Đề hsg toán 9

UBND HUYỆN YÊN PHONG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc.
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN
Môn : Toán lớp 9.
Năm học : 2008-2009.
Thời gian làm bài: 150 phút.
Câu 1(2 điểm):
1/ Chứng minh rằng nếu: a + b + c = 0 thì a
3
+ b
3
+ c
3
– 3abc = 0.
2/ Tính giá trị của biểu thức:
222
y
zx
x
yz
z
xy
A
++=
.Biết
0
111
=++
zyx
Câu 2(2 điểm):
Cho a ,b ,c là các số hũu tỉ thoả mãn: abc = 1 và

c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
222
222
++=++
.
Chứng minh rằng: Trong 3 số a, b, c có một số là bình phương của một số hữu tỉ.
Câu 3(2 điểm):
1/ Tìm giá trị lớn nhất của: y = ( 2x + 1).(2 – 3x) biết
3
2
2
1
≤≤−
x
2/ Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x
2
= y.(y + 1).(y + 2).(y +3)
Câu 4(2,5 điểm):
Cho hình thang ABCD (AB//CD). O là giao điểm của hai đường chéo AC,BD.

Đường thẳng qua O song song với AB và cắt AD,BC lần lượt tại M,N.
1/ Chứng minh rằng:
MNCDAB
211
=+
.
2/ Biết diện tích tam giác AOB bằng a
2
,diện tích tam giác COD bằng b
2
. Tính diện tích
hình thang ABCD theo a,b.
Câu 5(1,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có chu vi không nhỏ hơn 2
2
và một tứ giác có các đỉnh nằm
trên các cạnh khác nhau của hình chữ nhật đó. Chứng minh rằng chu vi tứ giác không nhỏ
hơn 2.
===================Đề gồm 01 trang===================
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN
Môn :Toán 9.
Năm học 2008-2009.
Thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1(2 điểm)
1/Từ a + b + c = 0
⇒
a + b = - c
⇒
(a + b )
3

= - c
3
(0,5đ)
⇒
…
⇒
a
3
+ b
3
+ c
3
- 3abc = 0(0,5đ)
2/Áp dụng ý 1/








++=⇒
33
3
111
zy
x
xyzA
(0,5đ)

Mà
0
111
=++
zyx
3
=⇒
A
(0,5đ)
Câu 2(2 điểm).
Đặt
c
a
zb
c
ya
b
x
z
a
c
y
c
b
x
b
a
222
222
1

;
1
;
1
;;
===⇒===
. (0,5đ)
Ta có: xyz = 1 và x + y + z =
zyx
111
++
⇒
xyz = 1 và x + y + z = xy + yz + zx (0,5đ)
Xét (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + x + y + z – 1 = 0 (0,5đ)
⇒
x = 1 hoặc y = 1 hoặc z = 1
⇒
ĐPCM (0,5đ)
Câu 3 (2 điểm):
1/ Viết Y = 6






−







+
xx
3
2
2
1
24
49
2
3
2
2
1
6
2
=













−++
≤
xx
( có giải thích) (0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x =
∈
12
1
ĐK.
(0,25đ)
Vậy MaxY =
24
49
khi x =
12
1
(0,25đ)
2/Đặt a = y
2
+ 3y
⇒
x
2
= a(a + 2) = a
2
+ 2a, a
Z
∈
TH1: Nếu a > 0

⇒
a
2
< x
2
< (a + 1)
2
. Mà x
Z
∈
⇒
Vô lí. (0,5đ)
TH2: Nếu a
≤
0
⇒
y
2
+ 3y
0
≤
03
≤≤−⇒
y
}{
0;1;2;3
−−−∈⇒
y
( vì y- nguyên).
(0,25đ)

Thử lại vào phương trình ban đầu ta được 4 nghiệm nguyên:
(0;0);(0:-1);(0;-2);(0:-3). (0,25đ)
A B

M O N
Câu 4(2,5 điểm):
1/ MN//AB(gt),AB//CD(gt)
⇒
MN// DC
Chỉ ra
AC
OA
CD
OM
BD
OD
AB
OM
BD
OBOA
OD
OB
OC
OA
==
=⇒=
;
;
AC

(0,5đ) D C
Suy ra
1
11
=






+
CDAB
OM
(1) (0,25đ)
Chứng minh tương tự ta có:
1
11
=






+
CDAB
ON
(2). (0,25đ )
Từ (1) và (2) suy ra (ĐPCM) (0,25đ)

2/Chỉ ra
OD
OB
S
S
OD
OB
S
S
ODC
OBC
OAD
OAB
==
;
(0,25đ)
suy ra S
OAD
.S
OBC
= a
2
b
2
mà S
ADC
= S
BDC
(0,25đ)
⇒

S
ADC
– S
ODC
= S
BDC
– S
ODC
⇒
S
ODA
= S
OBC
(0,25đ)
Suy ra (S
OAD
)
2
= (S
OBC
)
2
= (ab)
2

⇒
S
ODA
= S
OBC

=
ab
(0,25đ)
S
ABCD
= S
ODA
+ S
OBC
+S
OAB
+ S
OCD
=
( )
2
ba
+
( đvdt). (0,25đ)
Câu 5(1,5 điểm):
Xét hình vẽ bên có E,F,G lần lượt là trung điểm MQ,MP,PN. (0,25đ)
Ta cần chứng minh chu vi tứ giác MNPQ lớn hơn hoặc bằng 2(đvđd).
Thật vậy: CV
MNPQ
= 2(AE + EF + FG + GC) (0,5đ)
≥
2AC = 2
22
BCAB
+

2
2
BCAB
+
≥
2
2
2
2
=≥
(0,5đ)
Dấu “=” xảy ra khi MNPQ là hình chữ nhật và ABCD là hình vuông. (0,25đ)
M B
A
E N
F G
Q
D P C
Chú ý : Với các cách giải khác mà vẫn đúng thì cho điểm tương đương