Môn bất đẳng thức và áp dụng QNC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (194.08 KB, 9 trang )
Chương 3
Bất đẳng thức giữa các
trung bình cộng và nhân
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
3.1. Định lý về các giá trị trung bình cộng và nhân
Định lý 3.1. Giả sử
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
là các số không âm. Khi đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Hệ quả 3.1 [Bất đẳng thức GH ]. Với mọi bộ số dương
đều có
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
ta
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
3.1.1. Quy nạp kiểu Cauchy
Từ hệ thức bậc hai
ta suy ra
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Thay
lần lượt bằng các biến mới
và
từ (3.3)
ta nhận được
Bất đẳng thức (3.1) đúng với
và nói chung, đúng với
luỹ thừa của 2. Đây chính là quy nạp theo hướng lên trên.
là
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Thực hiện quy trình quy nạp theo hướng xuống phía dưới.
Khi bất đẳng thức (3.1) đúng với
thì cũng đúng với
Thay
trong (3.1) bởi
và giữ nguyên các biến
khác, từ (3.1) ta thu được
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
hay:
Rút gọn biểu thức trên, thu được:
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Bài toán 3.1 [Bất đẳng thức Ky Fan]. Giả sử
dương trong
Khi đó
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
là các số
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.1. ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN
•
BÀI GIẢNG
Bài toán 3.2. Giả sử
Khi đó:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
là các số không âm và
