HSG toan 9- cap huyen

Së GD&§T thanh hãa Kú thi chän häc sinh giái cÊp hun
Phßng GD&§T lang ch¸nh N¨m häc 2010-2011
M«n : to¸n 9 --- Thêi gian lµm bµi 150'
I.Ma trËn ®Ị
Møc ®é
Chđ ®Ị
NhËn biÕt Th«ng hiĨu VËn dơng
Tỉng
tnkq tl tnkq tl tnkq tl
Ph©n thøc ®¹i sè
1
3
1
3
C¨n bËc hai.
1
1
4
5,75
5
6,75
H»ng ®¼ng thøc
2
2,5
1
0,75
3
3,25
§êng trßn
3
7

3
7
Tỉng
4
6,5
8
13,5
12
20
II.§Ị bµi
Bµi 1: (3 ®iĨm) Ph©n tÝch thµnh nh©n tư
a)
3
4
−
x
b)
1
−+−
xyxxy
c)
( )( )( )( )
356321
++++−
xxxx
Bµi 2: ( 4®iĨm) Cho biểu thức :
Q =
x
x
x

x
xx
x 1
.
1
2
12
2
+








−
−
−
++
+
với x > 0 và x
≠
1
a) Rót gän Q
b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trò là số nguyên
Bµi 3: (3 ®iĨm)
a) TÝnh nhanh :
20112010

12010
2
3
+
−
=
A
b) Chøng minh r»ng:
12
1000
−
chia hÕt cho 3
c) Gi¶i ph¬ng tr×nh :
2
1
32
=
−
−
x
x
Bài 4: (7 điểm) Từ điểm M ở ngoài đờng tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB với (O).
Vẽ đờng kính AC, tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O) cắt AB ở D. Giao của MO và AB là
I. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác OIDC nội tiếp.
b) Tích AB.AD không đổi, khi M di chuyển.
c) OD vuông góc với MC.
Bài 5: (3 điểm) Cho

==
=++
=++
c
z
b
y
a
x
cba
cba
1
1
222
Chứng minh rằng:
0
=++
xzyzxy
III. Đáp án và biểu điểm chấm
Câu Nội dung Điểm
1 3
a)
3
4

x
=
( )
( ) ( )( )
333
22
2
2
2
+=
xxx
0,75
b)
1
+
xyxxy
=
( ) ( ) ( )( )
1.111.
+=+
yxxxxyx
0,75
c)
( )( )( )( )
356321
++++
xxxx
=
( )( )
356565

22
++++
xxxx
Đặt t =
xx 5
2
+

( )( )
3566
++
tt
=
( )( )
111
2
+=
ttt
Thay t =
xx 5
2
+

( )( )
1515
22
+++
xxxx
1,5
2 4

a) Q =
x
x
xx
x
x
x 1
.
)1)(1(
2
)1(
2
2
+






+


+
+

=
xx
x
x

x 1
.
1
2
1
2









+
+

=
xxx
xx
xx
xx 1
.
)1)(1(
)1)(2(
)1)(1(
)1)(2(

+
+

+
+

=
)1)(1(
)22()22(
+
++
xxx
xxxxxx

=
)1(
2222

+++
xx
xxxxxx
=
1
2
)1(
2

=

x
xx
x
0,5
0,5
0,5
0,5
b) Q =
1
2
−
x
nguyên
⇔
x -1 là ước của 2
⇔




±=−
±=−
21
11
x
x
Do đó x lớn nhất

⇔
x – 1 = 2
⇔

x = 3
2
3 3
a)
20112010
12010
2
3
+
−
=
A
=
( )
( )
200912010
120102010
12010201012010
2
2
=−=
++
++−
1
b) Ta cã
12

1000
−
=
1414
500
−−

hay
12
1000
−
3
1
c) §iỊu kiƯn x¸c ®Þnh cđa ph¬ng tr×nh lµ:




>−
≥−
01
032
x
x
⇔



>
≥

1
5,1
x
x
5,1
≥⇔
x

2
1
32
=
−
−
x
x
4
1
32
=
−
−
⇔
x
x
( )
1432
−=−⇔
xx
5,0

12
=⇔
=⇔
x
x
kh«ng tháa m·n ®iỊu kiƯn
5,1
≥
x
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiƯm
1
0,25
0,25
0,25
0,25
4
7
- H×nh vÏ ®óng
B
H
C
I
O
D
M
A
0,5
a) DC lµ tiÕp tun cđa (O) nªn DC
⊥
AC , hay = 90

0
(1)
MỈt kh¸c MO
⊥
AB t¹i I ( do ) , hay =90
0
(2)
Tõ (1),(2)
⇒
Tø gi¸c OIDC néi tiÕp ®ỵc
1,5
b) Tam gi¸c ACD vu«ng ë C , ®êng cao BC. ¸p dơng hƯ thøc l-
ỵng , ta cã: AB.AD=AC
2
:kh«ng ®ỉi (®pcm)
2
c) Ta có: MAO ACD (g-g)



CD
AO
AC
MA
=
mà AO =OC =R
Nên
CD
CO
AC

MA
=
Mặt

, MAO = OCD = 90
0




MAC

OCD (c-g-c)

ACM = ODC mà MCD = AMC (do DC//MA)


MAC

CHD Hay H = MAC 90
0

Tức là OD

MC
0,5
1
0,5
0,5
0,5

5

3







==
=++
=++
c
z
b
y
a
x
cba
cba
1
1
222
Đặt
k
c
z
b
y

a
x
===

,akx
=

,bky
=

ckz
=
Khi đó
=++
xzyzxy
( )
acbcabkbckackabk
++=++
2222
Từ
( )
11
2
=++=++
cbacba
hay
( )
acbcabcba
+++++
2

222
=1

( )
121
=+++
cba
Do đó:
( )
02
=++
cba
Vậy
0
=++
xzyzxy

0,5
1
0,5
0,5
0,5
Giáo viên ra đề:
Mai Thị Yến