Môn bất đẳng thức và áp dụng DL TBC TBN2

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.3. Quy nạp kiểu Ehlers
Tiếp theo, xét loại quy nạp đặc biệt, thường được sử dụng là quy nạp theo
kiểu chuẩn hóa.
Bình thường có thể chứng minh BĐT giữa TBC và TBN theo quy nạp bằng
cách thông thường nhưng sẽ gặp khó khăn.
Vì vậy theo cách chuẩn hóa, không mất tính tổng quát ta xét bộ số dương
mà
Ta sẽ chứng minh
Và việc thêm 1 số hạng nữa vẫn đảm bảo


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Vì vậy, tích =1 đó sẽ cho ta ít nhất trong bộ đó 2 số
Như vậy có tính chất
Và ta so sánh được

Từ đó áp dụng quy nạp bình thường.
Vậy bằng cách chuẩn hóa tích này ta có thể thực hiện chứng minh bất đẳng

thức giữa TBC và TBN theo quy nạp thông thường mà không cần sự viện trợ
của quy nạp của Cauchy


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.4. Đồng nhất thức Hurwitz
Đồng nhất thức này xuất phát từ cấu trúc biến đổi các đơn thức và đa thức.
Thực chất là biến đổi hàm nhưng lớp hàm ta đang xét là lớp hàm đặc biệt.
Nếu ta sử dụng các ký hiệu thông thường của toán học thì ta có thể coi như có
hàm số

biến thực

Ký hiệu P áp lên hàm số đó
đối số
Ví dụ

xoay hết 1 vòng

là tất cả

hoán vị của các

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Với cách viết như vậy ta dễ dàng viết biểu thức

ứng với các đa thức đặc

biệt

Nhận xét rằng khi các
thức

đều không âm thì các biểu
cũng nhận giá trị không âm.


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Vì vậy có thể biến đổi

luôn luôn là một số không âm khi các

Vì vậy tổng các

ta thu được

Vế trái chính là

Nhìn góc độ biến đổi thì rất sơ cấp nhưng tư tưởng của đồng nhất thức
Hurwitz là thực sự cao cấp


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.5. Đẳng thức (phương trình) hàm
Đây là phương pháp mô tả quan hệ về hàm số khi ta chuẩn hoá điều kiện
tổng
Nghĩa là coi a như phần tử cố định, tuỳ ý và
Như vậy ta có thể coi biểu thức

Và xem xét khi nào thì tích
Và bằng cách đó sẽ tính ra được

là lớn nhất.


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân

3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Từ đó ta xây dựng hệ thức hàm của biểu thức này
Thực hiện đổi biến ta suy ra được
Từ đây suy ra

Từ hệ thức
minh.

ta thu được

chính là điều phải chứng

Vậy ta thu được định lý giữa TBC và TBN một cách rất đơn giản


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.6. Đồng nhất thức Jacobsthal
Đây là đồng nhất thức cũng trên tư tưởng có thể biểu diễn thông qua hệ thức
quen biết là hằng đẳng thức đáng nhớ

Sử dụng kiến thức của hằng đẳng thức đáng nhớ

Thì ta có thể viết

Từ đó có bất đẳng thức Becluni


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Khi đó ta gọi

là trung bình cộng,

là trung bình nhân của bộ số

thì chúng ta sử dụng đồng nhất thức ở trên thu được hệ thức

Đồng nhất thức này sẽ cho ta hệ thức xuất phát từ bất đẳng thức đã nêu


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Thế vào ta thấy rằng

Hệ quả được
Đây là phưong pháp hay không những chứng minh
được chênh lệch giữa

mà còn đo

với

So sánh độ chênh lệch này được tính toán thông qua hệ số. Đó là phân thức
giữa

và

. Ước lược của

lớn dần và tiến đến 1 khi
Định lý giữa trung bình cộng và nhân như là hệ quả của nó.

ngày càng


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.7. Cực trị của hàm số
Khi sử dụng cực trị của hàm số thông thường sẽ rất khó khăn nhưng khi ta
xem xét bộ số

Với mỗi

cố định, ta có thể xem

hàm số theo t. Khi t biến thiên ta khảo sát hàm số này như hàm đồng biến trên
bộ số

cho trước.

Như vậy ta có thể tính toán đạo hàm của hàm số này
Ta thấy
Và phương trình

có nghiệm duy nhất đạt được tại


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Vì vậy giá trị tại điểm

chính là giá trị nhỏ nhất của hàm

Từ đó ta được

Đây chính là bất đẳng thức cần tìm. Như vậy chúng ta cũng dẫn về bất đẳng
thức quen biết đó là so sánh được hiệu

với

Và như vậy chúng ta chứng minh được bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân tăng dần theo các bộ số


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.8. Hàm exponent
Trong cấu trúc tất cả các hàm đang xét thì nếu sử dụng giải tích có thể coi mẫu
hàm luỹ thừa
Đặc thù của

là mẫu hàm đơn giản nhất.
đó là tính chất quan trọng là đạo hàm mọi cấp đều vẫn giữ

nguyên

Chính vì vậy ta có thể dừng khai triển
Dừng ở cấp 1 thì ta sẽ có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

ở chuỗi Taylor ở bất cứ 1 điểm nào


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Khi ta có

thì ta sẽ có ngay

Từ đó ta thay giá trị

là trung bình cộng

Thì ta sẽ có các bất đẳng thức tương ứng


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Tổ hợp vào ta được tích

Từ đó ta được bất đẳng thức cần tìm.
Đây là phương pháp sơ cấp, bằng các phép biến đổi thông thường, lợi dụng
vào tính chất đạo hàm của hàm
tính toán được

luôn luôn không đổi ta có thể


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

3.1.9. Hoán vị bộ số
Việc hoán vị này là một kỹ thuật đặc biệt. Có thể dễ dàng chứng minh được
bất đẳng thức giữa TBC và TBN:
Nếu

và

,

thì thấy rằng

Vì vậy dễ dàng suy ra được
Nếu như

là một hoán vị nào đó của bộ

và ngược lại
Như vậy, không mất tính tổng quát, ta coi
Khi đó
Vì vậy:


Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN

•

BÀI GIẢNG

Tiếp theo, ta xem xét
trung bình nhân của bộ số
Ta đặt
Thì, theo nhận xét ở trên ta có ngay

Ở đây phương pháp đơn giản bằng cách sử dụng tính chất hoán vị của bộ số
chúng ta đã chứng minh được bất đẳng thức giữa TBC và TBN cho bộ số
dương tuỳ ý