Môn bất đẳng thức và áp dụng DL TBC TBN1

Chương 3
Bất đẳng thức giữa các
trung bình cộng và nhân


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
•

BÀI GIẢNG

Trong chương 3 liên quan đến:
- Chứng minh bất đẳng thức giữa trung bình cộng (TBC) và trung bình nhân
(TBN)
- Nêu ứng dụng của bất đẳng thức giữa TBC và TBN vào các bài toán cụ thể
- Xét các lớp bài toán đặc biệt trong đó khảo sát tính chất của đa thức và
phân thức chính quy cũng như các ứng dụng của nó trong việc tính toán các
bài toán cực trị cho các biểu thức có lũy thừa khác nhau


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
•

BÀI GIẢNG

Trong việc xây dựng bất đẳng thức giữa TBC và TBN yếu tố quan trong nhất
là thiết kế mô hình để chứng minh bất đẳng thức này
Theo đúng ngôn từ của Toán học
- TBC là trung bình số học
- TBN là trung bình hình học
⇒Đây chính là bất đẳng thức nêu lên mối quan hệ giữa TB số học và TB hình
học và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bộ số này là bộ số đều tức là tất cả

các số hạng của chúng bằng nhau và xem xét dưới hàm tuyển tập các số
không âm
Đây là định lý giữa TBC và TBN


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
•

BÀI GIẢNG

Gọi đây là bất đẳng thức Cauchy
Lý do thứ nhất:
- Phương pháp quy nạp của Cauchy là sự sáng tạo trong xây dựng quy nạp 2
chiều, quy nạp tiến và lùi: tiến 2 bước lùi 1 bước
=> Được phép quy nạp không theo kiểu thông thường để chứng minh bất
đẳng thức cho 3 số bằng cách chứng minh 2 bất đẳng thức đơn giản cho 2 số
và 4 số
Chọn: Số hạng thứ 4 bằng TBC của 3 số hạng đằng trước ta được bất
đẳng thức giữa TBC và TBN cho 3 số
Tương tự ta được bất đẳng thức giữa TBC và TBN cho m số một cách tùy ý.
Do Cauchy đề xuất vì vậy gọi là Bất đẳng thức Cauchy


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
•

BÀI GIẢNG

Đến nay một số sách của VN đã bắt đầu thay đổi và gọi theo đúng tên là định
lý giữa TBC và TBN hay bất đẳng thức giữa TB số học và TB hình học

Lý do thứ hai:
- Chương I ta đã gọi bất đẳng thức tam thức bậc 2 là bất đẳng thức
Cauchy - tên gọi chính thống của thế giới.
- Ta lại gọi bất đẳng thức này là BĐT Cauchy
⇒Tên gọi trùng nhau
Vì vậy một số nước ở Đông Âu và Liên Xô trước đây gọi là BĐT
Bunhiacoski nhưng thực chất BĐT Bunhiacoski là BĐT tích phân
Gọi đúng tên : Bất đẳng thức giữa Trung bình cộng và Trung bình nhân


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
•

BÀI GIẢNG

Phương pháp sử dụng quy nạp của Cauchy là phương pháp dễ trình bày
nhất và đối với học sinh thì dễ biến đổi nhất
Nhưng sáng tạo ra phương pháp chứng minh lại là vấn đề lớn
Nghĩ ra việc đặt

xn =
Để biến đổi bất đẳng thức cấp thứ n về bất đẳng thức thức cấp thứ n-1 là một
sự sáng tạo và không dễ dàng suy ra được
=> Không thể coi phương pháp chứng minh BĐT Cauchy là phương pháp sơ
cấp thông thường mà trong đây đã có ý tưởng sử dụng định lý trung bình
tổng quát của hàm số
Phương pháp này có giá trị lớn khi chứng minh quy nạp thông thường gặp
khó khăn

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Bài toán 3.1 [Bất đẳng thức Ky Fan]. Giả sử
dương trong

là các số

Khi đó

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Nếu chứng minh theo phương pháp quy nạp thông thường sẽ gặp nhiều khó
khăn nhưng sử dung phương pháp quy nạp của Cauchy thì BĐT Ky Fan cũng
như BĐT giữa TBC và TBN cũng 1 cách chứng minh và được kết quả tương
tự


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Còn sử dụng để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến trung bình đồng bậc
Bài toán 3.2. Giả sử

là các số không âm và

Khi đó:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Đây cũng là bất đẳng thức quan trọng có thể chứng minh được bằng phương
pháp quy nạp theo kiểu Cauchy nhưng cũng có thể chứng minh bằng phương
pháp quy nạp thông thường


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Bên cạnh bất đẳng thức giữa TBC và TBN hay BĐT giữa trung bình số học
và trung bình nhân ta còn có bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung
bình điều hòa.
Nếu nhìn nhận về mặt hình học ta có giữa trung bình hình học và trung bình
điều hòa cũng có bất đẳng thức liên quan.
a

Nếu xét bộ 3 số
P

Q

a < b có thể dựng hình thang
M
MN- Trung bình cộng
- Đường trung bình hình thang
- Đây là trung bình số học
PQ - Trung bình điều hòa

N

b


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Phương pháp tiếp theo là phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng
Đây là tư tưởng được sử dụng nhiều trong xét cấu trúc khi muốn mở rộng các
công thức quen biết
Chẳng hạn khi xem xét khai triển nhị thức Newtơn

Khi ta coi

thì ta thấy tích

như là tích của

thừa số:

có thể mở rộng thành

thì thấy rằng:


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Khi ta có

như nhị thức Newtơn thì

cũng có thể viết dưới dạng:

trong đó

- trung bình cộng,

- trung bình nhân của bộ số

Các hệ số khác là các trung bình đồng bậc tương ứng. Giữa TBC và TBN còn
một loạt các trung bình khác nữa, tên của chúng chưa gọi chính thức.

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Khi cho bộ số dương
liên quan giữa các

ta có thể sử dụng cách mô tả BĐT
bằng cách sử dụng định lý:

“Một đa thức có tất cả các nghiệm thực thì đạo hàm của chúng cũng có các
nghiệm đều thực”
Vì vậy khi một đa thức có các nghiệm đều thực, ta muốn 1 tam thức bậc 2
sinh bởi đa thức đó ở một khúc nào đó liên quan đến:
- 3 số đầu tiên ta chỉ cần đạo hàm cấp n-2 thì được tam thức bậc 2 có
nghiệm <=> ∆ ≥ 0 ta được so sánh giữa các hệ số với nhau
- 3 số cuối cùng ta chỉ cần đặt

ta được đa thức có hệ số cao nhất

sẽ chuyển về số tự do và vì vậy ta đạo hàm đến cấp n-2
- 3 số liền nhau ở khúc giữa ta đạo hàm tới 1 cấp bắt đầu xuất hiện số
đầu tiên rồi sau đó thay

ta đạo hàm tiếp theo bậc thứ 2

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Vì vậy ta có kết luận:

Từ đây ta có dãy bất đẳng thức rất nổi tiếng

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân là hệ quả của bất
đẳng thức trên