Môn bất đẳng thức và áp dụng GT chuong1

BẤT ĐẲNG THỨC
VÀ ÁP DỤNG
BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ

GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
Hà Nội, 2006


Chương 1
Bất đẳng thức Cauchy


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
•

TAM THỨC BẬC HAI

Từ chương trình PTTHCS ta đã làm quên với BĐT cơ bản sau:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Dựa trên cơ sở này, chúng ta xây dựng các BĐT liên quan đến tam thức bậc
hai => thiết lập và chứng minh BĐT Cauchy


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
•

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

Tại Việt Nam và các nước Đông Âu:
-BĐT giữa các giá trị trung bình cộng và trung bình nhân
BĐT Cauchy
-BĐT Cauchy
Bunhiacovski,
Cauchy - Bunhiacovski
hoặc Cauchy - Schwarz
Theo các chuyên gia về BĐT và thông lệ quốc tế:
-BĐT tích phân dạng tương tự Cauchy mới có các tên trên.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Xét hai số dương a, b
Nếu tổng a + b = const  a.b đạt max khi a = b
Nếu tích a.b = const  (a+b) đạt min khi a = b
Hai nhận xét trên tương đương với:

a+b
≥ a.b
2


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Với mọi bộ số

ta luôn có bất đẳng thức sau

Bất đẳng thức (1.4) thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (®«i khi cßn
®îc gäi lµ bất đẳng thức Bunhiacovski, bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski
hoặc bất đẳng thức Cauchy – Schwarz).


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
•

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY MỞ RỘNG

Ta có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng

có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc hai trong trường hợp dấu đẳng
thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng cho tam thức bậc
để có bất đẳng
thức tương tự như (1.8) bằng cách thay số 2 bởi số
Thật vậy, ta cần thiết
lập bất đẳng thức dạng

Sao cho dấu đẳng thức vẫn xảy ra khi và chỉ khi
Thay
vào (1.9), ta nhận được

tức là (1.9) có dạng


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

DẪN CHƯƠNG

Đây chính là bất đẳng thức Bernoulli quen biết.
Bất đẳng thức Bernoulli dạng (1.10) chỉ được sử dụng trong các trường hợp
đảm bảo chắc chắn rằng dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Trong những trường hợp, nếu dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cho
trước, ta cần chuyển đổi số 1 về số đã cho bằng 2 cách:
-Tịnh tiến
- Đồng dạng (tốt nhất với Bernoulli)


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Tiếp theo ta lại có nhận xét rằng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng sơ đẳng

có thể xem như bất đẳng thức tam thức bậc (2,1) (ứng với luỹ thừa 2 và luỹ
thừa 1 của ), trong trường hợp dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Khi đó, ta dễ dàng mở rộng một cách tự nhiên cho tam thức bậc
để có bất đẳng thức tương tự như (1.12) bằng cách
thay luỹ thừa 2 bởi số và luỹ thừa 1 bởi Ta có:

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
•

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG PHỨC

Nhận xét rằng từ một đẳng thức đã cho đối với bộ số thực ta đều có thể mở
rộng (theo nhiều cách thức khác nhau) thành một đẳng thức mới cho bộ số
phức. Chẳng hạn, ta có thể coi mọi số thực

đã cho như là phần thực của một

số phức
Ta nêu một số đồng nhất thức về sau cần sử dụng


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 1. Với mọi bộ số

ta luôn có đẳng thức sau


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 2. Với mọi bộ số phức

ta luôn có đẳng thức sau

Hệ thức (1.6) cho ta bất đẳng thức Cauchy sau đây đối với bộ số phức.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

DẪN CHƯƠNG
•

BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY DẠNG ĐẢO

Hệ quả 1. Với mọi bộ số phức

Giả sử ta có bộ các cặp số dương

ta luôn có bất đẳng thức sau

sao cho


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Khi đó, theo định lý đảo của tam thức bậc hai thì

hay

Từ đây suy ra


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Theo bất đẳng thức Cauchy, thì

Vậy nên

Từ đây, ta thu được bất đẳng thức đảo Cauchy.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG
•

CÁC PHƯƠNG PHÁP BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY

VD1: Xét 2 số nguyên dương x, y có tổng x + y = 9
Khi đó, tích (x.y) đạt max khi x = y = 9/2 (theo Cauchy).
Tuy nhiên x, y là nguyên dương  điều này không xảy ra.
Khái niệm dấu “=“ xảy ra khi hai số bằng nhau trong một số bài toán sẽ không
thực hiện được  Phương pháp BĐT Cauchy cho chúng ta các phương thức
đối mặt với một số bài toán thực tế.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

VD2: Xét bộ số x, y, z thoả mãn: xy + yz + zx = 1
Tìm min của x2 + y2 + z2 hay x4 + y4 + z4
Ta chỉ cần biến đổi thông qua x + y + z, xy + yz + zx, x.y.z  tường minh.
Tuy nhiên khi tìm min của x2 + 2y2 + 3z2  kỹ thuật thông thường bị đổ vỡ vì
lúc đó dấu “=“ không xảy ra tại vị trí x=y=z  phải lựa chọn các phương thức
đặc biệt  thêm bớt các hệ số.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy

DẪN CHƯƠNG

Độ gần đều và sắp thứ tự dãy cặp điểm
Từ bất đẳng thức

Ta suy ra với mọi cặp số không âm
đạt giá trị lớn nhất bằng

với tổng bằng 1 cho trước thì tích

khi

Tuy nhiên khi x, y biến đổi trong một miền và trong miền đó và x khác y thì
chúng chỉ đạt được vị thế ở vị trí x và y gần nhau nhất  khái niệm độ gần đều


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Xét các cặp số không âm

là độ lệch của cặp số

.Ta gọi hiệu

hay là độ gần đều của cặp số

Nếu ρ(x,y) = 0  x = y  cặp đều
Nếu x ≠ y  ρ(x,y) > 0  độ gần đều

Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Khi ta có một cặp số a, b dương có tổng bằng 9.
Ta có một loạt các bộ số: (1,8), (2,7), (3,6), (4,5) có tổng bằng 9.
Tất cả có chung một đặc trưng:
(x.y) ≤ (9/2)2
Nếu xem xét kỹ ta thấy các tích:
1.8 < 2.7 < 3.6 < 4.5
Vậy cặp số có tổng không đổi thì khi x và y càng gần đều nhau thì tích càng lớn
 ta được thứ tự sắp chặt của bộ số đó  tiến gần đến trường hợp đều.


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 1. Xét các cặp số không âm
(để đơn giản, ta chọn

Khi và chỉ khi cặp

). Khi đó

gần đều hơn cặp

với tổng không đổi


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 2. Xét các cặp số không âm
(để đơn giản, ta chọn

khi và chỉ khi cặp

). Khi đó

gần đều hơn cặp

với tích không đổi


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Định lý 3. (H. W. Melaughlin, F. T. Metcalf). Với mọi cặp dãy số dương
và

sao cho

ta đều có

đây chính là một dạng nội suy bất đẳng thức Cauchy trong [0,1].

hoặc


Chương 1: Bất đẳng thức Cauchy
DẪN CHƯƠNG

Kỹ thuật tách và ghép bộ số
Thông thường chúng ta xem xét BĐT Cauchy là BĐT của 2 bộ số. Tuy
nhiên trong thực tế, đa số 2 bộ số đó xuất phát từ 1 bộ số (1 bộ số cố định và
một bộ số thu được từ các biến đổi của bộ số cố định này).
Đây là một bài toán được dùng nhiều trong phân tích cấu trúc. Thực chất
của kỹ thuật tách ghép chính là cách sắp thứ tự và điều chỉnh bộ số theo quá
trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm.
Ứng dụng của chúng cho các bài toán tối ưu trong đời sống hàng ngày là khá
nhiều.