Môn bất đẳng thức và áp dụng Hamdondieu
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (372.59 KB, 21 trang )
Chương 2
Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
2.1. Hàm đơn điệu
Ký hiệu
là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp
hoặc
Khi hàm số
với mọi
thì
xác định trên tập
ta đều có
là một hàm đơn điệu tăng trên
với
và thoả mãn điều kiện
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp
thì
là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên
Ngược lại, khi
thì
là một hàm đơn điệu giảm trên
ta đều có
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu xảy ra
thì
là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên
Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên
được gọi là hàm đồng
biến trên
và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên
được gọi
là hàm nghịch biến trên tập đó.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.1. Cho hàm số
có đạo hàm trên khoảng
(i) Nếu
khoảng đó.
với mọi
thì hàm số
đồng biến trên
(ii) Nếu
khoảng đó.
với mọi
thì hàm số
nghịch biến trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.2. Hàm
xác định trên
và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương
đều có
là một hàm số đơn điệu tăng khi
và
ta
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.3. Để bất đẳng thức
được thoả mãn với mọi bộ số dương
điều kiện đủ là hàm
đơn điệu tăng trên
Chứng minh: Nhận xét rằng, ta có hàm số
dạng (2.1) với
hiển nhiên được thỏa mãn ứng với
và (2.2) sẽ có
là một hàm số đơn điệu tăng trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.1. Giả sử
là hàm đơn điệu tăng trong
Khi đó với mọi dãy số dương và giảm
Nhận xét rằng, (2.2’) không là điều kiện cần để
Thật vậy, chỉ cần chọn hàm
có tính chất
ta đều có
là một hàm đồng biến.
ta dễ dàng kiểm chứng rằng (2.2’) được thoả mãn. Chẳng hạn, hàm số
thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (2.2’). Tuy
nhiên, hàm
không là hàm đơn điệu tăng trên
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Nếu bổ sung thêm điều kiện:
và
thức thực sự:
là hàm đồng biến trên
là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng
Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.4. Hàm
xác định trên
và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương
đều có
là một hàm số đơn điệu giảm khi
và
ta
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.5. Để bất đẳng thức
được thoả mãn với mọi bộ số dương
đơn điệu giảm trên
điều kiện đủ là hàm
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Trong số các hàm số sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính
đóng vai trò quan trọng, vì nó dễ nhận biết về tính đồng biến (khi
và nghịch biến (khi
) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước.
Định lý 2.6. Giả thiết rằng, với mọi cặp bộ số dương
ta đều có
Thì
trong đó
là hằng số.
)
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.7. (Maclaurin, Cauchy) Giả thiết rằng
giảm trên
Khi đó, ta luôn có
Khi
là một hàm đơn điệu
là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.8. Giả thiết rằng
là một dãy tăng trong
Khi
là một hàm đơn điệu giảm trên
Khi đó, ta luôn có
là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự.
và
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.9. Giả thiết rằng
là một hàm đồng biến trên
Gọi
là hàm ngược của
Khi đó, ta luôn có
và
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.2. Giả thiết rằng
Gọi
là một hàm đồng biến trên
là hàm ngược của
Khi đó, ta luôn có
và
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.10. Cho hàm số
trên
với
có
liên tục, không âm và đơn điệu tăng
Khi đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ta
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.11.
Cho hàm số
đó, ta luôn có
Tương tự, với
liên tục và nghịch biến trên
liên tục và đồng biến trên
Khi
thì
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 2.3.
- Nếu
và
đều có
- Nếu
đều có
liên tục và nghịch biến trên
liên tục và đồng biến trên
thì
thì
ta
ta
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Định lý 2.12 [Bất đẳng thức thứ tự Chebyshev].
Giả sử
và
là hai hàm đơn điệu tăng và
điệu tăng:
Khi đó với mọi bộ trọng
ta đều có
:
là một dãy đơn
Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.1. HÀM ĐƠN ĐiỆU
•
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành
Mục 2.1 Chương 2
