Bài thảo luận nhóm: Điểm trung bình môn Lý thuyết xác suất thống kê toán của sinh viên Trường Đại học Thương mại

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THƯƠNG MẠI

BÀI THẢO LUẬN NHÓM
Học phần: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ
THỐNG KÊ TOÁN
Đề tài: Điểm trung bình môn Lý thuyết xác

suất thống kê toán của sinh viên Trường Đại
học Thương mại
Nhóm: 9
Lớp HP: 1474AMAT0111
Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Hiên

Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2014


MỤC LỤC
TRANG
PHẦN A: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ TOÁN..................................3

Ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên.................3

I.

1. Ước lượng bằng khoảng tin cậy.......................................................3
2. Ước lượng các tham số của ĐLNN ................................................3
2.1 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN.........................................4
2.2 Ước lượng tỉ lệ..........................................................................6
2.3 Ước lượng phương sai..............................................................6

Kiểm định giả thuyết thống kê............................................7

II.

1. Một số khái niệm và định nghĩa.......................................................7
1.1 Giả thuyết thống kê...................................................................7
1.2 Tiêu chuẩn kiểm định................................................................7
1.3 Miền bác bỏ.............................................................................. 7
1.4 Các loại sai lầm.........................................................................8
2. Các trường hợp kiểm định...............................................................8
2.1 Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của ĐLNN....................8
2.2 Kiểm định về tỉ lệ đám đông.....................................................10

PHẦN B: BÀI TẬP..............................................................................9
I.

Đề bài...................................................................................... 9

II.

Giải bài tập............................................................................. 15

1. Bài 1................................................................................................ 15
2. Bài 2................................................................................................ 27
2


Phần A: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ TOÁN
I. Ước lượng các tham số của ĐLNN
Xét một ĐLNN X thể hiện trên một đám đông nào đó. Các số đặc trưng của
X được gọi là các tham số lý thuyết (hay tham số của đám đông). Ký hiệu chung

tham số lý thuyết cần ước lượng là θ . Có hai phương pháp ước lượng θ là:
• Ước lượng điểm
• Ước lượng bằng khoảng tin cậy.
1. Ước lượng bằng khoảng tin cậy
Để ước lượng tham số θ của ĐLNN X, trước hết từ đám đông ta lấy ra mẫu
ngẫu nhiên W = (X1,X2, … , Xn). Tiếp đến ta xây dựng thống kê G = f(X1,X2, … ,
Xn, θ), sao cho quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định (không phụ
thuộc vào tham số θ). Với xác suất γ = 1 – α cho trước, ta xác định cặp giá trị α 1, α2
thỏa mãn các điều kiện α1 ≥ 0, α2 ≥ 0 và α1 + α2 = α. Vì quy luật phân phối xác suất
của G ta đã biết, ta tìm được các phân vị g1-α1 và gα2 sao cho P(G > g1-α1) = 1 – α1 và
P(G > ga2)= α2.
Khi đó: P(g1-α1 < G < ga2) = 1 - α1 - α2 = 1 – α = γ.
Cuối cùng bằng cách biến đổi tương đương ta có: P(θ*1 < θ < θ*2) = 1 – α = γ
Trong đó:

γ = 1 – α* được gọi là là độ tin cậy,
(θ*1, θ*2) được gọi là độ tin cậy,
I = θ*2 – θ*1 được gọi là độ dài của khoảng tin cậy.

Người ta thường chọn α1 = α2 = α/2. Nếu chọn α1 = 0 và α2 = α hoặc chọn α1
= α và α2 = 0 thì ta sẽ có khoảng tin cậy một phía (dùng để ước lượng giá trị tối
thiểu hoặc giá trị tối đa của θ).

2. Ước lượng các tham số của ĐLNN
3


2.1 Ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN
Để ước lượng kỳ vọng toán E(X) = µ của ĐLNN X, từ đám đông ta lấy mẫu
W=(X1,X2,…,Xn). Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu

điều chỉnh S’² . Ta sẽ ước lượng µ thông qua X . Xét các trường hợp sau:
a) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn

đã biết.

b) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn

chưa biết.

c) Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n>30.
Khi n lớn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn. Mặt khác ta luôn có E ( X ) = µ và

Var ( X ) =

σ2
=>
n

)

Ta xây dựng thống kê:
U = ~ N(0,1).

Khoảng tin cậy đối xứng ( lấy α1 = α2 = α/2)
Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα 2 sao cho:
P(|U| < uα 2 ) = 1 – α =γ
Thay biểu thức của U vào công thức trên ta có:
P(| X - µ| < uα 2 ) = 1 – α =γ
 P( X – ε < µ < X + ε ) = 1 – α =γ
Trong đó :

ε = uα 2 là sai số của ước lượng
γ = 1 – α là độ tin cậy
( X – ε; X + ε) là khoảng tin cậy ngẫu nhiên của µ. Ở đây ta cần chú ý rằng : Với
xác suất bằng γ = 1 – α khoảng tin cậy ngẫu nhiên này chụp đúng µ (µ là 1 số xác
định )
Trong 1 lần lấy mẫu ta tìm được 1 giá trị cụ thể x của X . Khi đó ta có 1 khoảng
tin cậy cụ thể của µ là ( x – ε; x + ε)
4


Ta có những bài toán sau:
Bài toán 1: Biết kích thước mẫu n, biết độ tin cậy γ = 1 – α, tìm sai số ε ( hoặc
khoảng tin cậy ). Vì biết γ = 1 – α tra bảng ta tìm được uα 2 , từ đó ta tìm được sai
số ε = uα 2 và khoảng tin cậy của µ
Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n và sai số ε, cần tìm độ tin cậy γ. Biết n và ε, ta
tìm được uα 2 .tra bảng tìm được α/2 từ đó tìm được độ tin cậy γ = 1 – α
Từ công thức tìm khoảng tin cậy ta thấy rằng sai số của ước lượng bằng 1 nửa
độ dài của khoảng tin cậy. Vì vậy nếu biết khoảng tin cậy đối xứng (a,b) thì ta có
thể tính được sai số của ước lượng theo công thức
ε=

Bài toán 3: Biết độ tin cậy γ, biết sai số ε, cần tìm kích thước mẫu n. Biết γ = 1 – α,
ta tìm được uα 2

σ 2uα2 2
. Ta tìm được n =
Đó chính là kích thước mẫu tối thiểu cần
ε2

tìm.

Chú ý 1 : Nếu chưa biết σ, nhưng kích thước mẫu lớn (n>30). Ta có thể thay σ
bằng ước lượng không chệch tốt nhất của nó là s’
Chú ý 2 : Trong trường hợp biết µ cần ước lượng X biến đổi tương đương
công thức ta có:
P( µ - ε < X < µ + ε ) = 1 – α = γ
Vậy khoảng tin cậy của X là ( µ - ε, µ + ε ).


Khoảng tin cậy phải (lấy α1 = 0, α 2 = α ; dùng để ước lượng giá trị tối thiểu

của µ)

5


Ta vẫn dùng thống kê
Với độ tin cậy γ = 1-α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn uα sao cho:
P(U< uα ) = 1 – α = γ
Thay vào biểu thức của U vào công thức trên ta có:
P (

X −µ
< uα ) = 1 – α = γ
σ n

σ


⇔ P  X − uα < µ ÷ = 1 − α = γ
n




σ


; +∞ ÷
Như vậy, khoảng tin cậy phải đối với độ tin cậy γ = 1 – α của µ là:  X −
n


 Khoảng tin cậy trái (lấy α2 = 0 ; α1 = α, dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)
Ta cũng dùng thống kê :
Với độ tin cậy γ = 1 – α cho trước ta tìm được uα sao cho:
P(- uα
σ


⇒ P µ < X +
uα ÷ = 1 − α = γ
n 

Ta có khoảng tin cậy trái với độ tin cậy γ = 1 – α của µ là:
2.2 Ước lượng tỷ lệ.
2.3 Ước lượng phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn.
6

σ



uα ÷
 +∞; X +
n 



II. Kiểm định giả thuyết thống kê
1.Một số khái niệm và định nghĩa
1.1 Giả thuyết thống kê
Giả thuyết về quy luât phân phối xác suất của ĐLNN về tham số đặc trưng
của đại lựơng ngẫu nhiên hoặc tính độc lập của các ĐLNN được gọi là giả thuyết
thống kê,kí hiệu là Ho.
Mọi giả thuyết khác với giả thuyết H đươc gọi là đối thuyết,kí hiêu là H1.Ho
và H1 lập thành một cặp giả thuyết thống kê. Ta quy định: khi đã chọn cặp giả
thuyết Ho và H1 thì nếu bác bỏ Ho sẽ chấp nhận H1.
1.2 Tiêu chuẩn kiểm định
Để kiểm đinh cặp giả thuyết thống kê Ho và H1,từ đám đông ta chọn mẫu
ngẫu nhiên:W=(X1,…,Xn).dựa vào mẫu trên ta xây dưng thống kê
G = f ( X 1 ,..., X n ,θ 0 ) .
Trong đó θ0 là một số tham số liên quan đến Ho sao cho nếu đúng Ho thì
quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định. Khi đó thống kê G được gọi
là tiêu chuẩn kiểm định.
1.3 Miền bác bỏ
Để xây dựng miền bác bỏ ta sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ:Nếu một biến
cố có xác suất nhỏ ta có thể coi nó không xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
Vì đã biết quy luật phân phối xác suất của G, nên với một số α khá bé cho trước ta
có thể tìm được miền Wα gọi là miền bác bỏ, sao cho nếu giả thuyết Ho đúng thì
xác suất để G nhận giá trị thuộc miền Wα bằng α:
P(G ∈ Wα/Ho)=α

Vì α khá bé theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể coi biến cố (G ∈ Wα/Ho)
không xảy ra trong một lần thưc hiện phép thử.Nên nếu từ một mẫu cụ thể
7


w=(x1,.., xn) ta tìm được giá trị thực nghiệm gtn = f ( x1 ,...., xn ,θ 0 ) mà gtn ∈Wα
(Nghĩa là vừa thực hiện phếp thử thấy biến cố (G ∈ Wα/Ho) xảy ra)ta có cơ sở bác
bỏ giả thuyết Ho.

(

)

Kí hiêu Wα là miền bù của Wα. Khi đó ta có P G ∈Wα W0 = 1 − α . Vì α
khá bé nên 1-α khá gần 1. Theo nguyên lý xác suất lớn: Nếu một biến cố có xác
suất rất gần 1 ta có thể coi nó sẽ xảy ra trong một lần thực hiện phép thử, nếu trong
một lần lấy mẫu ta thấy gtn ∈Wα thì giả thuyết Ho tỏ ra hợp lí,chưa có cơ sở bác bỏ
Ho. Vì vậy ta có quy tắc kiểm định sau:
Từ đám đông ta lấy ra một mẫu cụ thể kích thước n: w=(x1,…,xn) và tính gtn
•

Nếu gtn ∈Wα thì bác bỏ Ho chấp nhận H1

•

Nếu gtn ∉Wα thì chưa có cơ sở bác bỏ Ho.

1.4 Các loại sai lầm
Theo quy tắc kiểm định trên ta có thể mắc hai loại sai lầm như sau:
•

Sai lầm loại một là loại sai lầm bác bỏ giả thuyết Ho khí chính Ho đúng. Ta

có xác suất mắc sai lầm loại một bằng α. Giá tri α được gọi là mức ý nghĩa.
•
Sai lầm loai hai là sai lầm chấp nhận Ho khi chính nó sai.Nếu ký hiệu xác
suất mắc sai lầm loại hai là ß thì ta có.

(

)

P G ∈Wα / H1 = β
2. Các trường hợp kiểm định
2.1.Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của một ĐLNN
Giả sử cần nghiên cứu một dấu hiệu X thể hiện trên một đám đông. Kí hiệu
E(X) = µ, Var(X) = σ2 , trong đó µ chưa biết, từ một cơ sở nào đó người ta tìm được
µ = µ0, nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần kiểm định
giả thuyết H0 : µ = µ0.
Từ đám đông ta lấy ra mẫu : W = (
8

,……,

) và tính được các đặc trưng


mẫu:

=

S’2 =

a) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn

đã biết.

b) ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn

chưa biết.

c) Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng n>30.
Khi n lớn, X có phân phối xấp xỉ chuẩn. Mặt khác ta luôn có E ( X ) = µ và

σ2
Var ( X ) =
=>
n

)

* Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định (XDTCKĐ): U =

Nếu H0 đúng thì U~N(0,1). Xét những bài toán cụ thể sau:
•

Bài toán 1:

Với α cho trước ta có thể tìm được

sao cho P(|U|>

bỏ:
={

trong đó:

=
9

) = α. Ta có miền bác


•

Bài toán 2 :

Với α cho trước, ta có thể tìm được

sao cho P(U >

) = α. Từ đó ta có miền

bác bỏ:
={

•

Bài toán 3:

Với α cho trước ta có thể tìm được phân vị chuẩn

sao cho P(U< -

) = α. Do đó

ta có miền bác bỏ:
={
2.2.Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ của đám đông.
Giả sử một đám đông có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p (p chính là xác
suất để rút ngẫu nhiên được một phần tử mang dấu hiệu A từ đám đông). Từ một cơ
sở nào đó người ta tìm được p=p₀ nhưng nghi ngờ về điều này. Với mức ý nghĩa
cần kiểm định giả thuyết H₀:p=p₀. Chọn từ đám đông một kích thước n. Gọi f là tỉ
lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu. Khi kích thước n đủ lớn thì

XDTCKĐ:

Trong đó q₀ = 1 - p₀
10


Nếu H₀ đúng thì U N(0,1)

Bài toán 1:

sao cho P(

Với mức ý nghĩa

>

)= . Vì

nhỏ ta có miền bác bỏ

={

cho trước ta tìm được phân vị chuẩn

khá
:

bé, theo nguyên lý xác suất
>

}, trong đó:

Ví dụ: Ở một địa phương tỉ lệ mắc bệnh gan đã được xác định nhiều lần là 34%.
Sau một đợt điều trị bằn một loại thuốc , người ta kiểm tra lại 120 người thấy 24
người còn mắc bệnh gan. Hỏi với mức ý nghĩa 5% tỉ lệ người mắc bệnh gan ở địa
phương đó có thay đổi hay không?
Giải:
Gọi f là tỉ lệ người mắc bệnh gan trên mẫu
P là tỉ lệ người mắc bệnh gan trên đám đông
Vì n=120 khá lớn nên

với mức ý nghĩa =0,05 cần kiểm định:
XĐTCKĐ:

Nếu H₀ đúng thì U=N(0,1)

Vói

cho trước ta xác định được

sao cho: P(

11

>

)=


Vì

khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có
={

Ta có

=

:

>

}

=1,96

Theo đề bài: f =

=0,2

=

=3,237

Bác bỏ H₀
Vậy với mức ý nghĩa 5% thì tỉ lệ người mắc bệnh gan ở địa phương đó có thay đổi.

Bài toán 2:

. Với mức ý nghĩa

sao cho P(U>
={

>

cho trước ta tìm được phân vị chuẩn

)= . Lập luận tương tự bài toán 1 ta thu được miền bác bỏ

}.

Ví dụ:
Ngày 10/10/2006 tác giả của một bài báo viết : Ở Việt Nam có tới 90% các doanh
nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử. Có ý kiến cho rằng tỉ lệ trên thấp
hơn so với thực tế, Để kiểm tra lại người ta 120 doang nghiệp thấy có 115 doanh

nghiệp chưa quan tâm đến lĩnh vực này, Với mức ý nghĩa 0,05 hãy cho nhận định
về vấn đề trên.
Giải:
Gọi X là số doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử
f là tỉ lệ số doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử trên mẫu
p là tỉ lệ số doanh nghiệp chưa quan tâm đến thương mại điện tử trên đám đông
12


Vì n=120 khá lớn nên

với mức ý nghĩa =0,05 cần kiểm định:
XĐTCKĐ:

Nếu H₀ đúng thì U=N(0,1)
Vói

Vì

cho trước ta xác định được

sao cho: P(U>

)=

khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có
={

Ta có

=

Theo đề bài: f =

:

>

}

= 1,65

= 0,9583

=

= 2,1288

Bác bỏ H₀
Vậy với mức ý nghĩa 0,05 thì ta nói rằng tỉ lệ các doanh nghiệp chưa quan tâm
đến thương mại điện tử lớn hơn 90%

13


Bài toán 3:

. Với mức ý nghĩa

sao cho P(U<={

<-

cho trước ta tìm được phân vị chuẩn

)= . Lập luận tương tự bài toán 1 ta thu được miền bác bỏ

}.

Ví dụ: Điều tra 300 học sinh trung học ở Hà Nội thấy có 66 em bị cận thị. Với mức
ý nghĩa 1% có thể nói rằng tỉ lệ học sinh trung học ở Hà Nội bị cận thị nhỏ hơn
25% hay không?
Giải:
Gọi X là số học sinh trung học ở Hà Nội bị cận thị
f là tỉ lệ học sinh trung học ở Hà Nội bị cận thị trên mẫu
p là tỉ lệ học sinh trung học ở Hà Nội bị cận thị trên đám đông
Vì n=300 khá lớn nên

với mức ý nghĩa =0,01 cần kiểm định:
XĐTCKĐ:

Nếu H₀ đúng thì U=N(0,1)
Vói

Vì

cho trước ta xác định được

sao cho: P(U<-

khá bé nên theo nguyên lý xác suất nhỏ ta có
={

:

}

14

)=


Ta có

=

=2,33

Theo đề bài: f =

= 0,22

=

= -1,2

Chưa có cơ sở bác bỏ H₀
Vậy với mức ý nghĩa 0,01 ta có thể nói rằng tỉ lệ học sinh trung học ở Hà Nội bị
cận nhỏ hơn.

15


:

PHẦN B BÀI TẬP
I. Đề bài
1. Với độ tin cậy 95% ước lượng điểm học phần trung bình môn lý thuyết xác suất
và thống kê toán của Đại học Thương Mại.
2. Với mức ý nghĩa 5% kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh
viên Đại học Thương Mại trượt môn lý thuyết xác suất và thống kê toán nhỏ hơn
30%.
II. Giải bài tập
1. Câu 1: Với độ tin cậy 95% ước lượng điểm học phần trung bình môn lý thuyết
xác suất và thống kê toán của Đại học Thương Mại.
Gọi X là điểm học phần của sinh viên ĐH thương mại
X là điểm học phần trung bình của sinh viên ĐH thương mại trên mẫu.

µ là điểm học phần trung bình của sinh viên ĐH thương mại trên đám đông.
a) Mẫu số liệu
Bảng điều tra điểm trung bình môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán của sinh
viên Đại học Thương mại

STT

HỌ VÀ TÊN

LỚP HÀNH CHÍNH

ĐIỂM TRUNG

BÌNH

1

Nguyễn Thị Hoài Thu

CĐ14C2

7,2

2

Phạm Thị Ngọc Ánh

CĐ15C1

8,5

3

Tạ Thúy Thúy

CĐ15C1

7,4

16


4

Hoàng Việt Hà

CĐ15C2

7.6

5

Nguyễn Thị Huyền

CĐ15C2

7,8

6

Nguyễn Thị Nga

CĐ15C2

6,6

7

Vũ Thị Trang

CĐ15C2

8,4

8

Trần Thị Hoài Nam

K41C3

6,8

9

Lê Việt Anh

K44A3

6,0

10

Lê Thị Nguyệt

K44S1

6,0

11

Nguyễn Thị Xuân Ngọc

K44S1

6,2

12

Phạm Thanh Long

K44S1

4,2

13

Phạm Tiến Lực

K44S1

4,0

14

Trần Thị Nhung

K44S1

2,7

15

Vũ Thị Minh Nguyệt

K44S1

6,6

16

Lê Thị Hiền

K44S1

5,3

17

Vũ Thị Hiền

K44S1

6,6

18

Lê Ngọc Hiền

K44S1

2,7

19

Đỗ Thị Hoan

K44S1

7,4

20

Phạm Văn Hoan

K44S1

4,8

21

Nguyễn Thị Huyền

K44S1

8,7

22

Nguyễn Thu Huyền

K44S1

4,4

23

Nguyễn Ngọc Lam

K44S1

6,4

24

Dương Thị Ngọc Lan

K44S1

5,8

25

Bùi Thảo Linh

K44S1

6,7

26

Phạm Thị Bích

K44S1

3,9

27

Nguyễn Văn Dũng

K44S1

5,1

17


28

Đinh Thị Sâm

K44S2

4,0

29

Mai Hà My

K44S2

6,7

30

Nguyễn Thị Ngọc

K44S2

6,4

31

Nguyễn Thị Hà Phương

K44S2

5,1

32

Nguyễn Thị Thu Thảo

K44S2

9,1

33

Trần Thị Tuyết Lương

K44S2

8,2

34

Đào Thị Thu Hồng

K44S2

7,3

35

Đào Thanh Hương

K44S2

6,9

36

Nguyễn Thanh Huyền

K44S2

5,3

37

Trần Thu Huyền

K44S2

3,5

38

Phạm Thị An

K44S2

3,6

39

Nghiêm Thục Anh

K44S2

7,2

40

Nguyễn Mạnh Cường

K44S2

7,4

41

Nguyễn Tiến Cường

K44S2

2,8

42

Lê Văn Đức

K44S2

6,4

43

Lê Thị Kim Dung

K44S2

5.4

44

Dương Thế Dũng

K44S2

4,5

45

Nguyễn Thị Thu Giang

K44S2

7,1

46

Nguyễn Thị Thu Hà

K44S2

7,6

47

Phan Thị Hằng

K44S2

4,2

48

Đào Hiền Lương

K44S3

5,6

49

Hoàng Quốc Minh

K44S3

3,1

50

Lại Thị Nhung

K44S3

7,4

51

Nguyễn Đức Quang

K44S3

5,9

18


52

Nguyễn Thị Hồng Nhung

K44S3

7,4

53

Nguyễn Thị Phương

K44S3

6,9

54

Nguyễn Thị Thảo

K44S3

5,3

55

Phạm Thị Thanh Nhàn

K44S3

6,8

56

Phạm Thị Thảo

K44S3

6,4

57

Trịnh Thị Nga

K44S3

7,8

58

Lê Thị Hiền

K44S3

5,8

59

Mai Thanh Huyền

K44S3

4,9

60

Nguyễn Thị Huyền

K44S3

8,2

61

Đoàn Hương Hoa Ban

K44S3

6,9

62

Lê Thị Thu Chang

K44S3

7,4

63

Đặng Thị Giang

K44S3

7,0

64

Trần Thúy Hằng

K44S3

4,0

65

Đinh Thị Thu Phương

K44S4

7,6

66

Đỗ Doanh Quân

K44S4

K44S4

67

Hoàng Thị Nga

K44S4

K44S4

68

Lê Thị Ninh

K44S4

K44S4

69

Nguyễn Bích Ngọc

K44S4

K44S4

70

Nguyễn Huy Ngọc Minh

K44S4

K44S4

71

Nguyễn Thị Loan

K44S4

K44S4

72

Nguyễn Thị Mến

K44S4

K44S4

73

Mai Thị Thu Hiền

K44S4

K44S4

74

Nguyễn Thị Thanh Hiền

K44S4

K44S4

75

Nguyễn Trung Hiếu

K44S4

K44S4

19


76

Phạm Văn Hoàng

K44S4

K44S4

77

Nguyễn Thị Hồng

K44S4

K44S4

78

Vũ Xuân Hùng

K44S4

K44S4

79

Phạm Vũ Quang Huy

K44S4

K44S4

80

Đỗ Thị Thanh Hiền

K44S4

K44S4

81

Nguyễn Thị Huyền

K44S4

K44S4

82

Hồ Văn Khanh

K44S4

K44S4

83

Vũ Thị Hương Liên

K44S4

K44S4

84

Đỗ Việt Linh

K44S4

K44S4

85

Đặng Thị Vân Anh

K44S4

K44S4

86

Lê Thu Bằng

K44S4

K44S4

87

Đỗ Hải Băng

K44S4

K44S4

88

Đặng Thị Diễm

K44S4

K44S4

89

Nguyễn Bá Đính

K44S4

K44S4

90

Vi Thanh Đồng

K44S4

K44S4

91

Nguyễn Thị Phương
Dung

K44S4

K44S4

92

Phạm Thanh Duy

K44S4

K44S4

93

Bùi Quang Được

K44S4

K44S4

94

Lê Trung Hải

K44S4

K44S4

95

Phạm Hoàng Hải

K44S4

K44S4

96

Phạm Việt Cường

K45C2

5,6

97

Nguyễn Thị Quyên

K45C6

8,3

98

Nguyễn Thị Thúy Quỳnh

K46A4

6,,6

99

Mai Văn Kính

K46B4

6,9

20

100

Hoàng Quỳnh Trang

K46C1

8,4

101

Lê Tiến Cảnh

K46C1

6,9

102

Bùi Thị Nguyệt

K46C2

8,5

103

Chử Thế Anh

K46C3

6,2

104

Nguyễn Thị Hiền

K46C3

7,8

105

Nguyễn Văn Thắng

K46C3

6,5

106

Chu Đình Quân

K46C4

8,1

107

Đồng Thị Nhi

K46C4

7,2

108

Nguyễn Thị Liệu

K46C4

6,7

109

Đoàn Anh Hùng

K46C5

5,8

110

Nguyễn Thị Hoàng Yến

K46C5

4,8

111

Tô Trọng Phục

K46C5

7,2

112

Hoàng Văn Lộc

K46E4

7,49

113

Lê Văn Khôi

K46E4

5,9

114

Nguyễn Thị Thùy Linh

K46E4

6,2

115

Nguyễn Văn Giang

K46E4

6,5

116

Nguyễn Văn Thiết

K46E4

7,6

117

Trần Minh Sỹ

K46E4

6,5

118

Nguyễn Quang Phúc

K46F1

9,4

119

Hồ Phạm Nhật Trung

K46I2

5,7

120

Hà Thị Hạnh

K46U4

7,5

121

Bùi Thị Hồng Hạnh

K47A1

8,0

122

Dương Thị Hiền

K47A1

7,0

123

Dương Thị Hòa

K47A1

7,4

21


124

Trương Thị Dung

K47A1

9,4

125

Mai Thị Lan

K47A2

9,4

126

Bùi Thị Thảo

K47A3

8,6

127

Vũ Thị Huyền

K47A3

8,1

128

Trần Thị Ngọc

K47B1

6,9

129

Lê Thu Hiền

K47B2

8,5

130

Nguyễn Thị Nhàn

K47B2

7,7

131

Nguyễn Thị Điểm

K47B3

8,4

132

Nguyễn Kim Ngọc

K47B2

7,0

133

Nguyễn Thị Thu

K47B3

8,0

134

Trần Thị My

K47B3

8,2

135

Trần Thị Nguyệt

K47B3

6,5

136

Ngô Thị Hoa Ngọc

K47B4

6,9

137

Trần Công Ngọc

K47B4

6,2

138

Nguyễn Thị Thơm

K47B5

7,3

139

Lê Phương Mai

K47C3

7,5

140

Nguyễn Tam Thắng

K47C3

5,7

141

Hoàng Thế Hùng

K47C5

4,5

142

Lê Thị Huyền

K47D1

8,5

143

Bùi Thị Lý

K47D3

9,3

144

Lê Thị Kim Liên

K47D3

8,3

145

Nguyễn Thị Bích Ngọc

K47D3

9,3

146

Nguyễn Thị Oanh

K47D3

8,0

147

Vũ Thị Ngọc

K47D3

8,8

22

148

Nguyễn Thị Ngọc

K47D4

7,0

149

Phạm Thị Thúy Nga

K47D4

8,0

150

Vũ Thị Nhung

K47D4

9,5

151

Nguyễn Thị Thanh Mai

K47I2

7,0

152

Phương Đức Minh

K47P1

5,4

153

Bùi Thị Ngọc

K47S2

4,0

154

Nguyễn Thị Hằng

K47S2

8,0

155

Bùi Gia Hiệp

K47T2

8,6

156

Lê Thị Thắm

K47V1

6,2

157

Nguyễn Thị Bích Phương

K47V2

6,2

158

Trần Minh Ngọc

K47V2

6,0

159

Trần Thị Ngọc Quỳnh

K47V2

5,5

160

Nguyễn Thị Phượng

K47V3

4,0

Bảng thống kê
xi

ni

fi

nixi

nixi2

2,5

1

1/160

2,5

6,25

2,7

2

1/80

5,4

14,58

2,8

1

1/160

5,6

7,84

3,0

1

1/160

3,0

9,0

3,1

2

1/80

6,2

19,22

3,5

1

1/160

3,5

12,25

3,6

1

1/160

3,6

12,96

3,9

1

1/160

3,9

15,21

23


4,0

5

1/32

20

80

4,2

4

1/40

16,8

70,56

4,4

2

1/80

8,8

38,72

4,5

2

1/80

9,0

40,5

4,8

2

1/80

9,6

46,08

4,9

3

3/160

14,7

72,03

5,1

2

1/80

10,2

52,02

5,2

1

1/160

5,2

27,04

5,3

3

3/160

15,9

84,27

5,4

3

3/160

16,2

87,47

5,5

1

1/160

5,5

30,25

5,6

2

1/80

11,2

62,72

5,7

2

1/80

11,4

64,98

5,8

3

3/160

17,4

100,92

5,9

3

3/160

17,7

104,43

6,0

7

7/160

42,0

252,0

6,2

7

7/160

43,4

296,08

6,4

5

1/32

32,0

204,8

6,5

4

1/40

26,0

169,0

6,6

5

1/32

33,0

217,8

6,7

3

3/160

20,1

134,67

6,8

2

1/80

13,6

92,48

6,9

11

11/160

75,9

523,71

7,0

6

3/80

42,0

294,0

7,1

1

1/160

7,1

50,41

24

7,2

4

1/40

28,8

207,36

7,3

2

1/80

14,6

106,58

7,4

9

9/160

66,6

492,84

7,5

2

1/80

15,0

112,5

7,6

6

3/80

45,6

346,56

7,7

1

1/160

7,7

59,29

7,8

3

3/160

23,4

182,52

8,0

7

7/160

56,0

448,0

8,1

2

1/80

16,2

131,22

8,2

4

1/40

32,8

268,96

8,3

2

1/80

16,6

137,78

8,4

3

3/160

25,2

211,68

8,5

5

1/32

42,5

361,25

8,6

2

1/80

17,2

147,92

8,7

2

1/80

17,4

151,38

8,8

1

1/160

8,8

77,44

9,1

1

1/160

9,1

82,81

9,3

2

1/80

18,6

172,98

9,4

2

1/80

18,8

176,72

9,5

1

1/160

9,5

90,25

∑

160

1

1046

7233,3

b) Giải quyết bài toán
Ta có :
25