Đơn điệu hàm số lớp 12

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ
DẠNG 1. DẠNG KHÔNG CHỨA THAM SỐ.
Đ

y  f ( x)

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).

D  x1 , x2  D

y  f ( x)

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ).
Đ

D  x1 , x2  D

y  f ( x)

( a; b),

f ( x)  0, x  (a; b) 



f ( x)

f ( x)  0, x  (a; b) 



( a; b).

f ( x)

( a; b).

(a; b)  f ( x)  0, x  ( a; b).

f ( x)

(a; b)  f ( x)  0, x  ( a; b).

f ( x)
( a; b)


f ( x)  0, x  (a; b)

f ( x)

( a; b).

( a; b)
P ươ

p áp ập bảng biến thiên của hàm số:

á

y  f ( x).





:

D
y  f ( x).



xi , (i  1,2,3,..., n)

xi



Câu 1. (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017) Hàm s

y  2x4  1

ng bi n trên

kho ng nào?


1
A.  ;   .

2

1

B.  0;   .

 1

C.   ;   .
 2


D.  ; 0  .

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

 Gi i:
XĐ D  .
y '  0  8x3  0  x  0.
B ng bi n thiên:
x
f ' x




f  x



0



0

Ch n B.
Câu 2. Hàm s y  
A.  ; 0  .

x4
2
ng bi n trên kho ng nào?
4
B.  ; 2  .
C.  2;   .

D.  4; 3  .

 Gi i:
XĐ D  .
y '  0  x3  0  x  0
B ng bi n thiên:
x
f ' x





f  x



0



0

Ch n A.
Câu 3. Cho hàm s y  x4  2x2  3. Bi t kho
d ng  ; a  ,  b;   .
A. 0 .

ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s có

min b  a là:

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

 Gi i:
XĐ D  .
y '  4x3  4x  0  x  0 .

B ng bi n thiên:
x
f ' x

f  x





0





0

Chọn A.
Câu 4. Cho hàm s
2

y  x  3  2 2  x . Bi t kho

ng bi n và ngh ch bi n c a hàm s

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

có d ng  ; a  ,  c; d  . Kh
A. 0 .

max  a   max  d  c  là:

B. 1 .

C. 2 .
 Gi i:

XĐ D   ; 2  .

y'  0  1 

D. 3 .

1

 0  x  1. Chúng ta thấy t
2x
kho ng  ; 2  (không lấy x  2.

o hàm thì y '

nh trên

B ng bi n thiên

x
f ' x




1
0



2



f  x
V y a  1; c  1; d  2. Suy ra, max  a   max  d  c   1  1  2 Chọn C.
Câu 5. Hàm s y 
A.

ng bi n trên kho ng nào?
B.

.

4

 x  2

C.  ; 2  .

\2.

2

D.  2;   .

 Gi i:

\2. .

XĐ D 

y' 

x2
x2

 0, x  D. Chọn B.

Câu 6. Hàm s y  2 x  1  3x  5 ngh ch bi n trên kho


5
A.  ;  .
3


 5 89 
B.  ;  .
 3 48 

â ?

5

C.  ;   .
3


 89

D.  ;   .
 48


 Gi i:

5

TXĐ D   ;   .
3

3
89
y'  2 
0x .
48
2 3x  5
B ng bi n thiên:
x


f ' x
3

5
3



89
48
0




FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

f  x
Chọn B.
Câu 7. Hàm s y  x3 1  x  . Khẳ
2

â

ú

?

3 
A. Đ ng bi n trên kho ng  ; 0  ,  ;1  .
5 
B. Đ ng bi n trên kho ng  0;1 .
3 
C. Ngh ch bi n trên kho ng  ;1  .
5 
 3
D. Ngh ch bi n trên kho ng  0; 
 5

kho ng 1;   .

ng bi n trên

 Gi i:
XĐ D 
y '  x 2  1  x  5 x  3 


x  0

y '  0  x  1

3
x 
5

B ng bi n thiên.
x

f ' x



0



0



3
5
0



1



0



f  x

Chọn C.

SỬ DỤNG CASIO TÌM KHOẢNG BIẾN THIÊN, DẠNG KHÔNG CHỨA
THAM SỐ.
Cách 1. Dù
í
ă
b e Mode 7
Chúng ta áp dụ

đ nh lý: nếu y '  0 thì hàm số đồng biến, nếu y '  0 thì

hàm số ngh ch biến.
Cụ thể ư s u:
Cách 2. Lưu ý, đối với cách này trong một số trường hợp thì không đúng.
Cụ thể:
4

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

Ta sử dụng công cụ



d
f  x
dx



ấn r các giá tr đầu mút.

s u đó c ú
xX

Ví dụ Đồng biến trên  0; 3  thì chúng ta ấn r 0  0.1 và r 3  0.1 Nếu đồng
biến thì kết quả sau khi ấn chúng ta phải lớ ơ 0.
Kết quả màn hình máy tính mà lớ
ơ 0 ì đồng biế , bé ơ 0 ì
ch
biến.
Chú ý chọn khoảng lớn nhất nếu có nhiều đáp á đú . Cụ thể, nếu
ư
khoảng  0;1 đú ,  0; 4  đú ,  1;10  cũ đú
ìc ú
c ọ đáp á

 1;10  .

Câu 8. Tìm tất c các kho
A.  4; 4  .

ng bi n c a hàm s y 
B.  1;1 .

x
16  x

C.  1;1 .

2

?

D.  0;1 .

 Gi i:
Nhập vào màn hình máy tính như sau:

d 
X

dx  16  X 2


. Ấn r (Ta thấy đáp án A

 xX

là  4; 4  . vì thế chúng ta sẽ ấn r 4  0.1 thu được 22.7865  0 , tiếp tục ấn r

4  0.1 thu được 22.7865  0 vậy kết luận trên khoảng  4; 4  thì y '  0 hay nói cách

khác là hàm số y đồng biến trên khoảng  4; 4  . Ở đây ta lại thấy các đáp án B, C, D đều
là các khoảng bé hơn khoảng  4; 4  . Chọn A luôn nhé.
Câu 9. Tìm tất c các kho ng ngh ch bi n c a hàm s y 

 8

A.   ;   .

 5

5

B.  2;   .

8

C.  ;   .
5


x2
x2  x  3
D.

?

\1.

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

 Gi i:
Nhập vào màn hình máy tính như sau:


d 
X2



dx  X 2  X  3 
xX

. Xét đáp án A

 8

8
  5 ;   . Ấn r  5  0.1 ra kết quả 0.4419  0 nên ta loại luôn A và D (vì đang


tìm khoảng nghịch biến thì kết quả phải bé hơn 0).

Xét đáp án B  2;   . Ấn r 2  0.1 ra kết quả là 0.1021  0 , ta ngầm hiểu A! đáp án
B đúng rồi, tuy nhiên chúng ta đừng vội khoanh B, mà hãy tiếp tục xét đáp án C nhé. Ấn

r

8
 0.1 ra kết quả là 0.0291  0 vậy C vẫn đúng.
5

Đến lúc này chúng ta cần chọn khoảng nào rộng hơn. Dựa vào trục số ta thấy khoảng
8

 5 ;   . rộng hơn  2;   . Vì thế chọn đáp án C.



DẠNG 2 CHỨA THAM SỐ.
Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên miền xác định của nó.
 Xét hàm s b c ba: y  f  x   ax3  bx2  cx  d ,  a  0  .
c1
c2

XĐ D  .
o hàm: y '  3ax2  2bx  c.

Đ

hàm

s

ng

bi n

trên

.

Khi

và

chỉ

a

 f ' x   a  0
y '  f '  x   0, x   
.
2


b

3
ac

0

 f ' x 
Đ hàm s
ng bi n trên . Khi và chỉ khi,
a
 f ' x   a  0
y '  f '  x   0, x   
.
 f ' x   b2  3ac  0


Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f  x   ax2  bx  c.
a0


.



0



a0
.
Để f  x   0, x   


0


ax  b
,  ad  bc  0  .
 Xét hàm s y  f  x  
cx  d

Để f  x   0, x 

6

FB: />
khi,


Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

c1

XĐ D 

 d
\   .
 c

o hàm y '  f '  x  

c 2:

Đ

 cx  d 

2

.

ng bi n trên D khi và chỉ khi, y '  f '  x   0  a.d  b.c  0 .

 Đ hàm s


a.d  b.c

hàm

s

y '  f '  x   0  a.d  b.c  0 .
Lưu ý: Đối với hàm y  f  x  

ngh ch

bi n

trên

khi

D

và

chỉ

khi,

ax  b
. thì không có dấu “=” xảy ra tại vị trí y '.
cx  d

Câu 10. Tìm tất c các giá tr th c c a tham s m sao cho hàm s
1 3
y
x  mx 2   2m  3  x  m  2 luôn ngh ch bi n trên .
3
A. 3  m  1.
B. m  1.
C. 3  m  1.
D. m  3; m  1.

 Gi i:
XĐ D  .
Đ h/s ngh ch bi n trên

khi và chỉ khi y '  0, x  .  x2  2mx  2m  3  0


a  0
 1 0

 2
 m2  2m  3  0  3  m  1. Chọn A.
m   1 2m  3   0
 '  0


m sao cho hàm s

Câu 11. Tìm giá tr nhỏ nhất c a tham s
ng bi n trên
A. m  5.

y

x3
 mx 2  mx  m luôn
3

?

B. m  0.

C. m  1.

D. m  6.

 Gi i:
XĐ D  .
Đ /
ng bi n trên

khi và chỉ khi y '  0, x  .  x2  2mx  m  0

1  0
a  0

 1  m  0. Chọn C.

 2

'

0
m

m

0




Câu 12. Tìm giá tr nhỏ nhất c a tham s
kho
A. m  3.
7

nh?
B. m  3.

m sao cho hàm s
C. m  1.

y

xm2
gi m trên
x1

D. m  1.

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

XĐ D 

 Gi i:

\1.

Đ h/s ngh ch bi n trên D khi và chỉ khi y '  0  m  1. Chọn D.
Câu 13. Tìm s nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm s y 
các kho
A. m  1.

nh c a nó?
B. m  2.

 m  3 x  2
xm

C. m  0.

 Gi i:
Đ hàm s luôn ngh ch bi n trên các kho n
y '  0  ad  bc  0

luôn ngh ch bi n trên

D. Không có m.

nh c a nó khi và chỉ khi

 m2  3m  2  0  m   2; 1 . Chọn D.

i toán . Tìm tham số m để hàm số y  f ( x; m) đơn điệu tr n miền D ?Trong đó D có

thể là ( ;  ), ( ; ), ( ;  ),  ;   ,  ;   , …….



 P ươ

p áp:

y  f ( x; m)

–
Đ

y  f ( x; m)

Đ

y  f ( x; m)

–

Đ

m

D  y  f ( x; m)  0.
D  y  f ( x; m)  0.

ỏ

ò

g( x)

 m  g( x)


 m  g( x)


g( x) trên D.

–
–

D. C ẳ

c 4. D a vào b ng bi n thiên k t lu n:

Câu 14. Tìm m
A. m  1.

Khi m  g( x)  m  max g( x)
D


g( x)
Khi m  g( x)  m  min
D

y  x3  3x2  3mx  1 ngh ch bi n trên  0;   .
B. m  1.

C. m  1.

D. m  0.

 Gi i:
Đ h/s ngh ch bi n trên  0;   . Khi và chỉ khi

8

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

y '  0, x   0;  

 3x 2  6 x  3m  0, x   0;  
 m  x2  2x

B ng bi n thiên:
x
g'  x 





g  x



0



0

1
Chọn B.
Câu 15. Tìm tất c các giá tr th c c a tham s m sao cho hàm s
ng bi n trên kho ng  1; 3  ?

A. m   5; 2  .

Đ

C. m  2;   .

B. m   ; 2  .

y  x4  2  m  1 x2  m  2
D. m  ; 5  .

 Gi i:
ng bi n trên  1; 3  . Khi và chỉ khi y '  0, x  1; 3  .

/

 4 x 3  4  m  1 x  0





 4x x2  m  1  0
Vì 4 x  0, x  1; 3  nên x2  m  1  0, x  1; 3  .
Suy ra x2  1  m . Xét g  x   x2  1 . Ta có g '  x   2x, g '  x   0  x  0
B ng bi n thiên:

x
g'  x 
g  x



0



3

1





0
2

1

Suy ra: m  2. Chọn B.
m
Câu 16. Tìm tất c
các giá tr th c c a tham s
4
2
ng bi n trên kho ng  1; 3  ?
y  x  2  m  1 x  m  2
A. m  0.

B. m  12.

C. m  0.

sao

cho

hàm

D. m  12.

 Gi i:
9

FB: />
s


Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

c m  3x  12x . Xét
2

Bi

B ng bi n thiên:
x
g'  x 



g  x   3x 2  12 x
g '  x   6 x  12

0



g  x



2

Suy ra m  12. Chọn D.
Câu 17. Tất c các giá tr th c c a tham s

0
12



m sao cho hàm s


p
ngh ch bi n trên kho ng  1; 2  là  ;  ,
q

Hỏi t ng p  q là?
A. 5.

B. 9.

y   x 4   2m  3  x 2  m
p
t i gi n và q  0.
q

â

C. 7.

D. 3.

 Gi i:
g  x   2 x 2  3, x  1; 2  .
2
c 2m  2 x  3 . Xét

g'  x   0  x  0.

Bi

B ng bi n thiên
x
g'  x 

g  x



0



1

2





0
5

1
5
Có 2m  min g  x   5  m  . Chọn C.

2
i toán . Tìm tham số m để hàm số c

11

y  f ( x; m)  ax3  bx2  cx  d đơn điệu

một chiều trên khoảng có độ dài bằng l ?


 P ươ

p áp:

. Tính y  f ( x; m)  ax2  bx  c.

–

( x1 ; x2 )  y  0 có 2

–

â

  0

a  0

(i )
–

 l  x1  x2  l  ( x1  x2 )2  4x1 .x2  l 2
10

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

 S2  4 P  l 2 .
–

(ii )

c 4. Gi i (ii ) và giao v i (i )

suy ra giá tr m c n tìm.

1 3
ng
x  3  m  1 x 2  9 x  1 ngh ch bi n trên  x1 ; x2 
3
bi n trên các kho ng còn l i c a t
nh. N u x1  x2  6 3 thì giá tr m là:

Câu 18. Bi t r ng hàm s

A. m  1.

y

B. m  3.

C. m  3; m  1.

D. m  1; m  3.

 Gi i:
y '  x2  6  m  1 x  9 , Đ hàm s ngh ch bi n trên  x1 ; x2  thì y '  0 có 2 nghi m
2
m  0
,  '  0   3  m  1   9  0  
.
m

2


phân bi
Ta l i có:

x1  x2  6 3   x1  x2   4 x1x2  108.
2





 6  m  1  4.9  108
2

 36m2  72 m  108  0

m  3

. TMDK 
 m  1
Chọn D.
Câu 19. Tìm tất c
các giá tr th c c a tham
1
1
y  x3  mx 2  2mx  3m  4 ngh ch bi n trên m
3
2
A. m  1; m  9. B. m  1.
C. m  9.

y '  x  mx  2m ,
2

s

m

sao

cho

hàm

dài là 3 ?
D. m  1; m  9.

 Gi i:
thỏa mãn ycbt thì y '  0 có 2 nghi m phân bi t, t c là


a  0
m  8
1  0
 2

.

m

0
m

8
m

0

  0


L i có

x1  x2  3   x1  x2   4 x1x2  9.
2

 m2  8 m  9  0
 m  1

.
m

9

Chọn A.
11

s

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

SỬ DỤNG CASIO TÌM KHOẢNG BIẾN THIÊN DẠNG: CHỨA THAM SỐ.
P ươ p áp:
Nhắc lại: Đ ng bi
,
Ngh ch bi
,
m
 S d ng table: w7
Chuẩn b : qwR51
 TH1: Hàm s bi n thiên trên kho ng  a; b  .

Start : a
Nh p hàm s . End : b

ba
20
 TH2: Hàm s bi n thiên trên kho ng  a;   .
Step :

Start : a
Nh p hàm s . End : a  20

Step : 1
 TH1: Hàm s bi n thiên trên kho ng  ; a  . .

Start : a  20
Nh p hàm s . End : a

Step : 1

Câu 20. (Đề minh họa quốc gia 2017). Tìm tất c giá tr th c tham s
 
tan x  2
y
ng bi n trên kho ng  0;  .
tan x  m
 4
A. m  0. ho c 1  m  2. B. m  0.

C. 1  m  2.

m c a hàm s

D. m  2.

 Gi i:
Nhấn w7, nhập vào màn hình máy tính hàm số đã cho f  X  

tan  X   2
tan  X   ?

Tại dấu

? chúng ta điền cái gì, thì chúng ta thử từng đáp án A, B, C, D. Cụ thể như sau:

12

FB: />

Nguyễn Bảo Vương – Giáo viên chuyên luyện thi Toán tại 17 Hoàng Văn Thụ - Chư Sê – Gia Lai. SĐT: 0946798489

Xét đáp án A, ta thấy m  0  0;   nên ta điền vào dấu ? số 0 . Tức là:

f X 

Start : 0

tan  X   2

 

, vì đồng biến trên khoảng  0;  . (TH1) nên End :
4
tan  X   0

 4

Sau đó



0
4
Step :
20
chúng ta thấy được cột bên phải F(X) đang tăng dần, thì đồng nghĩa đáp án m  0 thỏa
mãn, loại được đáp án C, D (vì trong C, D không chứa số 0). Còn lại A và B, ta tiếp tục
xét phần còn lại đáp án A, lúc này ta thay chữ m là số 1 .
f X 

tan  X   2

tan  X   1

Start : 0
End :


4

ta thấy cột F(X) tăng nên chọn A.



0

4
Step :
20
Các bạ đọc có thể thử bấm cho các bài 14, 15, 16 để kiểm chứ
này.

13

p ươ

p áp C s

FB: />