ON TAP LUONG GIAC LOP 10 NC

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

Chương VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Góc và cung lượng giác.
1
* Cung tròn có số đo bằng
số đo của đường tròn gọi là 1 độ và kí hiệu : 10 . Cung tròn có độ dài bằng
360
bán kính gọilà cung có số đo 1 radian, gọi tắt là cung 1 radian.
* Góc lượng giác là góc được gắn với đường tròn lượng giác có nghĩa là có chiều dương, chiều âm và độ lớn
tùy ý. Hai góc lương giác có chung tia đầu và tia cuối có dạng α và α + k 2π .
* Cho đường tròn lương giác gốc A, góc α có tia cuối là OM. Khi đó tung độ của M gọi là sin α , hòanh độ
sin α
cos α
của M gọi là cos α , tỉ số
gọi là tang α , kí hiệu : tan α , tỉ số
gọi là côtang α , kí hiệu : cot α
cos α
sin α
Ta có : − 1 ≤ sin α , cos α ≤ 1 ; cos(α + k 2π ) = cos α ; sin(α + k 2π ) = sin α
1
1
; ...1 + cot 2 α =
2
cos α
sin 2 α
2. Giá trị lượng giác của những góc có liên quan đặc biệt.
* Hai góc đối nhau thì có cosin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau.
* Hai góc bù nhau thì có sin bằng nhau còn các giá trị khác đối nhau.
* Hai góc hơn kém nhau π thì có sin và cosin đối nhau còn các giá trị khác bằng nhau.

* Hai góc phụ nhau thì có cosin góc này bằng sin góc kia, tan góc này bằng cot góc kia.
3. Công thức lương giác.
* Công thức cộng.
sin 2 α + cos 2 α = 1; ... tan α .cot α = 1;...1 + tan 2 α =

cos(α ± β ) = cos α cos β sin α sin β
sin(α ± β ) = sin α cos β ± sin β cos α
tan α ± tan β
tan(α ± β ) =
1 tan α tan β
* Công thức nhân đôi.

* cos 2α = cos α − sin α = 1 − 2 sin α = 2 cos α − 1
* sin 2α = 2sin α cos α
* Công thức hạ bậc.
1 + cos 2α
1 − cos 2α
cos 2 α =
; sin 2 α =
2
2
*Công thức biến đổi tổng thành tích.
2

2

2

2

*

tan 2α =

1
[ cos(α − β ) + cos(α + β )]
2
1
sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
sin α cos β = [ sin(α − β ) + sin(α + β )]
2
*Công thức biến đổi tổng thành tích.
cos α cos β =

x+ y
x− y
x+ y
x− y
cos
; cos x − cos y = −2 sin
sin
2
2
2
2
x+ y
x− y
x+ y

x− y
sin x + sin y = 2 sin
cos
; sin x − sin y = 2 cos
sin
2
2
2
2
cos x + cos y = 2 cos

GV HOA HOÀNG TUYÊN

1

2 tan α
1 − tan 2 α


CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

B. BÀI TẬP.
LOẠI 1 : Tính giá trị lượng giác 1 cung

3
π
; và < α < π .Cho Tính cosα, tanα, cotα.
5
2
3π

b) Cho tanα = 2 và π < α <
Tính sinα, cosα.
2
12
π
2.
a) Cho cosα = − ; và < α < π . Tính sin 2α , cos 2α , tan 2α , cot 2α
13
2
π
b) Cho cotα = 2 và 0 < α < . Tính sin 2α , cos 2α , tan 2α , cot 2α .
4
1
c) Cho sin α − cos α = . Tính sin 2α , cos 2α .
5
π
5
α
α
α
α
3.
a) Cho sinα = − ; và < α < π . Tính sin , cos , tan , cot .
9
2
2
2
2
2
5

3π
α
α
α
α
< α < 2π . Tính sin , cos , tan , cot .
b) Cho cos α =
và
13
2
2
2
2
2
4
π
4. Cho sinα = ; và 0 < α < .Cho Tính cosα, tanα, cotα
5
2
LOẠI 2: Chứng minh hằng đẳng thức
5. Chứng minh rằng:
a ) ( 1 + cot α ) sin 3 α + ( 1 + tan α ) cos3 α = sin α + cos α

1.

a) Cho sinα =

sin 2 α + 2 cos 2 α − 1
b)
= sin 2 α

2
cot α

sin 2 α − tan 2 α
c)
= tan 6 α
2
2
cos α − cot α

d ) ( cot α + tan α ) − ( cot α − tan α ) = 4
2

2

e) cos 4α − sin 4α = 1 − 2sin 2α

sin α − cos α tan α − 1
sin 3 α + cos 3 α
f)
=
g)
= 1 − sin α cos α
1 + 2sin α cos α tan α + 1
sin α + cos α
4sin 2 α
α
1 + cos α − sin α
α
sin 2α + sin α

h)
= 16 cos 2
k)
= − cot .....l )
= tan α
2
1
−
cos
α
−
sin
α
2
1
+
cos
2
α
+
cos
α
2 α
1 − cos
2
6.Chứng minh rằng:
2

2

1− cos x + cos2x
a)
= cotx
sin2x −sinx
c)

b)

x
2

= tan

x
2

x
2
sin(x − y)
d)tanx − tan y =
cos x.cos y
1+ cos x + cox

π

2cos2x −sin4x
= tan2  − x÷
2cos2x +sin4x
4


7. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
a) sin 3 x + cos3 x = (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx)

sinx +sin

b) sin 3 x - cos3 x = (sinx - cosx)(1 + sinx.cosx)

c) cos 4 x + sin 4 x = 1 - 2 sin 2 x.cos 2 x
d) (1 - sinx)(1 + sinx) = sin 2 x.cot 2 x
sin x.cotx
1
2
2
=1
− cos 2 x
e)
f) sin x + tan x =
2
cosx
cos x
8. Chứng minh đẳng thức lượng giác sau:
2
a. ( sin a − cos a ) = cos 2 a ( 1 − tan a ) + sin 2 a ( 1 − cot a )
b. tan 2 a − sin 2 a = tan 2 a.sin 2 a

GV HOA HOÀNG TUYÊN

2

CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

c.

sin 2 α − cos 2 α tan α − 1
=
1 + 2 sin α .cos α tan α + 1
4
4
6
6
f. 3 ( cos a + sin a ) − 2 ( cos a + sin a ) = 1

sin 3 α + cos3 α
= 1 − sin α .cos α
sin α + cos α

d.

e. sin 4 a + cos 4 a − sin 6 a − cos 6 a = sin 2 a.cos 2 a
g.

sin a
1 + cos a
2
+
=
1 + cos a
sin a

sin a

h.

1 + cosa
1 − cos a
π

−
= 2cot a  0 < a < ÷
1 − cos a
1 + cosa
2


9. Chứng minh rằng:
π

π
 1
a ) cos α cos  − α ÷cos  + x ÷ = cos 3α
b) Sin5α − 2sin α ( cos 4α + cos 2α ) = sin α
3

3
 4
sin α + sin 3α + sin 5α
3 − 4 cos 2α + cos 4α
c)
= tan 3α .............................d )

= tan 4 α
cos α + cos 3α + cos 5α
3 + 4 cos 2α + cos 4α
LOẠI 3: Rút gọn một biểu thức
10:Rút gọn các biểu thức:
cos2a-cos4a
sin 4 a +sin 2a
π

π

sin  −a ÷+cos  −a ÷
4
4




c )C =
π

π

sin  −a ÷−cos  −a ÷
4

4

a) A =

b) B =

2 sin 2 a −sin 4a
2 sin 2a +sin 4a

d) D =

sin a −sin 3a
2cos4a

1 + sin a 1 − sin a
1 − 2sin 2 a
2
2
2
−
f/ B =
.g/ M = ( 1 − sin a ) cot a + 1 − cot a
1 − sin a 1 + sin a
sin a − cos a
2
2 cos a − 1
3
3
h/ N =
i/ K = sin 2 a ( 1 + cot a ) + cos 2 a ( 1 + tan a )
j/ P = ( 1 + cot a ) sin a + ( 1 + tan a ) cos a
sin a + cos a
2
sin 2 a + 2 cos 2 a − 1

sin 2 a − tan 2 a
sin a + cos a ) − 1
(
k/ Q =
l /E =
m/ F =
cot 2 a
cos 2 a − cot 2 a
cot a − sin a.cos a
LOẠI 4: Tính giá trị một biểu thức
cot a − 2 tan a
3
sin a − 3cos a
12/tính E =
biết sin a = và 900 < a < 1800
13.Tính F =
biết tan a = −3
tan a + 3cot a
5
cos a + 2sin a
2sin a − 3cos a
2 cos 2 a + sin a.cos a − sin 2 a
14.Tính G =
biết cot a = 2
15.Tính B =
biết tan a = 2
2
2
sin a + cos a
sin a + 3cos a − 4

3cos 2 a + 2sin 2 a − 1
16.Tính P =
biết tan a = −3
sin 2 a − 3cos 2 a + 5
LOẠI 5: Chứng minh một biểu thức cho không phụ thuộc x
17. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x:
A = −3 ( cos 4 x + sin 4 x ) + 2 ( cos 6 x + sin 6 x )
B = 3 ( sin 8 x − cos8 x ) + 4 ( cos 6 x − 2sin 6 x ) + 6sin 4 x

e/ A =

C = 2 ( cos 4 x + sin 4 x + sin 2 a.cos 2 a ) − ( sin 8 x + cos8 x )
2

D = 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) − cos4 x

cos3 x + sin 3 x
+ sin x.cos x
sin x + cos x
LOẠI 6:Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn LG
18 Biểu diễn các cung sau trên đường tròn LG
5π
10π
a. b. 225 0
c. -765 0
d.
4
3
LOẠI 7:Bài toán trong tam giác
19 Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:

E=

GV HOA HOÀNG TUYÊN

3


CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

C
A
B
C
 A+ B 
a )sin ( A + B ) = sin C b) sin 
c) cos A + cos B + cos C = 1 + 4sin .sin .sin
÷ = cos
2
2
2
2
 2 
d) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4 cos A.cos B.cos C
Loại 7: CUNG ( GÓC) CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

A + B = π − C (bù)

A+ B π C
= − (phụ)
2

2 2
A+ B
C
sin
= cos
2
2
A+ B
C
tan
= cot
2
2

sin ( A + B ) = sin C

cos ( A + B ) = −cosC

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)

20.Chứng minh rằng:
tan100.tan 20 0...tan 700.tan 80 0 = 1
cos200 + cos400...cos1600 + cos1800 = −1
tan 500 + tan 750 = tan 230 0 + tan 2550

cos200 + cos400 = sin1100 + sin1300
sin 250 + sin 650 = sin1550 + sin1150
sin 750 + sin 650 + cos1650 + cos2050 = 0
sin1680 − sin1920
cot120 = 2
0
sin 78
21. Tính giá trị biểu thức :

8) A =
9) B =

sin(−2340 ) − cos216 0
tan 360
0
0
sin144 − cos126
( cot 440 + tan 2260 ) cos4060
cos316

0

− cot17 0 .cot730

10) C = cot 5 cot100...cot 800.cot 850
11) D = cos100 + cos 200 + cos 300 + cos1900 + cos 2000 + cos 2100
9π
6π
11π
cos

− cos
+ cos
5
5
5 tan 16π
12) E =
3π
6π
5
cos
− sin
10
5
22.Đơn giản biểu thức sau :
π

 3π

−α ÷
13) F = sin ( π + α ) − cos  − α ÷+ cot ( 2π − α ) + tan 
2
2




 3π

π


 3π

+ α ÷− tan  + α ÷.cot 
−α ÷
14) G = cos ( α − 5π ) + sin  −
 2

2

 2

3π 

15) H = cot ( α − 2π ) .cos  α −
÷+ cos ( α − 6π ) − 2sin ( α − π )
2 

0

GV HOA HOÀNG TUYÊN

4