5 đề HSG toán 9 cấp huyện

Đề thi HSG huyện Lộc Hà năm học 2011 - 2012
Môn toán 9
Thời gian làm bài 150 phút
Câu 1: Tính: a) 3 2 2 6 4 2

c)

3



3 1 1

Câu 2: Cho biểu thức A

3

b) 6 2 5 13 4 3

;

3 1 1

1

2 2
2 2
1
3
3

1

2 2
2 2
1
3
3

d)

x2 2
x4 ( 3 2)x2 6

a) Rút gọn A
b) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
Câu 3: Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì:
a) a3 + b3 + c3 = 3abc
b) (a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4).
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10cm. Tam giác DEF
vuông cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc
AC). Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất.
Câu 5: Cho đtròn tâm O và một điểm M. Hãy dựng qua M hai dây vuông
góc với nhau sao cho tổng độ dài của chúng lớn nhất.
Câu 6: Chứng minh rằng tích của 8 số nguyên dương liên tiếp không thể
bằng lũy thừa bậc 4 của một số nguyên.


Đề thi HSG Lc H năm học 2009-2010
Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1 Tính

a ) x 4 5 3 5 48 10 7 4 3
b) y

2
3



2
2
5
1


3
3 12
6

Câu 2 Cho biểu thức:
A

1
x 1 x



1
x 1 x

x3 x
x 1

a) Tìm ĐK đối với x để A xác định
b) Rút gọn A
c) Tìm giá trị của x để A= 4
d) Chứng minh rằng nếu x nhận giá trị dạng x= m2 +1 với m nguyên thì
A nhận giá trị nguyên
Câu 3 Cho hình vuông ABCD, O là giao diểm hai đường chéo AC và BD.
Gọi M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD. Chứng minh rằng 4
điểm A, m, n, d cùng thuộc một đường tròn và so sánh AN với ND
Câu 4 Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC=17cm, BC = 21 cm. Điểm O
nằm bên trong tam giác cách BC là 2 cm, cách AC là 4 cm. Tính khoảng
cách từ O đến AB.
Câu 5 CMR a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau từng đôi một thì
1
1
1


là một số hữu tỉ
2
2
( a b)
(b c)
(c a ) 2


ĐỀ THI HSG HUYỆN LỘC HÀ NĂM HỌC 2012 – 2013

MÔN TOÁN 9
THỜI GIAN LÀM BÀI 150 PHÚT

Câu 1: a) Phân tích thành nhân tử (x+y+z)3 – x3 – y3 – z3
b) Chứng minh (a+b+c)3 – (a+b-c)3 – (b+c-a)3 – (c+a-b)3 chia hết cho
24 với mọi a, b, c thuộc Z.
Câu 2: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

x2  2

x 4  ( 3  2 )x 2  6
4x  3
b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2
x 1

Câu 3: Tính giá trị của f(x) = x3 – 6x với x = 3 20  14 2  3 20  14 2
Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, lấy điểm M tùy ý trên
đường chéo AC, kẽ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với BC. Xác định
vị trí của điểm M trên đường chéo AC để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất,
tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn 300, cạnh nhỏ nhất bằng 1, vẽ
đường cao CD từ đỉnh góc vuông C. Gọi M, N lần lượt là giao điểm các
phân giác trong của tam giác ACD, BCD. Tính khoảng cách MN.


ĐỀ HSG HUYỆN LỘC HÀ NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn: Toán 9.
Thời gian làm bài 150 phút
Bài 1: (4đ)
a) Cho x 

4 4  5  21  80
10  2

. Tính P = (x3 – 4x + 1)2013.

b) Tìm giá trị của biểu thức Q = a2013 + b2013 + c2013. Trong đó a, b, c là
1
1 1 1
   
các số thực khác 0 thỏa mãn:  a b c a  b  c
a 3  b 3  c 3  2 9


Bài 2: (6đ)
3
a) Tìm tất cả các số có 5 chữ số abcde sao cho abcde  ab
b) Giải phương trình: 2 2 x  4  4 2  x  9 x 2  16
c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 4 y 2  2  199  x 2  2 x
Bài 3: (3đ)
Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức:

1 2 3
  6
x y z

Xét biểu thức P = x + y2 + z3
a) Chứng minh rằng: P  x + 2y + 3z – 3
b) Tìm GTNN của P.
Bài 4: (4đ)

Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên cạng BC. Đường thẳng AM
cắt đường thẳng CD tại P. Đường thẳng EF vuông góc với AM và trong đó
E, F tương ứng nằm trên AB và CD. Đường phân giác góc DAM cắt CD tại
K. Chứng minh rằng:
a) EF = BM + DK
b)

1
1
1


.
2
2
AB
AM
AP 2

Bài 5: (3đ)
Cho tam giác ABC, gọi O là một điểm bất kỳ nằm trong tam giác. Các
đường thẳng AO, BO, CO lần lượt cắt các cạnh BC. CA, AB tại D, E, F.
a) Chứng minh rằng:

OA OB OC


2
AD BE CF

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

OA
OB
OC


OD
OE
OF

./.


ĐỀ THI HSG HUYỆN LỘC HÀ
Môn: Toán 9
Thời gian làm bài: 150 phút
1
x
.
2
x 2x  x 1
4x  4 

Câu 1: Cho biểu thức: M 

Tính M khi x = ( 10  6 ) 4  15 .
Câu 2: Giải các phương trình:
a) x  4  6  x  x 2  10 x  27
b) 4 x  1  4 x 2  1  1 .

Câu 3: Cho y  6  15 x   5 x 2  7 x  2  5 x
a) Tìm điều kiện của x để y có nghĩa.
b) Tìm x khi y  2 .
Câu 4: Chứng minh rằng: Trong một tam giác, các đường phân giác trong tỉ
lệ nghich với hình chiếu của cạnh đối diện trên đường phân giác ngoài tương
ứng.
Câu 5: Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC có đường cao AH = 6 cm,
biết rằng đường cao AH chia góc A theo tỉ số 1:2 và chia cạnh BC thành 2
đoạn mà đoạn nhỏ bằng 3 cm.