng biến thiên  m 

1
2

 Đáp án A
x  0
Cách 2: Em có: y  x3  3mx2  m  y   3x2  6mx, y   0  
 x  2m
Để hàm số đã cho nghịch biến trên 0;1 thì y  0, x 0;1

● Trường hợp 1: 2m  0  m  0
Em có bảng xét dấu:
x 
0

y



0

2m



0





Dựa vào bảng xét dấu ta thấy y   0 trên khoảng 0;2m 
Khi đó để y'  0, x 0;1 thì 0;1  0;2m hay 2m  1  m 
● Trường hợp 2: 2m  0  m  0
Em có bảng xét dấu
x 
2m

y



0



0



0

1
(thỏa mãn)
2



Dựa vào bảng xét dấu em thấy y   0 trên khoảng 2m;0

Khi đó để y'  0, x 0;1 thì 0;1  2m;0 vô lí vì 2m  0  1  Loại
Câu 41:
Tập xác định: D  R \ 1  m.
Hàm số đồng biến trên  0;  khi y ' 

2x2  4  m  1 x  m2  2

 x  m  1
 g  x   2x2  4  m  1 x  m2  2  0, x 0;  

NGUYỄN THỊ LANH

2

 0, x  0;  

21


  2 m  2  0  m
2

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình g  x   0 có 2 nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn:
  0
2 1  m   0


m  1
x1  x2  0  S  x1  x2  0   m2  2


m 2
0
P  x x  0

m   2  m  2
 2
1 2


 Đáp án B
Câu 42:
2
Hàm số nghịch biến trên  1;    y   mx  2mx2  7  0, x  1
 x  1





 mx2  2mx  7  0  m x2  2x  7, x  1  g  x  
 min g  x   m . Em lại có: g'  x  
x 1

7  2x  2



x2  2x



2

7  m, x  1
x  2x
2

 0, x  1

 g  x  nghịch biến trên 1;   m  min g  x   g 1  7
x 1
3
 Đáp án D
Câu 43:
 
Em nhận thấy, với mọi x   0;  thì 0  tan x  1
 4

m  0
 
 Hàm số xác định trên  0;  khi và chỉ khi m  0;1  
*
 4
m  1
+ Với m = 2 thì hàm số đã cho trở thành y  1 là hàm hằng  Không thỏa mãn.

+ Với m  2 em có y ' 

2 m
cos x  tan x  m 

2

2

2 m
 
 
Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  khi y ' 
 0, x   0; 
2
2
4


 4
cos x  tan x  m 
 2  m  0  m  2 và kết hợp điều kiện  *  em được m  0 hoặc 1  m  2.

 Đáp án A
Câu 44:
Em có y ' 


mx
x2  1

mx
x2  1

, hàm số đồng biến trên khoảng  4;5 khi y'  0, x   4;5

 0, x   4;5  mx  0, x   4;5  m  0  Đáp án A

Câu 45:
t 5
1 
1 
Đặt 2x  t, t   ;4   y 
, t   ;4 
t m
2 
2 

NGUYỄN THỊ LANH

22


 y' 

5 m

1 
. Hàm số đồng biến trên khoảng  1;2 khi y '  0, t   ;4 
2 
 t  m
2

1 
 5  m  0,  t   ;4   Bảng biến thiên:

2 

x
y’

m







y

 m  4
4  m  5


1 
 m 
 Đáp án D
1
2 m 
 

2
m  5
Câu 46:
  m  1 cos x

 
y'
, do cos x  0, x   ;   Yêu cầu bài toán  m  1
2
2 
 sin x  1
 Đáp án C
Câu 47:
y'  9x .ln9  3x.ln3  m, hàm số đồng biến trên  2;5 hay hàm số liên tục trên 2;5
 y'  0, x 2;5  m  9x.ln9  3x.ln3  f  x  , x 2;5

 m  f 2  81ln9  9ln3  171ln3
 Đáp án C

NGUYỄN THỊ LANH

23


Dạng 4. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài tập
 Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
 Nếu hàm số

liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình

có

nhiều nhất một nghiệm thuộc D.
 Nếu

có một nghiệm trên tập D thì phương trình

có nhiều

nhất hai nghiệm trên D.

 Nếu

liên tục, đồng biến trên D và

hằng) trên D thì phương trình
 Nếu hàm số

liên tục, nghịch biến (hoặc hàm
có nhiều nhất một nghiệm trên D.

liên tục và đơn điệu trên D thì với mọi

đồng biến trên D thì


thì

hoặc

ta có

nghịch biến trên D

với mọi

 Ứng dụng để biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình
Cho

là hàm số liên tục trên D



có nghiệm trên D khi



có nghiệm trên D khi

BÀI TẬP MẪU
 Vận dụng
Câu 48: Số nghiệm S của phương trình x2  x  1  5 là
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x  1.
Với x = 1 thì phương trình đã cho không thỏa mãn
 x  1 không là nghiệm của phương trình.

D. 4.

Đặt f  x   x2  x  1 với x > 1.
 f '  x   2x 

1
2 x 1

 0, x  1  f  x  là hàm số đồng biến với mọi x > 1.

Mặt khác: f 2  5 nên x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
 Đáp án B
Câu 49: Tập nghiệm S của bất phương trình 3
A. S  0;   .
NGUYỄN THỊ LANH

B. S   2;   .

x 4

2

2x 4

 13 là

C. S  1;   .

D. S  0;   .
24


Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x  2.
Nhận xét x  2 không là nghiệm của bất phương trình đã cho.

1
1
Xét f(x)  3 x 4  2 2x 4  f '  x  
3 x 4 .ln3 
2 2x 4 .ln2  0, x  2.
2 x4
2x  4
 f  x  đồng biến trên  2;   .

Mà 3

x 4

2

2x  4

 13  f  x   f 0  x  0 kết hợp với điều kiện.

 Đáp án A
 Nâng cao
Câu 50: Giá trị của m để phương trình log32 x  log32 x  1  2m  1  0 có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn 1;3 3  là


B.  1;0

A.  0;2 .

C. 0;2

D.  1;0 .

Hướng dẫn giải
Đặt t  log32 x  1. Với x  1;3 3  thì t 1;2


Khi đó phương trình đã cho tương đương với: t 2  t  2  2m
Bài toán trở thành tìm m để phương trình t 2  t  2  2m có nghiệm t 1;2
Xét hàm số f  t   t 2  t  2 với t 1;2 . Em có: f '  t   2t  1 với mọi t 1;2
 min f  x   2m  max f  x   f 1  2m  f 2  0  2m  4  0  m  2.
x[1;2]

x[1;2]

 Đáp án C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 51: Tổng giá trị các nghiệm của phương trình
A. 0.

B. 1.

C.

3

x  2  3 x  1  3 2x2  1  3 2x2 là

1
.

2

D.

 x  3  10  y  5
Câu 52: Số nghiệm của hệ phương trình 
là
 y  3  10  x  5
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 53: Số nghiệm của phương trình 2017x
A. 0.





3
.
2

D. 3.

x2  1  x  1 là

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 54: Số nghiệm của phương trình 3x2  6x  ln  x  1  1  0 là
3

A. 0.

B. 1.

C. 2.
3

D. 3.
3

Câu 55: Tổng các nghiệm của phương trình x  1  2 2x  1 là
A. 0.
NGUYỄN THỊ LANH

B. 1.

C. 2.

D. 2 5.
25