ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 09 10

trờng THCS Định Tân
Đề thi môn: toán 9
(Thời gian làm bài : 150 phút)
Họ và tên giáo viên ra đề: Lê Văn

Yên

Đề bài
x

1

1

+
A = x4 +
2 2
2 +2
a). Tìm điều kiện củ x để biểu thức A xác định.
b). Rút gọn gọn biểu thức A.
c). Tính giá trị của A khi x = 25.

Bài 1( 4,5điểm): Cho biểu thức:

d). Tìm các giá trị của x để A =

1
3

Bài 2(4 điểm): Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan
bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì còn thừa 1 học

sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì có thể phân phối đều các học sinh
trên các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chỉ trở đợc không quá 32 ngời,
hỏi ban đầu có bao nhiêu ô tô và có tất cả bao nhiêu học sinh đi
tham quan?
Bài 3 (4 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M.. Các đờng cao
MD và NE cắt nhau tại H. Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MH.
Chứng minh rằng:
a)E nằm trên đờng tròn (O).
b) Bốn điểm M, N, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
c). DE OE.
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc A bằng 150; góc B
bằng 450 trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2BC.
a). Tính góc ADB.
b). Tính khoảng cách từ D đến AC, nếu biết BC = 3 cm.
Bài 5 (3,5 điểm): Cho hai số thực a,b thoã mãn a > b và ab = 2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a2 + b2
Q=
a b

Hết

.


Đáp án
Bài 1 (4,5 điểm):
a). (1 điểm) Biểu thức A đợc xác định :
x Xac dinh

x 0


x 4 0
(0,5 diem) x 4

x 4

x 20

x 0

x4

(0,5 điểm)

b). (1,5 điểm): Rút gọn biểu thức A
x

1

1

+
A = x4 +
2 2
2 +2

=
=

=
=

x

(

( x 2) x + 2
x+

)

x +2+

+

x +2
( x 2)( x + 2)

x 2

( x 2) ( x + 2)
x

(

x 2
x 2

)(

x+2

)

(0,5 điểm)

(0,25 điểm)

( x 2)( x + 2)
x ( x + 2)

+

( 0,5 điểm)
(0,25 điểm)

x 2

c). ( 0,5 điểm): Khi x = 25 thì A =
d). (1,5 điểm): A =

1
3



x
x 2

25
25 2

=

3 x = x +2
4 x =2

=

5
3

(0,5 điểm).

1
(0,25 điểm)
3

(0,25 điểm)
(0,25 điểm)

1
(0,25 điểm)
2
1
x=
( T/m điều kiện)
(0,25
4

x=

điểm)
Vậy với x=

1
1
thì A = .
4
3

(0,25 điểm).

Bài 2(4 điểm) :
Gọi số ô tô ban đầu là x (x Z, x>1).
Thì số học sinh sẽ là : 22x + 1
Khi đó ta có :
22 +

22 x + 1
N
x 1

23
N
x 1

(0,25 điểm)

(0,25 điểm)
(0,5 điểm).
(0,5 điểm).




23
Z
x 1

(0,5 điểm).

Suy ra x - 1 là ớc số của 23.
(0,5 điểm).
Vì x > 1 nên (x - 1) {1; 23} x { 2 ; 24} .
(0,5 điểm).
Vì mỗi ô tô chỉ chở không quá 32 học sinh nên x = 24. (0,5
điểm).
Vậy số ô tô là 24 , số học sinh là 529 em.
(0,5
điểm).
Bài 3 (4 điểm): Cho tam giác MNP cân tại M. Các đờng cao
MD và NE cắt nhau tại H. Vẽ đờng tròn (O) đờng kính MH.
Chứng minh rằng:
a)E nằm trên đờng tròn (O).
b) Bốn điểm M, N, D, E cùng thuộc một đờng tròn.
c) DE OE.
M

O
E
H

N

D

P
a). Tam giác HME là tam giác vuông tại E nên nội tiếp đờng tròn
đờng kính MH. Từ đó E đờng tròn (O).
(1 điểm)
b). Các tam giác MDN và MEN là các tam giác vuông có chung
cạnh huyền MN nên 4 điểm M,N,D,E cùng thuộc một đờng tròn
đờng kính MN. (1 điểm).
c). Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O):
Ta có : ENP = DMP ( vì cùng phụ với góc MPN). (1) (0,25
điểm)
Vì OM = OE nên tam giác OME cân , suy ra: OME = OEM (2)
(0,25 điểm)
Tam giác NEP vuông tại E, có ED là đờng trung tuyến ứng với
cạnh huyền NP


nªn: DN = DE. Suy ra tam gi¸c DNE lµ tam gi¸c c©n. Suy ra DNE
= DEN (3)
(0,5 ®iÓm)
Tõ (1), (2), vµ (3) Suy ra : OEM = DEN . (0,25 ®iÓm)
L¹i cã: OEM + HEO = 90o , Nªn OEH + HED = 90o Suy ra DE ⊥
OE

( 0,5 ®iÓm)
Suy ra DE lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O).

( 0,25 ®iÓm).
A

Bµi 4 ( 4 ®iÓm):

H

B

C

D
a). TÝnh gãc ADB: ( 3 ®iÓm)
KÎ DH AC , nèi B víi H :
XÐt tam gi¸c ABC ta cã: gãc ACB = 180 0 - (A + B) = 1200
(0,25 ®iÓm)
Suy ra gãc HCD = 600 .
(0,25 ®iÓm)
Tam gi¸c HCD vu«ng t¹i H cã gãc HCD = 600 nªn gãc HDC = 300.
(0,25 ®iÓm)
Suy ra HC = CD = .2BC = BC.
(0,25 ®iÓm)
Suy ra tam gi¸c HCB c©n gãc HBC = 300.
(0,25 ®iÓm)
Tam gi¸c HBD cã gãc HBC = gãc HDC = 300 tam gi¸c HBD c©n
(0,25 ®iÓm)
HB = HD (1)

(0,25 ®iÓm)
Tam gi¸c HAB cã: gãc HAB = gãc HBA = 150 tam gi¸c HAB c©n.
(0,25 ®iÓm)
HA = HB
(2).
(0,25 ®iÓm)


Từ (1) và (2) HA = HD
(0,25 điểm)
Tam giác HAD vuông cân góc HDA = 450.
(0,25 điểm)
Góc ADB = góc ADH + góc HDB = 450 + 300 = 750
(0,25 điểm)
b). Tính khoảng cáh từ D đến AC: ( 1 điểm)
Vì DH AC nên DH chính là khoảng cách từ D đến AC.
(0,25 điểm)
Xét tam giác vuông HDC ta có : CD = 2 BC = 2 . 3 = 6 ( cm).
(0,25 điểm)
DH = CD . cos C = 6 . cos600 = 3 (cm).
(0,5
điểm)
Bài 5 ( 3,5 điểm):
Ta có : Q =
( 0,5 điểm)
=a-b+ .
( 0,5 điểm)
Vì a > b nên a - b > 0 . áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
Q = (a - b) +
= 4.

( 0,5 điểm)
Dấu bằng xảy ra
( 0,5 điểm)
( 0,5 điểm)
( 0,5 điểm)
Vậy Giá trị nhỏ nhất của Q đạt đợc là: Qmin=4.

( 0,5 điểm)

(Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho
điểm tối đa)