Đề thi học sinh giỏi môn toán 6 năm học 2016 2017 trường chu mạnh chinh

tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh

§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2016 - 2017
M«n: To¸n 6
Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017
Thêi gian lµm bµi: 120 phót
------------------------------------------------------

Bài 1 (2,0 điểm). Tính giá trị các biểu thức sau:
2
3
2017
a) A = 3 + 3 + 3 + .... + 3




1

2

3

2017   1
 

1

1

1




b) B =  2017 − − − − ... −
 :  + + + .. +

4 5 6
2020
20 25 30
10100
c) Thực hiện phép tính: A =

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34
5.228.318 − 7.229.318

Bài 2 (1,5 điểm).
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia
cho 19 dư 11.
b) Cho a, b là các số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho 3. Chứng minh rằng a
và b cùng chia hết cho 3.
Bài 3 (1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố lớn hơn 3 và 2p + 1 cũng là một số nguyên
tố, thì 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Bài 4 (1,5 điểm). Cho phân số A =

3n + 5
6n

(n ∈ ℕ; n ≠ 0)

a) Viết phân số A dưới dạnh tổng hai phân số cùng mẫu
b) Với giá trị nào của n thì phân số A có giá trị lớn nhất ? Tìm giá trị lớn nhất của A.
Bài 5 (2,0 điểm).
a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết

a 2 2
− = .
5 b 15

b) Tìm các chữ số x, y, z để số 579xyz chia hết cho 5, 7 và 9.
Bài 6 (2,0 điểm). Cho xAy = 90O . Trên tia Ax lấy điểm C khác A, trên tia Ay lấy các điểm
O, I, B đôi một khác nhau, I là trung điểm của AB, AB = 12cm, AO = 9 cm.
a) O có là trung điểm của BI không? Vì sao?
b) Giả sử trên tia Ay lần lượt lấy các điểm : A1 , A2 , A3 , ….., An đôi một khác nhau
và khác A. Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; …..;CAn . Người ta đếm thấy trên hình vẽ có 171 tam
giác khác nhau. Vậy trên Ay có bao nhiêu điểm phân biệt khác A?
----------------------- Hết ----------------------* Ghi chú: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay


tr−êng thcs
chu m¹nh Trinh

H−íng dÉn chÊm
§Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng
n¨m häc 2016 - 2017
M«n: To¸n 6
Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017
------------------------------------------------------

Câu Ý

Nội dung
2

3

Điểm

2004

A = 3 + 3 + 3 + .... + 3

⇒ 3.A = 3(3 + 32 + 33 + .... + 32004 ) = 32 + 33 + .... + 32004 + 32005
a

⇒ 2A = 32005 − 3

0,5

3(32004 − 1)
⇒A=
2

1

 1   2 
1 
 2017    1  1 1

B = 1 −  + 1 −  + ... + 1 −
  :   + + .. +

2020  
 2020    5  4 5
 4   5 
b

0,75

= 15

c

2

5.(22.32 )9 .(22 )6 − 2.(22.3)14 .34
A=
5.228.318 − 7.229.318
5.218.318.212 − 2.228.314.34
5.230.318 − 2 29.318
=
=
5.228.318 − 7.229.318
2 28.318 (5 − 7.2)
2 29.318 (5.2 − 1)
2.9
= 28 18
=
= −2

2 .3 (5 − 14)
−9

Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) ⋮ 11 ;(a-1) ⋮ 4; (a-11) ⋮ 19.
(a-6 +33) ⋮ 11 ; (a-1 + 28) ⋮ 4 ; (a-11 +38 ) ⋮ 19.
(a +27) ⋮ 11 ; (a +27) ⋮ 4 ; (a +27) ⋮ 19.
a
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất
Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .
Từ đó tìm được : a = 809
- Chứng minh được: Bình phương của một số nguyên chia cho 3 được
các số dư là 0 hoặc là 1
- Nếu a2 và b2 không chia hết cho 3 thì a2 + b2 chia cho 3 dư 1 hoặc dư
b
2, điều này trái với (a2 + b2 ) chia hết cho 3
Vậy a2 và b2 cùng chia hết cho 3. Do 3 là số nguyên tố nên a và b cùng
chia hết cho 3
p là một số nguyên tố lớn hơn 3 nên p không chia hết cho 3.

0,75

0,75

0,75

Do đó p có một trong hai dạng: 3k +1 hoặc 3k +2 ( với k là số tự nhiên)
3

-

Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 6k + 3, chia hết cho 3. Mà 2p + 1 > 3
nên 2p+1 là hợp số ( mâu thuẫn với điều kiện của bài toán)

-

Suy ra p = 3k +2.

1


Khi đó: 4p + 1 = 12k + 9: chia hết cho 3. Mà 4p + 1 > 3 nên 4p + 1 là
hợp số.
a

3n + 5 3n 5
=
+
6n
6n 6n
1 5
A= +
2 6n
A=

Do n là số tự nhiên, để A lớn nhất ⇔

4

b giá trị nhỏ nhất
Do 6n > 0 ; 6n ⋮ 6 ⇒ 6n = 6 ⇔ n = 1

0,5

5
có giá trị lớn nhất ⇔ 6n có
6n

4
3

Vậy n = 1 thì A có giá trị lớn nhất bằng
Ta có
a

1

a 2 2
2 a 2
30
− =
⇒ = − ⇒
= 3a − 2 là một số tự nhiên ⇒
5 b 15
b 5 15
b

30 ⋮ b ⇒ b ∈ {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}

0,75

Thử các giá trị ⇒ (a;b) ∈ {(4;3); (1;30)}
Ta có 579xyz ⋮ (5.7.9) ⇒ 579xyz = 315k ( k ∈ ℕ )

5
b

Ta có 579000 ≤ 579xyz ≤ 579999 ⇒ 1838

30
84
≤ k ≤ 1841
315
315

⇒ k ∈ {1839;1840;1841} ⇒ 579xyz ∈ {57928;579600;579915}

⇒ xyz ∈ {28;600;915}
a)Trên tia Ay có AB > AO nên O nằm giữa A,O . Tính được OB = 3
a IB = 6
Vậy O là trung điểm của IB .
7

b)Tính được: Có n điểm khác nhau trên Ax thì có

0,75

1,0

n(n − 1)
tam giác

2

b khác nhau
Tính được n = 19
Kết luận trên Ay có 18 điểm phân biệt khác A

----------------------- Hết -----------------------

1.0