Môn bất đẳng thức và áp dụng MSDTDXSC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (335.66 KB, 16 trang )
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
3.1.2. Một số dạng đa thức đối xứng sơ cấp
Đa thức
với bộ biến số thực
được hiểu là hàm số (biểu thức) có dạng
trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Công thức khai triển nhị thức Newton:
Nếu ta coi
thì khi đó tích
như là tích của
thừa số:
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
cũng có thể viết dưới dạng:
trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Vậy nên, nếu các số
đều dương (hoặc không âm và không
đồng thời bằng 0) thì không mất tính tổng quát, các số
đều là số dương (không âm). Từ (3.6) , thu được
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.1.
Cho
trong đó
là bộ
số dương
Khi đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Đặt
Ta gọi
đối xứng sơ cấp thứ
của bộ số
Ký hiệu:
).
là các hàm (đa thức)
là tổng của tất cả các tích số khác nhau
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Định nghĩa 3.2. Giả sử
hiệu bởi
) và
ký hiệu bởi
).
Hai dãy
và
là bộ các số thực không âm (ký
là bộ các số thực không âm khác (được
gọi là đồng dạng (
sao cho
) nếu tồn tại
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Bài toán 3.3. Cho
Chứng minh:
là bộ
các số thực dương. Đặt
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Chứng minh. Giả sử
là tổng tất cả các tích
Vì tất cả các
và
số khác nhau,
và
không phải
là nghiệm của phương trình
và
tương ứng, nên
và
không phải là nghiệm bội trong các phương trình
nhận từ đạo hàm của nó.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Từ đó ta có thể kết luận các số
dương, tức là phương trình
nhận được từ
bằng cách lấy vi phân liên tiếp theo
Do phương trình này có nghiệm thực nên
và
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Bài toán 3.4. Chứng minh bất đẳng thức
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Chứng minh: Từ bất đẳng thức trong Bài toán 3 ta có
Suy ra
hay
Từ đây, ta có ngay điều phải chứng minh.
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Bài toán 3.5. Cho các số
bằng nhau. Chứng minh bất đẳng thức
và không đồng thời
Chứng minh. Theo bất đẳng thức trong Bài toán 1, ta có
Suy ra
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Nhận xét 3.1. Ta dễ dàng chứng minh
quy nạp.
Thật vậy, giả sử bất đẳng thức đúng với
và đặt
là các
không đồng thời bằng nhau.
Khi đó:
Từ đó suy ra:
tạo bởi
bằng phương pháp
số dương
số ấy và giả sử tất cả các số đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
trong đó
Vì các
không đồng thời bằng nhau nên theo giả thiết ta có
Điều này vẫn đúng khi
Khi đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 3.2.
trong đó
Đặc biệt,
trung bình nhân.
chính là bất đẳng thức giữa giá trị trung bình cộng và
