Môn bất đẳng thức và áp dụng Hamtuadondieu 2

Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

2.2. Hàm tựa đơn điệu
Nhiều trường hợp ứng dụng về áp dụng lý thuyết hàm đồng
biến, nghịch biến không còn đúng
Ví dụ: hàm f(x) = sinx đồng biến trong khoảng (0, π / 2)
Xét các góc trong tam giác ABC
Nếu A< B thì Sin A < Sin B
Như vậy f(x) = sinx không đồng biến trong khoảng (0, π )
Nhưng bất đẳng thức
A ≤ B ⇔ sinA ≤ sin B
được thỏa mãn với mọi góc ABC


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

2.2. Hàm tựa đơn điệu
Giả sử hàm số
Khi đó, với mọi

xác định và đơn điệu tăng trên
ta đều có

và ngược lại, ta có

khi

là một hàm đơn điệu giảm trên


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất
yếu hơn, chẳng hạn như:

thì không nhất thiết

phải là một hàm đơn điệu tăng trên


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Ví dụ, với hàm số
Bài toán 2.1. Nếu

ta luôn có khẳng định sau đây.
là các góc của

thì

Như vậy, mặc dù hàm
không đồng biến trong
ta vẫn có bất đẳng thức (suy từ (2.7)), tương tự như đối với
hàm số đồng biến trong


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Định nghĩa 2.1. Hàm số
xác định trong
được gọi là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một
khoảng cho trước.


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Định nghĩa 2.2. Hàm số
xác định trong
được gọi là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Bài toán 2.2. Mọi hàm

tựa đồng biến trong

đều đồng biến trong khoảng


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Bài toán 2.3. Giả thiết rằng hàm
Khi đó hàm số

là hàm số tựa đồng biến trong

đồng biến trong khoảng


Chương 2: Hàm đơn điệu và tựa đơn điệu
2.2. HÀM TỰA ĐƠN ĐiỆU
•

BÀI GIẢNG

Định lý 2.13. Mọi hàm
thoả mãn các điều kiện:
(i)

xác định trong

đồng biến trong khoảng

(ii)
đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho.

và