De HSG toan 9 cap huyen

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9
NĂM HỌC 2013 – 2014
MÔN TOÁN 9
Thời gian làm bài: 120 phút

ÑEÀ
CHÍNH THÖÙ
C

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức A =

5 +3
2 + 3+ 5

+

3− 5
2 − 3− 5

×

b) Chứng minh B = a5 − 5a3 + 4a chia hết cho 120.
c) Tìm số nguyên m để C = m2 + m + 1 là số nguyên.
Bài 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau:
a)

x +1+ x +

3
= x + 1.
4

b) x 2 − 5x + 8 = 2 x − 2.
c) ( 4x − 1) x 2 + 1 = 2x 2 − 2x + 2.
Bài 3. (2,5 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = 2x + 5 − x 2 .
b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn x. 1 − y 2 + y. 1 − x 2 = 1. Tính N = x2 + y2
Bài 4. (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam
giác ABC.
AD
×
a) Chứng minh tanB × tanC =
HD
BC2
b) Chứng minh DH.DA ≤
×
4
c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
µ 
A
a
Sin
≤
×

÷
Chứng minh rằng

 2 ÷ 2 bc
 

Bài 5. (0, 5 điểm) Chứng minh rằng trong 2 − 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có
tổng là một số chẵn.
---------------------Hết--------------------n+1

Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:.....................

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9


NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút
( không kể thời gian giao đề)
TT

Ý Nội dung
a
5 +3
A=

+

2 + 3+ 5

A=
Bài 1

b
(2.5
điểm)
c

2( 5 + 3)
2 + ( 5 + 1)

2

+

3− 5

=

2 − 3− 5
2(3 − 5)
2 − ( 5 − 1)

2

=

2( 5 + 3)
2+ 6+2 5

+

2(3 − 5)

2− 6−2 5

2( 5 + 3)
2(3 − 5)
+
5 +3
3− 5

A= 2 2
B = a5 − 5a3 + 4a = a(a4 − 5a2 + 4) = a(a4 − a2 − 4a2 + 4)
= a[a2(a2 − 1) − 4(a2 − 1)] = a(a2 − 1)(a2 − 4)
= (a − 2)(a − 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120
Để C = m 2 + m + 1 là số nguyên thì m 2 + m + 1 = k 2 (k ∈ ¥ * )
⇔ 4m 2 + 4m + 4 = 4k 2 ⇔ (2m + 1) 2 + 3 = 4k 2
(2k) 2 − (2m + 1) 2 = 3 ⇔ (2k + 2m + 1)(2k − 2m − 1) = 3 Học sinh tìm được
m = 0; m = − 1

a

ĐK x ≥

−3
,
4

x +1+ x +

3
3
3 1

= x +1 ⇔ x + + x + + = x +1
4
4
4 4

2

Bài 2
b
c


3 1
3
1
3 1
⇔ x + + = x +1 ⇔ x + = x +
⇔  x + + ÷
=
x
+
1
4 2
4
2
4 2÷


−3
−1

−1
Với ≤ x ≤
Pt vô nghiệm; với x ≥
bình phương hai vế HS
4
2
2
2
tìm được x =
2
2
Đk: x ≥ 2 , x − 5x + 8 = 2 x − 2 ⇔ x 2 − 6x + 9 + x − 2 − 2 x − 2 + 1
(x − 3) 2 + ( x − 2 − 1) 2 = 0 ⇔ x = 3

Đặt x 2 + 1 = y ≥ 1 phương trình trở thành (4x − 1)y = 2y 2 − 2x
4xy − y = 2y2 − 2x ⇔ 2y2 − 2x − 4xy + y = 0 ⇔
y(2y +1) − 2x(2y + 1) = 0 ⇔ ( 2y + 1)(y − 2x) = 0 ⇔ y = 2x
(vì y = − 1/2 loại). ⇔

Bài 3 a

x + 1 = 2x ⇔ x =
2

1
3

Đk: − 5 ≤ x ≤ 5 .
*)Ta có M2 = ( 2x + 5 − x 2 )2 ≤ (22 + 12 )(x 2 + 5 − x 2 ) = 25 ⇒ M 2 ≤ 25
⇒ −5 ≤ M ≤ 5

Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra ⇔
x 2 ≤ 5 ⇔ x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2.

Điểm
0.25

x
= 5 − x 2 và
2

0,5
0.25
0.25
0.5
0.25
0,25
0,25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.5
0.25
0.25

0.5
0.5
0,25

b

*) Theo trên thì −5 ≤ M ≤ 5 nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng
- 5 vì − 5 ≤ x ≤ 5 ⇒ M ≥ −2 5 vậy min M = −2 5 khi x = − 5
ĐK: −1 ≤ x; y ≤ 1 .theo bài ra ta có

0.5

x 1 − y2 + y 1 − x 2 ≤ x 1 − y2 + y 1 − x 2

0,25

= x 1 − y2 + y 1 − x 2 ≤

x 2 + 1 − y2 y2 + 1 − x 2
+
=1
2
2

0,25

Dấu bằng xảy ra khi: x = 1 − y 2 và y = 1 − x 2 hay x2 = 1 − y2 hay
x2 + y2 = 1 vậy N = 1

0,25
0.25

A
E
G

B

H

K

C

D

Bài 4
a

AD
AD
AD 2
⇒
Ta có tanB =
; tanC =
tanB.tanC =
(1)
BD
DC
BD.DC
·
·

Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có DAC
vì cùng phụ với
= DBH

góc C nên ta có : ∆ADC : ∆BDH ⇒

AD BD
=
⇒ AD.DH = DB.DC ⇒
DC DH

AD 2
AD
=
(2)
BD.DC HD

Theo câu a. ta có: DH.DA = DB.DC ≤

0.25
0.25
0,25

AD
Từ (1) và (2) ⇒ tanB.tanC =
.
HD

b

0.5

(DB + DC) 2 BC 2
=
4
4

1.0


c

A

M
B

C

F

N

x

Gọi Ax là tia phân giác góc A, kẻ BM; CN lần lượt vuông góc với Ax
A BM
A
=
suy ra BM = c.sin

2 AB
2
A
A
Tương tự CN = b.sin do đó BM + CN = (b + c).sin
2
2
Mặt khác ta luôn có: BM + CN ≤ BF + FC = BC = a
A
a
a
A
≤
Nên (b + c).sin ≤ a ⇒ sin ≤
2 b + c 2 b.c
2
·
= sin
Ta có sin MAB

Bài 5

Vì có tất cả 2n+1 − 1 = 2(2n − 1) + 1 số nên có ít nhất (2n − 1) + 1 = 2n
số cùng chẵn hoặc cùng lẻ, suy ra 2n cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Lưu ý: - Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm bài hình.

0.25

0.25

0.5