Môn bất đẳng thức và áp dụng HPTCQ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (325.61 KB, 15 trang )
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
3.3. Hàm phân thức chính quy
Định nghĩa 3.3. Hàm số
chính quy, nếu
trong đó
xác định trên tập
được gọi là hàm phân thức
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.11. Dễ dàng kiểm chứng các hàm số sau đây là phân thức chính quy:
Tính chất 3.3. Nếu
là các hàm phân thức chính quy, thì
ứng
với mọi
Tính chất 3.4. Nếu
mọi cặp số dương
và
hàm số
cũng là hàm phân thức chính quy.
là các hàm phân thức chính quy, thì với
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Tính chất 3.5. Nếu
và
là các hàm phân thức chính quy, thì hàm số
cũng là hàm phân thức chính quy.
Tính chất 3.6. Nếu
là các hàm phân thức chính quy, thì hàm số
cũng là hàm phân thức chính quy.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.4. Hàm số
quy trên tập
nếu
trong đó
được gọi là hàm phân thức chính
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.5. Giả sử hàm số
quy, tức
là hàm phân thức chính
thoả mãn điều kiện (3.18) – (3.19). Khi đó các
hàm số
được gọi là các phân thức thành phần biến
của
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.12. Dễ dàng kiểm chứng hàm số sau đây là phân thức chính quy:
và các hàm số
là các phân thức thành phần của
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Ví dụ 3.13. Dễ dàng kiểm chứng hàm số sau đây là phân thức chính quy:
và các hàm số
là các phân thức thành phần của
Từ định nghĩa, ta dễ dàng chứng minh:
Định nghĩa 3.4. Hàm số
là hàm phân thức chính quy
khi và chỉ khi các hàm phân thức thành phần của
các hàm phân thức chính quy.
cũng là
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Định lý 3.5. Với mỗi hàm phân thức
chính quy trên tập
dạng
trong đó
ta đều có
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Chứng minh. Để chứng minh định lý, ta nhắc lại hệ quả của bất đẳng thức AG
suy rộng:
Với cặp số dương
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ta đều có
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Sử dụng kết quả này ta thu được
do giả thiết
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 3.4. Với mỗi hàm phân thức chính quy
ta đều có
Nhận xét 3.4. Với mọi hàm phân thức dạng
Đặt
thì hàm số
là một hàm phân thức chính quy
trên tập
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Chứng minh. Thật vậy, ta có
và vì vậy
điều phải chứng minh.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Định lý 3.6. Mọi hàm phân thức dạng
đều có tính chất
trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Chứng minh. Thật vậy, theo nhận xét ở trên, ta có
là một phân thức chính quy, nên theo định lý 3.5, thì
Mà
nên ta có ngay điều phải chứng minh.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.3. HÀM PHÂN THỨC CHÍNH QUY
•
BÀI GIẢNG
Bạn đã hoàn thành
Mục 3.3 Chương 3
