Tích phân đường loại một
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.15 MB, 79 trang )
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email:
TP. HCM — 2014.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
1 / 37
Tích phân đường loại một
Đặt vấn đề
Cho hàm số z = f (x, y ) 0 và đường cong C
trong mặt phẳng tọa độ Oxy . Hãy tính diện tích
của "hàng rào" dọc theo đường C và có chiều
cao tại mỗi điểm (x, y ) là f (x, y ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
2 / 37
Tích phân đường loại một
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
Đặt vấn đề
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
3 / 37
Tích phân đường loại một
Đặt vấn đề
Diện tích của "hàng rào" cần tìm là
n
S≈
f (xi , yi ).∆
i
i=1
Đây là tổng Riemann và khi lấy giới hạn tổng này
khi ∆ i → 0 ta được tích phân đường loại I.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
3 / 37
Tích phân đường loại một
Định nghĩa
Định nghĩa
Nếu f (x, y ) là hàm số xác định trên đường cong trơn
C = AB thì tích phân đường loại I của f dọc theo C là
n
f (x, y )d = lim
λ→0
AB
f (xi , yi ).∆
i
i=1
nếu giới hạn này tồn tại, với λ = max ∆ i .
i
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
4 / 37
Tích phân đường loại một
Định nghĩa
Định nghĩa
Nếu f (x, y ) là hàm số xác định trên đường cong trơn
C = AB thì tích phân đường loại I của f dọc theo C là
n
f (x, y )d = lim
λ→0
AB
f (xi , yi ).∆
i
i=1
nếu giới hạn này tồn tại, với λ = max ∆ i .
i
Chú ý.
f (x, y )d =
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
f (x, y )d
BA
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
4 / 37
Tích phân đường loại một
10 .
Tính chất của tích phân đường loại một
1d = L.
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
5 / 37
Tích phân đường loại một
10 .
0
Tính chất của tích phân đường loại một
1d = L.
AB
2.
α.f (x, y )d = α.
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
f (x, y )d .
AB
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
5 / 37
Tích phân đường loại một
10 .
0
Tính chất của tích phân đường loại một
1d = L.
AB
2.
α.f (x, y )d = α.
AB
f (x, y )d .
AB
30 .
[f (x, y ) + g (x, y )]d =
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
f (x, y )d +
AB
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
g (x, y )d .
AB
TP. HCM — 2014.
5 / 37
Tích phân đường loại một
10 .
0
Tính chất của tích phân đường loại một
1d = L.
AB
2.
α.f (x, y )d = α.
AB
f (x, y )d .
AB
30 .
[f (x, y ) + g (x, y )]d =
AB
f (x, y )d +
AB
g (x, y )d .
AB
40 . Nếu C = C1 ⊕ C2 thì
f (x, y )d =
C
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
f (x, y )d +
C1
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
f (x, y )d .
C2
TP. HCM — 2014.
5 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Đường cong trơn AB có phương trình tham số
trong mặt phẳng là
x = x(t)
y = y (t)
a t b.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
6 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
Viết phương trình tham số của đoạn thẳng nối hai
điểm A(xA, yA), B(xB , yB )
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
7 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
Viết phương trình tham số của đoạn thẳng nối hai
điểm A(xA, yA), B(xB , yB )
Giải. Phương trình tham số của đoạn thẳng nối hai
điểm A(xA, yA), B(xB , yB ) là
x = xA + (xB − xA).t,
y = yA + (yB − yA).t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
0
t
1.
TP. HCM — 2014.
7 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
Viết phương trình tham số của đường trịn
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
8 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
Viết phương trình tham số của đường trịn
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2
Giải. Phương trình tham số của đường tròn
(x − a)2 + (y − b)2 = R 2 là
x = a + R cos t,
y = b + R sin t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
0
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
t
2π.
TP. HCM — 2014.
8 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
x2 y2
Viết phương trình tham số của Ellipse 2 + 2 = 1
a
b
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
9 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
x2 y2
Viết phương trình tham số của Ellipse 2 + 2 = 1
a
b
Giải. Phương trình tham số của Ellipse
x2 y2
+
= 1 là
a2 b 2
x = a cos t,
y = b sin t
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
0
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
t
2π.
TP. HCM — 2014.
9 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Theo công thức lấy vi phân cung của đường cong
C ta có
d =
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
(x (t))2 + (y (t))2dt
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
10 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Theo công thức lấy vi phân cung của đường cong
C ta có
d =
(x (t))2 + (y (t))2dt
Định lý
Cho hàm số f (x, y ) liên tục trên cung AB. Khi đó
b
f (x(t), y (t)). (x (t))2 + (y (t))2 dt.
f (x, y )d =
AB
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
a
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
10 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
Tính I = (2 + x 2y )d , với C là nửa đường tròn
2
2
C
x + y = 1, y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
0.
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
11 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Ví dụ
Tính I = (2 + x 2y )d , với C là nửa đường tròn
2
2
C
x + y = 1, y
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
0.
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
11 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Giải. Ta phải tham số hóa nửa đường trịn
x 2 + y 2 = 1, y 0 bằng cách đặt
x = cos t
x (t) = − sin t
y = sin t ⇒
y (t) = cos t
0 t π.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
12 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Giải. Ta phải tham số hóa nửa đường trịn
x 2 + y 2 = 1, y 0 bằng cách đặt
x = cos t
x (t) = − sin t
y = sin t ⇒
y (t) = cos t
0 t π.
π
(2 + cos2 t. sin t) (− sin t)2 + (cos t)2 dt =
I =
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
12 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình tham số
Giải. Ta phải tham số hóa nửa đường trịn
x 2 + y 2 = 1, y 0 bằng cách đặt
x = cos t
x (t) = − sin t
y = sin t ⇒
y (t) = cos t
0 t π.
π
(2 + cos2 t. sin t) (− sin t)2 + (cos t)2 dt =
I =
0
π
cos3 t
(2 + cos t. sin t)dt = 2t −
3
π
2
=
0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
0
2
= 2π + .
3
TP. HCM — 2014.
12 / 37
Tích phân đường loại một
AB có phương trình y = y (x), a
x
b.
Trường hợp cung AB có phương trình
y = y (x), a x b.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM)
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
TP. HCM — 2014.
13 / 37
