CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LỚP 12

1. Đinh nghĩa:
Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) < f(x
2
)
Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x
1
, x
2
∈ K, x
1
< x
2
⇒ f(x
1
) > f(x
2
)
2. Điều kiện cần:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I
3. Điều kiện đủ:
Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu f′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f′ (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (f′(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f′(x) = 0, ∀x ∈ I thì f không đổi trên I.
Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.
Bài toán 1: Xét chiều biến thiên của hàm số
Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:
– Tìm tập xác định của hàm số.
– Tính y
′
. Tìm các điểm mà tại đó y
′
= 0 hoặc y
′
không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn)
– Lập bảng xét dấu y
′
(bảng biến thiên): Giả sử y’=0 có 1 nghiệm x
0
trên (a;b).khi đó y’ sẽ mang một
dấu trên (a;x
0
) và mang một dấu trên (x
0
;b). Vậy để xét dấu ta lấy 1 giá trị x
1
thuộc (a;x

0
) tính
y’(x
1
). Dấu của y’(x
1
) chính là dấu của y’ trên (a;x
0
. Các khoảng khác tương tự.
Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số đa thức và phân thức sau:
1)
2
2 4 5y x x= − + +

ĐS: ĐB: (-∞;1); NB(1;+∞)
2)
2
5
4 4
x
y x= + −
ĐS:NB(-∞;-2); ĐB(-2;+∞)
3)
2
4 3y x x= − +
ĐS:NB(-∞;2); ĐB(2;+∞)
4)
3 2
2 2y x x x= − + −

ĐS:ĐB(-∞;1/3) và
(1;+∞); NB(1/3;1)
5)
2
(4 )( 1)y x x= − −
ĐS:NB(-∞;1) và (3;+∞); ĐB(1;3)
6)
3 2
3 4 1y x x x= − + −
ĐS:ĐB(-∞;+∞)
7)
3 2
y x 6x 9x 4= - + - +

ĐS:NB(-∞;1) và (3;+∞); ĐB(1;3)
Trang 1 Dương Văn Đông
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
8)
4 2
1
2 1
4
y x x= − −

ĐS:NB(-∞;-2) và (0;2);ĐB(-2;0)và(2;+∞)
9)
4 2
2 3y x x= − − +

ĐS:ĐB(-∞;0) ;NB(0;+∞)
10)
4 2
1 1
2
10 10
y x x= + −

ĐS:NB(-∞;0);ĐB(0;+∞)
11)
4 2
y x 8x 3= - + -
ĐS:NB(-∞;-2) và (0;2);ĐB(-2;0) và(2;+∞)
12)
4 2
y x 6x 8x 1= - + +
ĐS:NB(-∞;-2); ĐB(-2;+∞)
13)
2 1
5
x
y
x
−

=
+
ĐS:ĐB(-∞;-5) và (-5;+∞)
14)
1
2
x
y
x
−
=
−
ĐS:ĐB(-∞;2) và (2;+∞)
15)
1
1
1
y
x
= −
−
ĐS:NB(-∞;1) và (1;+∞)
16)
2
2 26
2
x x
y
x
+ +

=
+

ĐS:ĐB(-∞;-6) và (2; +∞);NB(-6;-2)và(-2;2)
17)
1
3
1
y x
x
= − + −
−
ĐS:NB(-∞;1) và (1;+∞)
18)
2
4 15 9
3
x x
y
x
− +
=

ĐS:ĐB(-∞;-3/2) và (3/2; +∞);NB(-3/2;0)và(0;3/2)
Baøi 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số chứa căn và lượng giác sau:
Chú ý : đối với hàm căn tại các đầu mút có xác định nhưng khi kết luận ĐB, NB ta có thể viết trên
khoảng hoặc trên đoạn đều được.
1)
2
2 5y x x= + +

ĐS:NB(-∞;-1); ĐB(-1;+∞).
2)
2
( ) 5 6f x x x= − + +
ĐS:ĐB(-1;5/2);NB(5/2;6)
3)
2
2y x x= −
ĐS:ĐB(0;1);NB(1;2)
4)
2 1 3y x x= − − −
ĐS: ĐB(1/2;3)

5)
2y x x= + −
ĐS:ĐB(-∞;7/4); NB(7/4;2)
6)
3 2 2y x x= + + −
ĐS:ĐB(-∞;1); NB(1;2)
7)
2
2y x x= −
ĐS:ĐB(-
2
;-1) và (1;
2
); NB(-1;1)

8)
2

y x 1 x= -
ĐS:NB(-1;-
2
/2 ) và (
2
/2; 1); ĐB(-
2
/2;
2
/2)
9)
2
4 4 .y x= + −
ĐS:ĐB(-2;0); NB(0;2)
10)
x 1
y
3 x
+
=
ĐS:NB(0;1/2); ĐB(1/2;+∞)
11)
( )
y x. x 3= -
ĐS:NB(0;1);ĐB(1;+∞)
12)
x 2
y
x 5
+

=
+
ĐS:ĐB(-2;1);NB(1;+∞)
Trang 2 Dương Văn Đông
13)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
S:B(-;1);NB(1;+)
14)
2
x
y
25 x
=
-
S:B(-5;5);
Liờn quan n pt cha cn lp 10 dng
f(x) g(x)=
cn lm tt
15)
2
1y x x= +
S:B(-1;1/

2
); NB(1/
2
;1) HD: Khụng c nhõn liờn hp
16)
2
y x 1 x 4x 3= + - - +
S:B(-;1);NB(3;+) HD: y=0 vụ nghim nờn y luụn mang 1 du
trờn mi khong xỏc nh.
17)
2
y x 1 2 x 3x 3= + - + +
S:B(-;-1);NB(-1;+)
18)
2
y 3x 7 x 6x 9= - + + - +
S:NB(-;+)
19)
2
y x 5x 6= + +
S:NB(-;-3)v(-5/2;-2); B(-3;-5/2)v (-2;+)
20)
2
y x 5x 4= - +
S:NB(-;1)v(5/2;4); B(2;5/2)v (4;+)
21)
2
y 3x 8x 11= - -
S:NB(-;-1)v(4/3;11/3); B(-1;4/3)v(11/3;+)
22)

3 2
y x 6x 9x 4= - + -
S:NB(-;1)v(3;4); B(1;3)v (4;+)
23)
3
y x 3x 2= - +
S:NB(-;-2)v(-1;1); B(-2;-1)v (1;+)
24)
3
y x 3x 4= + -
S:NB(-;1); B(1;+)
25)
2
y x 1 2x 5x 7= - + - + -
S:B(-;-7/2)v(-1;1); NB(-7/2;-1)v (1;+)
26)
2 2
y x x 7x 10= + - +
S:NB(-;7/4); B(7/4;+)
Bi toỏn 2: CM hm s luụn ng bin, Nghch bin.
Ta bin i ythnh hng ng thc cng mt s v ch ra du ca y khi nú l hm bc 3 hoc bc 2/b1.
Cũn hm bc 1/b1 thỡ y ó l 1 s d so sỏnh.
Baứi 3. Chng minh rng hm s
1)
2
y 1 x= -
nghch bin trờn on
0;1
ộ ự
ờ ỳ

ở ỷ
.
2)
3 2
4
y x 2x x 3
3
= - + -
ng bin trờn ton trc s.
3)
x 2
y
x 2
-
=
+
ng bin trờn mi khong xỏc nh ca nú.
4)
2
x 2x 3
y
x 1
- - +
=
+
nghch bin trờn mi khong xỏc nh ca nú.
Trang 3 Dng Vn ụng
5)
2
y 2x x= -

đồng biến trên khoảng
( )
0;1
và nghịch biến trên khoảng
( )
1;2
.
6)
2
x
y
x 1
=
+
đồng biến trên
( )
1;1-
và nghịch biến trên các khoảng
( ) ( )
; 1 ; 1;- ¥ - + ¥
7)
3 2 2
2
y x (m 4)x (m 6m 60)x 7
3
= - - + - + +
luôn đồng biến trên
¡
.
8)

3 2 2
y x (2 m)x (m 4)x 3= - + - - + -
luôn nghịch biến trên
¡
.
9)
(m 3)x 3m 1
y
x m
+ + -
=
+
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
10)
mx 2
y
2x m
+
=
- +
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
11)
2
(m 3)x m
y
x 4
- +
=
+
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.

12)
2 2
x m x 2
y
1 x
- -
=
-
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
13)
2 2
x 2x 1 3m
y
x m
+ - -
=
+
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
14)
2 2
x 6x m 4m 3
y
x 4
- + + + -
=
-
luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
Đối với hàm số lượng giác ta nên sử dụng tập giá trị, tính chất riêng, hoặc xét dấu trên mỗi
khoảng cần chứng minh.
15)

3
y x x cos x 4= + - -
luôn đồng biến trên
¡
.
16)
y cos 2x 2x 3= + +
luôn đồng biến trên
¡
.
17)
y x sin x= -
đồng biến trên khoảng
( )
0; 2p
.
18)
( ) ( )
y x sin x x sin x= - - -p
luôn đồng biến trên khoảng
0;
2
é ù
p
ê ú
ê ú
ë û
.
19)
x

y tan
2
=
đồng biến trên các khoảng
( )
0; p
và
( )
, 2p p
.
20)
( )
y 3x sin 3x 1= - -
luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
21)
( )
y 5x cot x 1= - + -
luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.
Trang 4 Dương Văn Đông
22)
y cos x x= -
luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.
23)
y sin x cos x 2.x= - -
luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.
Baøi 4.*Tùy vào điều kiện của tham số
m
, hãy khảo sát tính đơn điệu của hàm số
Ta biện luận dấu của y’ theo dấu của biệt thức ∆ và hệ số bậc 2 là a. Ta có thể dựa vào chú ý 3 vấn
đề 2 bên dưới.

1/
3 2 3
1 1
y x mx m x m 3
3 2
= - + + -
2/
( ) ( )
3 2
1 1
y m 1 x m 1 x x 2m 3
3 2
= - - - + + +
Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên
từng khoảng xác định)
1)Hàm bậc 3:
y ax bx c
2
' = + +
thì:
•
Hàm số đồng biến trên R Khi
0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R

a


= =


≥

≥ ∀ ∈ ⇔


>



≤


∆
•
Hàm số nghịch biến trên R Khi

0
0
' 0,
0
0
a b
c
y x R

a


= =


≤

≤ ∀ ∈ ⇔


<



≤


∆
2)Hàm bậc 1/b1;
2
ad bc
y '
(cx d)
-
=
+
.Hàm số đồng biên trên từng khoảng khi ad-bc>0; Hs NB trên từng
khoảng khi ad-bc<0
3) Hàm bậc2/b1;

2
2
amx 2anx bn cm
y '
(mx n)
+ + -
=
+
.Hàm số đồng biên trên từng khoảng khi y’≥ 0
∀
x≠-n/m;
Hs NB trên từng khoảng khi y’≤ 0
∀
x≠-n/m.
Baøi 1. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó:
1)
3 2
3 ( 2)y x mx m x m= − + + −
ĐS:-2/3≤m≤1
2) y = x
3
-3(m+1)x
2
+3(m+1)x+1 ĐS:-1≤m≤0
3)
3 2
2 1
3 2
x mx
y x= − − +

ĐS:m∈∅
4)
x m
y
x m
+
=
−
ĐS: m<0 chú ý: đk ad-bc≠0 vì ad-bc=0 thì y là một số không biến thiên.
5)
4mx
y
x m
+
=
+
ĐS:m<-2 và m>2
Trang 5 Dương Văn Đông
6)
2
x 2mx m 2
y
x m
- + +
=
-
ĐS: m≤-1 và m≥2
7)
2
2 1x mx

y
x m
− −
=
−
ĐS:m tùy ý
8)
2 2
2 3
2
x mx m
y
x m
− +
=
−
ĐS:m=0
Baøi 2. Tìm tham số
m
để hàm số: (Bài toán chú ý 2)
a/
3 2
y x 3x 3(m 2)x 3m 1= - + + + -
đồng biến trên
¡
. ĐS: m≥-1
b/
( ) ( )
3 2
y x 2m 1 x 2 m x 2= - - + - +

đồng biến trên
¡
. ĐS: ĐS:-1≤m≤5/4
c/
( )
3 2
y x m 3 x 2mx 2= + - + +
đồng biến trên TXĐ của nó. ĐS:6-3
3
≤m≤6+3
3
d/
( )
3 2 2 2
y x 3x 3 m 1 x 3m 1= - + + - - -
luôn giảm. ĐS: m=0
e/
( ) ( ) ( )
3 2
1
y 3 m x m 3 x m 2 x 3
3
= - - + + + -
luôn tăng trên
¡
.ĐS:-3/2≤m≤-1
f/
( )
( )
2 3 2

1
y m 1 x m 1 x 3x 5
3
= - + + + +
luôn đồng biến trên
¡
. ĐS: m≤-1 và m≥2 HD: chú ý cần
chia 2 trường hợp
h/
mx 3 2m
y
x m
+ -
=
+
luôn nghịch biến trên mỗi tập xác định của nó. ĐS:-3<m<1
i/
mx 2
y
x m 1
-
=
- +
đồng biến trên từng khoảng xác định của nó. ĐS:-1< m<2.
j/
2mx 1
y
x m
+
=

+
nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. ĐS:-
2
/2<m<
2
/2
k/
( )
2
2x m 2 x 3m 1
y
x 1
- + + - +
=
-
nghịch biến trên từng khoảng xác định của hs.ĐS:m≤1/2
Bài toán 4:Tìm đk của tham số để hàm số ĐB(NB) trên đoạn có độ dài bằng k.
Ta thường gặp bài toán này đối với hàm bậc 3 có
+) y’=ax
2
+bx+c với a>0 và yêu cầu ngịch biến trên đoạn có độ dài bằng k
2 1
0
x x k
ì
ï
>D
ï
ï
Û

í
ï
- =
ï
ï
î
+) y’=ax
2
+bx+c với a<0 và yêu cầu đồng biến trên đoạn có độ dài bằng k
2 1
0
x x k
ì
ï
>D
ï
ï
Û
í
ï
- =
ï
ï
î
Chú ý: cả 2 đều cần ∆>0. Nếu hệ số a chứa tham số thì bài toán sẽ khó khăn hơn đối với hs khá, TB.
Trang 6 Dương Văn Đông
Baøi 3. Tìm m để hàm số:
1)
3 2
3y x x mx m= + + +

nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. ĐS: m=9/4
2)
3 2
1 1
2 3 1
3 2
y x mx mx m= − + − +
NB trên một khoảng có độ dài bằng 3.ĐS:m∈{9;-1}
3)
3 2
1
( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= − + − + + −
đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.ĐS:0;1
4)
( )
3 2
y x x 2 m x 1= - + - - +
tăng trên đoạn có độ dài bằng 2. ĐS: m=9/4

5)
3 2
y x mx 4mx 3m 5= - + - + +
đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.ĐS: -3/2;27/2
6)
3 2
y x 3mx 3x m 1= - - + -
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2
2

.ĐS:±1
A)Hàm lượng giác luôn đơn điệu sử dụng TGT luôn dương hoặc luôn âm
1) Tìm m để
xmxmy cos).12()3( +−−=
luôn nghịch biến. ĐS:-4≤m≤2/3
2) Tìm a, b để
xxbxay 2cos.sin. ++=
luôn đồng biến.ĐS: a
2
+b
2
≤4
3) Tìm m để
xxxxmy 3sin
9
1
2sin.
4
1
sin. +++=
luôn đồng biến.Đs: m≥1/3
4) Tìm m để
xxxmxxmy 2cos.
4
1
cos.sin.cos2.2
22
+−−=
luôn đồng biến.ĐS:m≥1
5) Tìm a để

1).2sin
4
3
().cos(sin
2
1
.
3
1
23
+−−+= xaxaaxy
luôn đồng biến. ĐS:
7 11
12 12
k a k
π π
π π
+ ≤ ≤ +
6) Tìm m để
)cos(sin xxmxy ++=
luôn đồng biến trên R.ĐS:
2 2
2 2
m
−
≤ ≤
I. Khái niệm cực trị của hàm số
Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ R) và x
0
∈ D.

a) x
0
– điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) < f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.
b) x
0
– điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x
0
∈ (a; b) sao cho
f(x) > f(x
0
), với ∀x ∈ (a; b) \ {x
0
}.
Khi đó f(x
0
) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.
c) Nếu x
0
là điểm cực trị của f thì điểm (x
0

; f(x
0
)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.
II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị
Nếu hàm số f có đạo hàm tại x
0
và đạt cực trị tại điểm đó thì f′ (x
0
) = 0.
Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
Trang 7 Dương Văn Đông
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị
1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x
0
và có đạo hàm trên (a; b)\{x
0
}
a) Nếu f′ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
b) Nếu f′ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì f đạt cực đại tại x
0
.
2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x

0
, f′ (x
0
) = 0 và có đạo hàm cấp
hai khác 0 tại điểm x
0
.
a) Nếu f′′ (x
0
) < 0 thì f đạt cực đại tại x
0
.
b) Nếu f′′ (x
0
) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x
0
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số.( Các tính chất chỉ hỏi khi học sinh làm tốt cách tìm cực trị)
Qui tắc 1: Dùng định lí 1.
•
Tìm f
′
(x).
•
Tìm các điểm x
i
(i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.
•
Xét dấu f
′

(x). Nếu f
′
(x) đổi dấu khi x đi qua x
i
thì hàm số đạt cực trị tại x
i
.
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.
•
Tính f
′
(x).
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm các nghiệm x
i
(i = 1, 2, …).
•
Tính f
′′
(x) và f
′′
(x
i
) (i = 1, 2, …).
Nếu f
′′
(x
i

) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x
i
.
Nếu f
′′
(x
i
) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x
i
.
Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu 1
Baøi 1. Tìm cực trị của các hàm số sau.
a)
2 3
3 2y x x= −
b)
3 2
2 2 1y x x x= − + −
c)
3 2
1
4 15
3
y x x x= − + −
d)
3 2
3 2= − +y x x
ĐS:a) CT(0;0), CĐ(1;1);
2
b) K có CĐ, CT c) CT(3;-18), CĐ(5;-50/3);

2
13
3
Baøi 2. Tìm cực trị của các hàm số sau.
a)

4
2
3
2
x
y x= − +
b)
4 2
4 5y x x= − +
c)
4
2
3
2 2
x
y x= − + +
d)
4 2
2 3y x x= + +
ĐS:a)CT:A(-1;5/2),B(1;5/2),CĐ:C(0;3) b)CT:(
2±
;1), CĐ:(0;5) c) CT(0;3/2), CĐ(±1;2) d) CT(0;3)

Baøi 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a/
3 2x
y
x 1
-
=
-
b/
3x 1
y
1 x
+
=
-

Trang 8 Dương Văn Đông
Baøi 4.Tìm cực trị của các hàm số sau:
a)

2
3 6
2
x x
y
x
− + +
=
+

b)
2
x 2x 1
y
x 2
- + -
=
+
c)
2
2 15
3
x x
y
x
− −
=
−

d)
2
x 4x 7
y
x 3
- +
=
-
ĐS:a)CT(-4;11),CĐ:(0;3); y=-2x+3 b)CT:(-5;12), CĐ:(1;0), y=-2x+2 c)k cóCĐ,CTd)CĐ(1;-2),CT(5,6)
Baøi 5.Tìm cực trị của các hàm số sau:
1)

2
2 5y x x= − +
ĐS: CT(1;2)

2)
2
2 5y x x= + +
ĐS: CT(-1;2)
3)
2
( ) 5 6f x x x= − + +
ĐS: CĐ(5/2;7/2)
4)
2
2y x x= −
ĐS: CĐ(1;1)
5)
2
4 4 .y x= + −
ĐS: CĐ(0;6)
6)
3 2
y x 3x= - +
ĐS: CT(0;0),CĐ(2;2)
7)
2 1 3y x x= − − −
ĐS: không có
8)
2y x x= + −
ĐS: CĐ(7/4;9/4)

9)
3 2 2y x x= + + −
ĐS: CĐ(1;6)
Liên quan đến pt chứa căn ở lớp 10.
10)
2
2y x x x= + −
ĐS: CĐ(
2
1
2
+
;
1 2+
)
11)
2
1y x x= + −
ĐS: CĐ(
2
2
;
2
)
12)
2
y 2x x 3= - -
ĐS: k có
13)
2

y 2x 1 2x 8= + - -
ĐS: K có
14)
2
y x 1 2 x 3x 3= + - + +
ĐS:CĐ(-1;-2)
15)
2
y x 8 x= + -
16)
2
y 1 x 12 3x= - + -
17)
2
y x 32 x= - -
18)
2
2y x x= −
ĐS: CT(-1;-1);CĐ(1;1)
Trang 9 Dương Văn Đông
19)
2
4y x x= −
ĐS: k có CĐ, CT
20)
2
y x 4 x= -
ĐS: CT(-
2
;-2);CĐ(

2
;2)
21)
2
1
1
x
y
x
+
=
+
ĐS:CĐ(1;
2
)
22)
( )
y x x 2= +
ĐS: CĐ(-1;1);CT(0;0)
23)
( )
y x 3 x 1= - -
ĐS: CĐ(1;0) CT(2;-1)
24)
2
y x 5x 6= + +
ĐS:CT(-3;0), CT(-2;0) CĐ(-5/2;1/4)
25)
2
y x 5x 4= - +

ĐS:CT(1;0), CT(4;0), CĐ(5/2;9/4)
26)
3 2
y x 6x 9x 4= - + -
ĐS:CT(1;0), CT(4;0); CĐ(3;4)
27)
3
y x 3x 2= - +
ĐS:CT(-2;0),CT(1;0); CĐ(-1;4)
28)
3
y x 3x 4= + -
ĐS:CT(1;0)
29)
2
y x 1 2x 5x 7= - + - + -
ĐS:CĐ(-7/2;9/2), CĐ(1;0), CT(-1;-8)
30)
2 2
y x x 7x 10= + - +
ĐS:CT(7/4;31/8)
Bài toán 2: Tìm cực trị theo dấu hiệu hai
Baøi 6.Tìm cực trị của các hàm số sau bằng đạo hàm cấp 2:
Bài lỗi: Khi nào không dùng được quy tắc số 2? ĐS: khi đạo hàm cấp 2 tại x
0
bằng 0.
1)
3 2
3 2= − +y x x
2)

4 2
2 3= − +y x x
3)
2
x 4x 7
y
x 3
- +
=
-
4) y = sin
2
x ĐS :CT(kπ ;0), CĐ(π/2 + kπ;1)
5)
y sin 2x x= -
ĐS:CĐ x=π/6+kπ; CT: x= -π/6+kπ
6)
y 2 sin 2x 3= -
ĐS: CĐ x=π/4+kπ; CT: x= -π/4+kπ
7)
y 3 2cos x cos2x= - -
ĐS: CĐ x=π/2+kπ; CT: x= π/6+k2π; x= 5π/6+k2π
Bài toán 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị. Ta chia điều kiện của 3 hàm thường gặp.
1. Hàm bậc 3 có cực trị khi pt y’=0 có 2 nghiệm phân biệt.
2. Hàm bậc 4 trùng phương có 3 cực trị khi pt y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.
3. Hàm bậc 4 trùng phương có 1 cực trị khi pt y’=0 có 1 nghiệm phân biệt.
4. Hàm bậc 2/bậc1 có cực trị khi pt y’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác mẫu.
Trang 10 Dương Văn Đông
Từ đó thì bài toán CM cũng chỉ ra các đk như trên là được.
Baøi 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn có cực đại, cực tiểu:

a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −

b)
3 2
2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + +
c)
2 2 4
( 1) 1x m m x m
y
x m
+ − − +
=
−

d )
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +
Baøi 2. Tìm m để hàm số:
1)
3 2
( 2) 3 5y m x x mx= + + + −

có cực đại, cực tiểu. ĐS: m∈(-3;1)\{-2}.
2)
( )
3 2 2
y x 3(m 1)x 2m 3m 1 x m(m 1)= - - + - + - -
có cực đại, cực tiểu.ĐS: m∉[1;2]
3)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu. ĐS:
2 2 2 2m− < < +
4)
4 2 2
2( 2) 5 5= + − + − +y x m x m m
có 3 điểm cực trị là A, B, C.Tính tọa độ cực trị. ĐS:m<2;1-m
5)
4 2 2
2y x mx m m= + + +
có 3 điểm cực trị là A, B, C. Tính tọa độ cực trị. ĐS: m<0;m
6)
4 2
2 1y x mx m= + − −
có ba điểm cực trị là A, B, C. Tính tọa độ cực trị. ĐS: m<0;-m

2
-m-1
7)
4 2 2
2(1 ) 1y x m x m= − − + +
có ba điểm cực trị là A, B, C. Tính tọa độ cực trị. ĐS:-1<m<1;m+2m
2
-m
4
8)
4 2
2 1y x mx m= − + −
có ba điểm cực trị là A, B, C. Tính tọa độ cực trị. ĐS: m>0;-m
2
+m-1
9)
3 2
3y x x m= + +
có hai điểm cực trị là A, B. Tính tọa độ cực trị. ĐS: (-2;m+4) ;(0;m)
10)
3 2
1
2 5
3
y x x m= − + +
có hai điểm cực trị là A, B. Tính tọa độ cực trị. ĐS: (0;m+5); (4;
17
3
m −
)

11)
3 2
4y x mx= − + −
có hai điểm cực trị là A, B. Tính tọa độ cực trị. ĐS: (0;-4); (
2
4
3
m
−
;
3
4
4
27
m
−
)
12)
3 2 3
3 1
2 2
= − +y x mx m
có hai điểm cực trị là A, B. Tính tọa độ cực trị. ĐS: (0;
3
2
m
); (m; 0)
13)
( )
3

3 2
m
y x mx C= − +
có cực đại, cực tiểu là A,B. Tính tọa độ cực trị. ĐS: (0;2); (m; m
3
-3m
2
+2)
14)
2
x mx
y
1 x
+
=
-
có hai điểm cực trị là A, B. Tính tọa độ cực trị. ĐS: m>-1;
(1 1; 2(1 1)m m m± + − − ± +
Trang 11 Dương Văn Đông
15)
2
x 2mx 5
y
x 1
- + +
=
-
có hai điểm cực trị là A,B. Tính tọa độ cực trị. ĐS:m<-2;
(1 2 4;2 2(1 2 4))m m m± − − − ± − −
Baøi 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị:

Chú ý: + có cực trị thì ∆>0 vậy không có cực trị thì ∆≤0
+ nếu ko thì tìm đk để hàm số có cực trị; rồi phủ định suy ra đk không có cực trị
a)
3 2
3 3 3 4y x x mx m= − + + +
ĐS: m≥1
b)
3 2
3 ( 1) 1y mx mx m x= + − − −
ĐS: 0≤m≤1/4
c)
2
5
3
x mx
y
x
− + +
=
−
ĐS: m≥4/3
d)
2 2
x (m 1)x m 4m 2
y
x 1
- + - + -
=
-
ĐS:m≤1;m≥2

Bài toán 4: Hàm số đạt CĐ, CT tại x
0
. Ta thường dựa vào dấu hiệu 2
1. Hàm số đạt CĐ tại x
0
khi
0
0
y '(x ) 0
y ''(x ) 0
ì
ï
=
ï
í
ï
<
ï
î
; Hàm số đạt CT tại x
0
khi
0
0
y '(x ) 0
y ''(x ) 0
ì
ï
=
ï

í
ï
>
ï
î
Chú ý nếu ta dùng dấu hiệu 1. B1. x
0
là cực trị thì y’(x
0
)=0 ta tìm được m(vì các hàm thường hỏi
đều có đạo hàm tại x
0
). B2 ta thử lại xem giá trị nào của m thỏa mãn đầu bài ta lấy. Nhưng cách
này rất dài.
Baøi 4. Tìm tham số để hàm số:
1)
3 2 2
3 ( 1) 2y x mx m x= − + − +
đạt cực đại tại x = 2. ĐS: m=11
2)
( )
2 3 2
y m 5m x 6mx 6x 6= - + + + -
đạt cực tiểu tại
x 1=
. ĐS:m=-2
3)
3 2
y x 2x mx 1= - + +
đạt cực tiểu tại

x 1=
. (trích đề TNPT – 2011). ĐS:m=1
4)
3 2
y mx 3x 12x 2= + + +
đạt cực đại tại điểm
x 2=
.ĐS:m=-2
5)
3 2
y x mx 4= - + -
để hàm số nhận điểm
( )
M 2;0
làm điểm cực đại. ĐS: m=3
6)
( )
3 2 2
1
y x mx m m 1 x 1
3
= - + - + +
đạt cực trị tại
x 1=
. Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu.
Tìm tung độ cực trị tương ứng. ĐS: m=2 hs đạt CĐ tại x=1; ycđ=7/3; m=1 hs luôn ĐB.
7)
4 2
2( 2) 5y mx m x m= − + − + −
có một cực đại

1
.
2
x =
ĐS: m=8/3
Trang 12 Dương Văn Đông
8)
4
2
x
y ax b
4
= + +
có cực trị tại
x 1= -
và tung độ cực trị tương ứng bằng
2-
.ĐS:a=1/2;b=-7/4
9)
2
2 2x mx
y
x m
− +
=
−
đạt cực tiểu khi x = 2. ĐS: m=1
10)
2
1

x x m
y
x
− +
=
−
có một giá trị cực đại bằng 0. ĐS:m=1/4 HD: Tìm tọa độ CĐ dựa vào BBT
11)
2
x mx 1
y
x m
+ +
=
+
đạt cực đại tại
x 2=
.ĐS:m=-3 loại m=-1
12)
( )
2
y 2 m 3 sin x 2m sin 2x 3m 1= - - + -
đạt cực tiểu tại
x
3
p
=
.ĐS: m=1
Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
1) Hàm số bậc ba

3 2
( )y f x ax bx cx d= = + + +
.
Cách 1:

•
Chia f(x) cho f
′
(x) ta được:
2
1 2 2
'( )
3 9 3 9 9
 
 
= + + − + −
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
b c b bc
y x f x x d
a a a
•
Khi đó, giả sử (x
1
; y
1
), (x

2
; y
2
) là các điểm cực trị thì tọa độ của cực trị thỏa mãn pt:
2
2 2
3 9 9
 
= − + −
 ÷
 ÷
 
c b bc
y x d
a a
nên nó là đường thẳng đi qua 2 cực trị.
Cách 2: khi tọa độ cực trị đẹp thì ta viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị là xong. Có tham số ta thường chia.
2) Hàm số phân thức
2
ax ( )
( )
( )
+ +
= = =
+
bx c P x
y f x
mx n Q x
•
Giả sử (x

0
; y
0
) là điểm cực trị thì
0 0
0
0 0
P(x ) P '(x )
y(x )
Q(x ) Q '(x )
= =
.vì
0 0 0 0
P(x ).Q '(x ) P '(x )Q(x ) 0- =
•
Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy là:
'( ) 2
'( )
+
= =
P x ax b
y
Q x m
Chú ý: ta thường viết pt đường thẳng đi qua hai cực trị trong trường hợp có tham số vì có nhiều bài tập
liên quan đến nó. Nhớ đk để có được cực trị cũng là đk để có đường thẳng.
Baøi 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số : (sử dụng tọa độ điểm
cực trị, hay tìm cách chia y cho y’ đối với hàm bậc 3, tính đạo hàm của tử và mẫu đối với hàm
b2/b1)
Trang 13 Dương Văn Đông
a)

2 3
3 2y x x= −
b)
3 2
3 6 8y x x x= − − +
ĐS:a)N đẹp y=x b)y=-5x+6
c)
2
1
2
x x
y
x
− −
=
−
e)

2
2 1
3
x x
y
x
− +
=
+
ĐS:c) N đẹp y=2x-1 d) y=4x-1
Baøi 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị
hàm số: (ĐK để hàm số có 2 điểm cực trị, rồi sử dụng 2 điểm cực trị)

a)
3 2 2 3
3 3( 1)y x mx m x m= − + − −
b)
2
6x mx
y
x m
+ −
=
−
ĐS: a)y=-2x-m
b)y=2x+m
c)
3 2 2
3( 1) (2 3 2) ( 1)y x m x m m x m m= − − + − + − −
d)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=
− +

ĐS: c)
2
2

2 ( 1)(2 6 2)
( 1)
3 3
− − +
= − + +
m m m
y m m x
d)y=2x+m
Baøi 3. Tìm m để hàm số: (sử dụng đường thẳng qua hai cực trị cho biết hệ số góc)
a)
3 2
2 3( 1) 6( 2) 1y x m x m x= + − + − −
có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng
y = –4x + 1. ĐS:m=5
b)
3 2
2 3( 1) 6 (1 2 )y x m x m m x= + − + −
có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng
y = –4x. ĐS: m=1
Bài toán 6: Cực trị liên quan đến viet; tọa độ cực trị; khoảng cách, diện tích…Tính chất của từng
hàm số.
Chú ý: khoảng cách giữa A(x
A
;y
A
) và B(x
B
;y
B
) là:

2 2
B A B A
AB (x x ) (y y )= - + -
Baøi 5. Tìm m để hàm số:
a)
3 2 2 2
2( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + − + − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
1 2
1 1 1
( )
2
x x
x x
+ = +
. ĐS:m=5;m=1
b)
3 2
1
1
3
y x mx mx= − + −
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x

2
sao cho:
1 2
x x 2 2- ³
ĐS:m≤-1;m≥2
c)
3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − +
đạt cực trị tại hai điểm x
1
, x
2
sao cho:
1 2
2 1x x+ =
. ĐS:2;2/3
Baøi 6. Tìm m để đồ thị hàm số: (sử dụng tọa độ cực trị hay tc tung độ cực trị + rèn tính chất từng
hàm số vì sau khi tìm được tọa độ cực trị ta làm được mọi bài tập liên quan do đó ta học cách tính
nhanh giá trị các cđ, ct của từng hàm số đặc biệt)
Trang 14 Dương Văn Đông
16)
4 2 2
( ) 2( 2) 5 5= + − + − +f x x m x m m
có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC vuông cân.ĐS:m=1
17)
4 2 2
2y x mx m m= + + +

có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC có 1 góc bằng 120
0
. ĐS: m=
3
1 / 3
18)
y x m m x m
4 2 2
2( 1) 1= − − + + −
có 3 điểm cực trị sao cho khoảng cách giữa 2 cực tiểu ngắn nhất.
ĐS:
2
BC 4m 4m 1 3 3= - + + ³
⇒BC
min
=
3
khi m=1/2
19)
4 2
2 1y x mx m= + − −
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng
4 2
.ĐS:m=-2
20)
4 2 2
2(1 ) 1y x m x m= − − + +
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.ĐS:m=0
21)
4 2

2 1y x mx m= − + −
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp
bằng
1
. ĐS:
1 5
m 1;m
2
- +
= =
22)
3 2
4y x mx= − + −
có hai điểm cực trị là A,B và
2
2
900
729
m
AB =
.ĐS:A(0;-4),B(
−
3
2 4
; 4
3 9
m m
);m=±
6
23)

3 2
3= + +y x x m
có hai điểm cực trị là A,B và góc
·
0
120 .=AOB
(O là gốc tọa độ)ĐS:
= − +
2 3
4
3
m
24)
3 2 3
3 1
2 2
= − +y x mx m
có hai điểm cực trị là A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=x ĐS:
= ± 2m
25)
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
(1). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 2 với
A, B là hai cực tri của hàm số (1). ĐS:a=2;a=4
26)
( )
3

3 2
m
y x mx C= − +
có đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của
( )
m
C
cắt đường tròn tâm
( )
1;1 ,I
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:Đường thẳng qua CĐ, CT : y=-2mx+2; dt tam giác IAB=1/2 IA.IB.sinAIB≤ 1/2; dt lớn nhất khi
góc AIB bằng 90
0
;
= ±
3
1
2
m
27)
2
x mx
y
1 x
+
=
-
có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10. ĐS: m=4
HD:

( ) ( )
2
2 2
x 2x m 1 m
y ' 1
1 x 1 x
- + + +
= = - +
- -
; hàm số có CĐ, CT khi y’=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔m+1>0⇔m>-1(*). Khi đó pt: y’=0 có hai nghiệm :
1 1
x 1 1 m; x 1 1 m= - + = + +
Trang 15 Dương Văn Đông
Hàm số có hai điểm cực trị: A(
1 1 m;2 1 m m 2- + + - -
);B(
1 1 m; 2 1 m m 2+ + - + - -
)
Mà AB=10 suy ra: ……; m=4
28)
2
x 2x m 3
y
x m
+ + +
=
-
có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. ĐS: m=-3/2
29)

2
x mx m 2
y
x m
+ + -
=
-
có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh hai điểm cực
trị luôn luôn nằm cùng một phía đối với trục hoành. ĐS:m<-2; m>1
30)
2
x 2mx 5
y
x 1
- + +
=
-
có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường thẳng y = 2x. ĐS:
6 56 m 6 56- < < +
Baøi 7. Tìm m để hàm số : (sử dụng tc tung độ cực trị biểu thị qua hoành độ cực trị về vi-et hoặc
làm như bài 6)
a)
2
2
1
x mx m
y
x m
+ − +
=

− +
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cđ, ct cùng dấu.ĐS
m 2 2 3
m 2 2 3
é
< - -
ê
ê
ê
> - +
ë
b)
2 2
( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ
nhất. ĐS: m=3/2
c)
2
3
4
x x m
y
x

− + +
=
−
có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu thoả
CD CT
y y 4- =
. ĐS:m=3
d)
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
có
12
CÑ CT
y y− <
. ĐS: 0<m<9/2
Baøi 8.Tìm m để đồ thị hàm số: (sử dụng vị trí điểm cực trị trên mặt phẳng tọa độ)
a)
3 2
2 12 13y x mx x= + − −
có hai điểm cực trị cách đều trục tung.ĐS: m=0
b)
3 2 3
3 4y x mx m= − +

có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. ĐS:
2
2
m = ±
c)
3 2 3
3 4y x mx m= − +
có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng (d):
3 2 8 0x y− + =
. ĐS: m<-4/3; m>1
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng (d):
2 3 1 0x y− − =
.
ĐS:-2<m<2/5
Trang 16 Dương Văn Đông
Baøi 9. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+2 (1). Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 sao tổng khoảng cách từ M

tới hai điểm cực trị của đths (1) nhỏ nhất. ĐS:M(4/5;2/5)
Baøi 10. *Tìm m để đồ thị hàm số :
a)
2
( 1) 2 1x m x m
y
x m
− + + −
=
−
có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng toạ độ.ĐS: m>5
b)
2 2 2
2 (4 1) 32 2
2
mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ hai và điểm kia nằm
trong góc phần tư thứ tư của mặt phẳng toạ độ.ĐS:không có giá trị nào
c)
2 2 2
( 1) 4mx m x m m
y
x m
− + + +
=

−
có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất và điểm kia nằm
trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ. ĐS:
d)
2 2
(2 1) 1
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hoành (tung).
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D ⊂ R).
a)
0 0
( ) ,
max ( )
: ( )
D
f x M x D
M f x
x D f x M

≤ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =


b)
0 0
( ) ,
min ( )
: ( )
D
f x m x D
m f x
x D f x m

≥ ∀ ∈
= ⇔

∃ ∈ =

2. Tính chất:
a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f b f x f a= =
.
b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì
[ ; ] [ ; ]
max ( ) ( ), min ( ) ( )
a b a b
f x f a f x f b= =
.
VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Cách 1: Bằng cách lập bảng biến thiên.
•
Tính f
′
(x).
•
Xét dấu f
′
(x), tìm các giới hạn và lập bảng biến thiên.
•
Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.
Cách 2: Tính giá trị các điểm tới hạn. chỉ dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn
[a; b].
•
Tính f
′
(x).
Trang 17 Dương Văn Đông
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT
VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
•
Giải phương trình f
′
(x) = 0 tìm được các nghiệm x
1
, x
2
, …, x

n
trên [a; b] (nếu có).
•
Tính f(a), f(b), f(x
1
), f(x
2
), …, f(x
n
).
•
So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.
{ }
1 2
[ ; ]
max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
M f x f a f b f x f x f x= =

{ }
1 2
[ ; ]
min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )
n
a b
m f x f a f b f x f x f x= =
Bài toán 1: Dùng BBT khi TXĐ có chứa khoảng; nửa khoảng.
Baøi 1.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau: (cần tính giới hạn để điền vào BBT cùng các cực trị
thông thường hs chủ quan nên quên bước này dễ dẫn đến sai lầm trong bài toán khó, nhất là bài

toán tìm m để pt có nghiệm)
a)
2
4 3y x x= + +

b)
3 4
4 3y x x= −
c)
4 2
2 2y x x= + −

ĐS:a)y
min
=-1b)
y
max
=1c) y
min
=-2
d)
2
2y x x= + −
e)
2
1
2 2
x
y
x x

−
=
− +

f)
2
2
2 4 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
ĐS:d)y
min
=0
e) y
max
=1/2, y
min
=-1/2
g)
2
2
1
1
x x
y

x x
− +
=
+ +
ĐS:f)y
min
=1, y
max
=6 g) y
min
=1/3; y
max
=3
Bài toán 2: Dùng BBT hoặc tính giá trị khi TXĐ là đoạn.
Baøi 2.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
1)
3 2
2 3 12 1y x x x= + − +
trên [–1; 5] ĐS: y
max
=y(5)=266; y
min
=y(1)=-6
2)
3 2
y x 8x 16x 9= - + -
trên đoạn [1;3]. ĐS: y
max
=y(4/3)=13/27; y
min

=y(3)=-6
3)
3
3y x x= −
trên [–2; 3] ĐS: y
max
=y(-2)=y(1)=2; y
min
=y(3)=-18
4) y =
3 2
2x 4x 2x 2- + - +
trên
[ 1; 3]-
ĐS: y
max
=y(-1)=10; y
min
=y(3)=-22
5)
3 2
y x 3x 9x 3= + - +
trên đoạn
2;2
é ù
-
ê ú
ë û
ĐS: y
max

=y(-2)=25; y
min
=y(1)=-2
6)
4 2
2 3y x x= − +
trên [–3; 2] ĐS: y
max
=y(-3)=66; y
min
=y(±1)=2
7) y = x
4
– 2x
2
+ 1 trên [-1; 2] ĐS: y
max
=y(2)=9; y
min
=y(±1)=0
8)
4 2
y x 8x 16= - +
trên đoạn [ -1;3]. ĐS: y
max
=y(3)=25; y
min
=y(2)=0
Trang 18 Dương Văn Đông
9)

( )
3
6 2
y x 4 1 x= + -
trên đoạn
1;1
é ù
-
ê ú
ë û
. (DB Đại học khối B – 2003) ĐS: y
max
=y(0)=4; y
min
=4/9
10)
3 1
3
x
y
x
−
=
−
trên [0; 2] ĐS: y
max
=y(0)=1/3; y
min
=y(2)=-5
11)

1
1
x
y
x
−
=
+
trên [0; 4] ĐS: y
max
=y(4)=3/5; y
min
=y(0)=-1
12)
2
4 7 7
2
x x
y
x
+ +
=
+
trên [0; 2] ĐS: y
max
=y(2)=37/4; y
min
=y(0)=7/2
13)
9

y x
x
= +
trên đoạn
2; 4
é ù
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(2)=13/2; y
min
=y(3)=6
14)
2
x
y
x 2
=
+
trên đoạn
5; 3
é ù
- -
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(-4)=-8; y
min

=y(-3)=-9
15)
2
x 2x 2
y
x 1
+ +
=
+
trên đoạn
1
;2
2
é ù
ê ú
-
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(2)=10/3; y
min
=y(0)=2
16)
2
2x 3x 3
y
x 1
+ +
=

+
trên đoạn
0;2
é ù
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(2)=17/3; y
min
=y(0)=3
17)
2
100y x= −
trên [–6; 8] ĐS: y
max
=y(0)=10; y
min
=y(8)=6
18)
2 4y x x= + + −
ĐS: y
max
=y(1)=
2 3
; y
min
=y(4)=y(-2)=
6
19)y = (x – 6)

2
x 4+
trên đoạn [0 ; 3]. ĐS: y
max
=y(3)=-
3 13
, y
min
=y(0)=-12
20)
( )
2
y x 2 4 x= + -
ĐS: y
max
=y(1)=
3 3
, y
min
=y(±2)=0
21)
2
x 1
y
x 1
+
=
+
trên đoạn [-1;2] ĐS: y
max

=y(1)=
2
, y
min
=y(-1)=0
22)
y x 2 x= + -
ĐS: y
max
=y(1)=
9
4
23)y = x+
2
1 x-
ĐS: y
max
=y(
1
2
)=
2
, y
min
=y(-1)=-1
24)
2
y x 2 x= + -
ĐS: y
max

=y(1)=2, y
min
=y(-
2
)=-
2
25)
2
y 3x 10 x= - -
ĐS: y
min
=y(-3)=-10, y
max
=y(
10
)=
3 10
26)
2
y x 1 3x 6x 9= + + - + +
trên
1;3
é ù
-
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(2)=6, y
min

=y(-1)=0
Trang 19 Dương Văn Đông
27)
2
y x 1 2 2x 2x 4= + + - + +
trên
1;2
é ù
-
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(1)=6, y
min
=y(-1)=0
28)
2 2
4 2 5 2 3y x x x x= − + + − +
ĐS: y
max
kxđ, y
min
=y(1)=10
29)
2 2
4 4 3y x x x x= − + + − +
ĐS: y
max
=y(

±4 5
2
)=13/4, y
min
kxđ
30)
2
y 3x x 4 s inx= - + +
trên
0;
é ù
p
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(π)= , y
min
=y(0)=-2
31)
2 2
y 2x x 3 x 1= - + - +
trên
0;1
é ù
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(1)=-

2
, y
min
=y(0)=-
−1 3
Đối với hàm chứa GTTĐ ta có thể phá dấu GTTĐ rồi tìm GTLN,NN; Có thể Tìm GTLN của
hàm bên trong GTTĐ rồi suy ra GTLN, còn GTNN có thể bằng 0 vì |f(x)|≥0.
32)
2
y x 4x 5= - -
trên đoạn
2; 6
é ù
-
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(2)=9, y
min
=y(-1)=y(5)=0
33)
2
y x 3x 2= - +
trên đoạn
10;10
é ù
-
ê ú
ë û

. ĐS: y
max
=y(-10)=132, y
min
=y(1)=y(2)=0
34)
3
y x 3x 2= - +
trên đoạn
2;1
é ù
-
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(-1)=4, y
min
=y(-2)=y(1)=0
35)
2
y x 4x 3 trên 0;3
é ù
= - +
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(2)=7, y
min

=y(0)=3
36)
3 2
y x 3x 16 trên 0;2
é ù
= - -
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(2)=20, y
min
=y(0)=16
37)
4 2
y x 2x 3 t rên 0;3
é ù
= - -
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(3)=60, y
min
=y(
3
)=0
38)
2x 2
y t rên 2;5

x 1
+
é ù
=
ê ú
ë û
-
. ĐS: y
max
=y(2)=6, y
min
=y(5)=3
39)
2
x 4x 3
y trên 1;2
x 2
+ +
é ù
= -
ê ú
ë û
+
. ĐS: y
max
=y(2)=15/4, y
min
=y(-1)=0
40)
( )

2
1
y x . 3 4x trên 0;
2
é ù
ê ú
= -
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(1/2)=1, y
min
=y(0)=0
41)
3
2
y 2 x 9x 12 x 4 trên 2;2
é ù
= - + - -
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(±1)=1, y
min
=y(0)=-4
42)
3 2
x 3x 5x

y trên 0;4
6 2 2
é ù
= + +
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(4)=134/3, y
min
=y(0)=0
43)
3 x
1
y t rên ;5
x 2 2
é ù
-
ê ú
= -
ê ú
+
ë û
. ĐS: y
max
=y(-1/2)=5/3, y
min
=y(3)=0
Trang 20 Dương Văn Đông
44)

y sin 2x x= -
trên đoạn
;
2 2
é ù
p p
ê ú
-
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(-π/2)= π/2, y
min
=y(π/2)=- π/2
45)
y x 2 cos x= +
trên đoạn
0;
2
é ù
p
ê ú
ê ú
ë û
ĐS: y
max
=y(π/4)= 1+π/4, y
min
=y(0)=

2
Bài toán 2: Đặt ẩn phụ rồi Tìm GTLN, NN.
Baøi 3.Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
46)
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
ĐS: Đặt t=sinx, Đk -1≤t≤1; y
max
=y(1)=1/3, y
min
=y(-1)=-3
47)
2
1
cos cos 1
y
x x
=
+ +
ĐS: Đặt t=cosx, Đk -1≤t≤1; y
max
=y(-1/2)=4/3, y
min
=y(1)=1

48)
2
2sin cos 1y x x= − +
ĐS: Đặt t=cosx, Đk -1≤t≤1; y
max
=y(-1/4)=25/8, y
min
=y(1)=0
49)
cos2 2sin 1y x x= − −
ĐS: Đặt t=sinx, Đk -1≤t≤1; y
max
=y(-1/2)=1/2, y
min
=y(1)=-4
50)y = 2sin
2
x + 2sinx – 1 ĐS: Đặt t=sinx, Đk -1≤t≤1; y
max
=y(1)=3, y
min
=y(-1/2)=-3/2
51)
3
4
y 2 sin x sin x
3
= -
trên đoạn
0;

é ù
p
ê ú
ë û
. ĐS: y
max
=y(
2
/2)=
2 2
3
, y
min
=y(0)=0
52)
4 2
y cos x sin x 2= + -
. ĐS: Đặt t=cos
2
x, Đk 0≤t≤1; y
max
=y(1)=1, y
min
=y(1/2)=-5/4
53)
2
sin x 1
y
sin x sin x 1
+

=
+ +
ĐS: Đặt t=sinx, Đk -1≤t≤1; y
max
=y(0)=1, y
min
=y(-1)=0
54)
cos x 2 sin x 3
y
2 cos x sin x 4
+ +
=
- +
. ĐS:y
max
=y(0)=2, y
min
=y(-1)=2/11
55)
3 3
sin cosy x x= +
HD: biến đổi, đặt t=sinx+cosx ĐK:-
2
≤t≤
2
, y
max
=1, y
min

=-1
56)
y sin x cos x= +
ĐS:y
max
=
4
8
, y
min
=1
57)
1
y
sin x cos x
=
+
HD: tìm GTLN, NN của mẫu số ⇒GTLN,NN của thương. y
max
=1, y
min
=
4
1
8
58)
y 1 sin x 1 cos x= + + +
HD: bình phương hai vế, đặt t=sinx+cosx ĐK:1≤t≤
2
,

y
max
=
4 2 2+
, y
min
=
1 2+

59)
6 6
sin x cos x cos x sin x
y
sin x cos x
+
=
+
HD:biến đổi, đặt t=|sinxcosx| ĐK:0≤t≤1/2, y
max
=5/8, y
min
=0
Baøi 4. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau. (Dành cho chương mũ lôgarit-OTĐH)
Trang 21 Dương Văn Đông
1)
2
y x 3 x ln x= + -
trên 1;2
é ù
ê ú

ë û
HD:|x|<
2
x 3+
, hs luôn NB ĐS:y
max
=y(1)= 2, y
min
=y(2)=
7 2 ln 2-
2)
y s inx+ x ln x=
trên 1;e
é ù
ê ú
ë û
HD:hs luôn ĐB ĐS:y
max
=y(e)= e+sine,y
min
=y(1)=sin1
3)
( )
2
y x ln 1 x trên 0;2
é ù
= - +
ê ú
ë û
HD:hs luôn ĐB ĐS:y

max
=y(2)= 2-ln5,y
min
=y(0)=0
4)
( )
2 x
y x x 1 e trên 0;2
é ù
= - -
ê ú
ë û
. ĐS:y
max
=y(2)= e
2
,y
min
=y(1)=-e
5)
2
y x ln x t rên 1;e
é ù
=
ê ú
ë û
. ĐS:y
max
=kxđ,y
min

=y(
1
e
)=
1
2e
-
6)
( )
2
x 1
y ln x x 2 trên ;2
2 2
é ù
ê ú
= - - + -
ê ú
ë û
. ĐS:y
max
=y(1)=
1
ln 2
2
-
, y
min
=y(-1/2)=
1 11
ln

4 4
- -
7)
( )
2
2
x
y ln x 1 x trên 1;3
2 2
é ù
= - + + -
ê ú
ë û
. ĐS:y
max
=y(3)=
9
ln(3 10)
2 2
- +
,y
min
=y(1)=
1
ln(1 2)
2 2
- +
8)
2x x
y e 4e 3 t rên 0;ln 4

é ù
= - +
ê ú
ë û
. ĐS:Đặt t=e
x
, đk: 1≤t≤4, y
max
=y(4)= 3

,y
min
=y(2)=-1
9) .
2x
y 2x e t rên 1;ln 2
é ù
= - -
ê ú
ë û
10)
2 x
y x .e t rên 0;1
-
é ù
=
ê ú
ë û
.
11)

2x 2
7
y e x x trên 2;0
2
-
æ ö
÷
ç
é ù
÷
= - + + -
ç
÷
ê ú
ç ë û
÷
ç
è ø
.
12)
( )
7 5
8
x
y ln x. ln e x . ln t rên e ;e
e
-
æ ö
÷
ç

é ù
÷
=
ç
÷
ê ú
ç
ë û
÷
ç
è ø
.
13)
2
y x 4 ln(1 x) trên 2; 0
é ù
= - - -
ê ú
ë û
.
14)
2
y x. ln x t rên 1;e
é ù
=
ê ú
ë û
.
15)
2

3
ln x
y trên 1;e
x
é ù
=
ê ú
ë û
.
16)
2 x
y x e t rên 3;2
é ù
= -
ê ú
ë û
.
17)
( )
2 x
y x 3x 1 e trên 3; 0
é ù
= - + -
ê ú
ë û
.
Trang 22 Dương Văn Đông
18)
x x
y e 4e 3x t rên 1;2

-
é ù
= + + -
ê ú
ë û
.
Bài toán 3: Dùng miền giá trị; tập giá trị khi hàm số có thể quy về pt bậc nhất, bậc 2.
Baøi 1.Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)
2
2
1
1
x x
y
x x
+ +
=
− +
b)
2
2
2 7 23
2 10
x x
y
x x
+ +
=
+ +

c)
2sin cos 1
sin 2cos 3
x x
y
x x
+ +
=
− +
d)
2sin cos 3
2cos sin 4
x x
y
x x
+ +
=
− +
e)
2sin 1
sin 2
x
y
x
−
=
+
Baøi 5. Tìm p, q để giá trị lớn nhất của hàm số
2
y x px q= + +

trên đoạn
1;1
é ù
-
ê ú
ë û
là bé nhất ?
Baøi 6. Bài toán định lượng
a/ Tìm các giá trị của
m
và
n
sao cho hàm số
2
1
mx n
y
x
+
=
+
có giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất
bằng –1.
b/ Chu vi của một tam giác là
( )
16 cm
, độ dài của một cạnh tam giác là
( )
6 cm
. Tìm hai cạnh còn lại của

tam giác sao cho tam giác có diện tích lớn nhất.
c/ Cho Parabol
( )
2
:P y x=
và điểm
( )
3; 0A -
. Xác định điểm
( )M PÎ
sao cho khoảng cách
A M
là
ngắn nhất. Tìm khoảng cách đó.
d/ Tìm
m
để GTLN của hàm số
2
2 4y x x m= + + -
trên đoạn
[ ]
2;1-
đạt GTNN.
Bài toán 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức
Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số.
•
Chứng minh một bất đẳng thức.
•
Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở thành đẳng thức
Baøi 1. Giả sử

{ }
( ; ; )/ 0, 0, 0, 1D x y z x y z x y z= > > > + + =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
+ + +
.
HD:
1 1 1
3
1 1 1
P
x y z
 
= − + +
 ÷
+ + +
 
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 9
1 1 1
x y z
x y z
 
+ + + + = + + ≥

 ÷
+ + +
 
⇒
P
≤

3
4
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3
. Vậy
3
min
4
D
P =
.
Trang 23 Dương Văn Đông
Baøi 2. Cho D =
5
( ; )/ 0, 0,
4
x y x y x y
 
> > + =
 

 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4 1
4
S
x y
= +
.
HD:
( )
1 1 1 1 1
4 25
4
x x x x y
x x x x y
 
+ + + + + + + + ≥
 ÷
 

⇔

4 1
4( ) 25
4
x y
x y
 
+ + ≥
 ÷

 
⇒
S
≥
5. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = 1, y =
1
4
. Vậy minS = 5.
Baøi 3. Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 1x y x y x y> > + <
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1
1 1
x y
P x y
x y x y
= + + + +
− − +
.
HD:
2 2
1
(1 ) (1 ) 2
1 1
x y
P x y

x y x y
= + + + + + + −
− − +
=
1 1 1
2
1 1x y x y
+ + −
− − +
.
Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:
[ ]
1 1 1
(1 ) (1 ) ( ) 9
1 1
x y x y
x y x y
 
− + − + + + + ≥
 ÷
− − +
 
⇔

1 1 1 9
1 1 2x y x y
+ + ≥
− − +
⇒
P

≥

5
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y =
1
3
. Vậy minP =
5
2
.
Baøi 4. Cho D =
{ }
( ; )/ 0, 0, 4x y x y x y> > + ≥
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
2
3 4 2
4
x y
P
x
y
+ +
= +
.
HD:
2

1 1
2
4 8 8 2
x y y x y
P
x
y
 
+
= + + + + +
 ÷
 
(1)
Theo bất đẳng thức Cô–si:
1 1
2 . 1
4 4
x x
x x
+ ≥ =
(2)
3
2 2
1 1 3
3 . .
8 8 8 8 4
y y y y
y y
+ + ≥ =
(3)

⇒
P
≥

9
2
. Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y = 2. Vậy minP =
9
2
.
Bài toán 6: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT
Trang 24 Dương Văn Đông
Gi s f(x) l mt hm s liờn tc trờn min D v cú
min ( ) ; max ( )
D D
f x m f x M= =
. Khi ú:
1) H phng trỡnh
( )f x
x D

=




cú nghim

m





M.
2) H bt phng trỡnh
( )f x
x D






cú nghim

M



.
3) H bt phng trỡnh
( )f x
x D

cú nghim

m



.
4) Bt phng trỡnh f(x)



ỳng vi mi x

m



5) Bt phng trỡnh f(x)



ỳng vi mi x

M



6)Tỡm iu kin ca tham s phng trỡnh cú k nghim

Da vo s giao im suy ra s nghim ca phng trỡnh f(x)= m. Nờn ta quy v bi toỏn tng
giao mt hm ch cha n x mt hm ch cha tham s m. Sau ú lp BBT ca hm cha n x ri
suy ra k cú s nghim( s giao im) nh mong mun.
Chỳ ý: cn tỡm gii hn khi x vụ cc; hay khi x nghim ca mu
Baứi 1. Tỡm m phng trỡnh sau:
1)
2 3
3x 2x m 0- - =
cú ỳng 3 nghim. S:
0 m 1< <
2)
3
3x x m 0- - =
cú ỳng 3 nghim. S:
2 m 2- < <
3)
4 2
x 2x m 0- - =
cú ỳng 4 nghim. S: -1<m<0
4)
4 2 2
x 8x m 0- + =
cú ỳng 4 nghim. S:
4 m 4; m 0- < < ạ
5)
2
x 3x 3
m
x 1
- +

=
-
cú nghim. S:
m 3; m 1-Ê
6)
( )
2
x 2 m x 2 m 0+ - + - =
cú nghim thuc on
1
, 2
2
ộ ự
ờ ỳ
-
ờ ỳ
ở ỷ
.S:2m10/3.
7)

( )
2
cos x 1 m cos x 2m 2 0+ - - - =
cú nghim. HD: t t=cosx; k: -1t1; S: -2m0.
8)

3
x 3mx 2 0- + =
cú nghim duy nht.S: m<1
Baứi 2. Hay biờn luõn sụ nghiờm cua phng trinh:

2
m x 1 x 2 m+ = + -
S: -1<m<1 cú 1 nghim; ngoi ra thỡ vụ nghim.
Baứi 3. Tim gia tri cua tham sụ m ờ pt:
2
m x 2 x m+ = +
co ung hai nghiờm phõn biờt ?
S:
2 m 1;1 m 2- < - <Ê Ê
Baứi 4. Tim iờu kiờn cua tham sụ ờ cac phng trinh sau co nghiờm.
1)
2
2 1x x m+ + =
S: m
2
2
Trang 25 Dng Vn ụng