BT hay ve cuc tri so phuc

VI BI TON HAY V CC TR TRONG S PHC (Hng him)
Lờ Xuõn i- GV THPT Chuyờn Vnh Phỳc
Bi 1: Chứng minh rằng với mỗi số phức z thì có ít nhất một BĐT
sau xảy ra
z +1

1
2
hoặc z + 1 1
2

1
2
và z + 1 < 1 . Đặt z=a+bi
2

HD: Giả sử ta có z + 1 <

1

2
2
2
2
(1 + a ) + b <
2(a + b ) + 4a + 1 < 0 (1)
2

Ta có hệ
2
2 2

2
2
2
2
2
2
2
(1 + a b ) + 4a b < 1 (a + b ) + 2(a b ) < 0 (2)

Cộng từng vế (1) với (2) ta đợc (a 2 + b 2 )2 + (2a + 1)2 < 0

(vô lý)

Ta có đpcm.
3
Bi 2: Cho số phức z khác 0 thoả mãn z +

z+

1
2 . Chứng minh rằng:
z3

1
2.
z
3

1
1

1


HD: Từ z + ữ = z3 + 3 + 3 z + ữ, suy ra
z
z
z


3

1
1
1
1
z+
z3 + 3 + 3 z + 2 + 3 z +
z
z
z
z
Đặt a = z +

1
thì a 3 3a 2 0 a 2 (đpcm)
z

Bi 3: Cho s phc z tho món z 2 + 2i = 1 . Tỡm giỏ tr nh nht, ln nht ca z
HD: t z = a + bi ta cú (a + 2) 2 + (b 2) 2 = 1
Cỏch 1: Lm theo hỡnh hc

Cách 2: Ta có a 2 + b 2 + 7 = 4(a − b) . Đăt t = a 2 + b 2 , theo BCS thì
(t + 7) 2 ≤ 32t ⇔ 9 − 4 2 ≤ t ≤ 9 + 4 2 , từ đó tìm ra kết quả.

Bài 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z + 1 + 2i = 1 , tìm số phức z có modun
nhỏ nhất.
1
Bài 5: Cho biết | z + |= a > 0 . Tìm số phức z có môdun lớn nhất, môđun nhỏ nhất.
z
Bài 6: Cho | z |≤ 1 . Chứng minh rằng:

2z − i
≤1.
2 + iz

Bài 7: Trong mặt phẳng tọa độ. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn
các điều kiện:
z − i = z − 2 − 3i .

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ nhất.
HD:
* Đặt z = x + yi (x; y ∈ R)
|z - i| = | Z - 2 - 3i| ⇔ |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i|
* ⇔ x - 2y - 3 = 0 ⇔ Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x 2y - 3 = 0
uuuu
r

* |z| nhỏ nhất ⇔ | OM | nhỏ nhất ⇔ M là hình chiếu của O trên ∆
* ⇔ M(

3 6
3 6
;- ) ⇒ z = - i
5 5
5 5