ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Trường THCS Định Hưng
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Họ và tên người ra đề: Bùi Văn Hùng
Thành viên thẩm định đề: Lê Hồng Sơn

ĐỀ BÀI:
x x −3

Câu 1(5,0 điểm): Cho biểu thức P =

x−2 x −3

−

2

(

)

x −3
x +1

+

x +3
3−

x

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi x = 14 − 6 5
c) Tìm GTNN của P
Câu 2(4,0 điểm):
Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình:

x + x −1 = m

Câu (3,0 điểm):
Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của hai
chữ số của nó có phân số tối giản là

16
và hiệu của số cần tìm với số có cùng các chữ
9

số với nó nhưng viết theo thứ tự ngược lại bằng 27.
Câu 4(6,0 điểm): Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi AB là
đường kính của đường tròn (O), AC là là đường kính của đường tròn (O’), DE là tiếp
tuyến chung của hai đường tròn, D ∈ (O), E ∈ (O’), K là giao điểm của BD và CE.
a) Tứ giác ADKE là hình gì? Vì sao?
b) Chứng minh AK là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng MK vuông góc với DE.
Câu 5(2,0 điểm): Giải phương trình :

3x 2 + 6x + 7 + 5x 2 + 10x + 21 = 5 − 2x − x 2 .


ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM:
Câu:

a) ĐKXĐ: x ≥ 0,x ≠ 9
P=

x x −3− 2

b) x = 14 − 6 5 =
1

(

(
(

Nội dung cơ bản:

) − ( x + 3) (
x + 1) ( x − 3)

x −3

)

5 −3

2

)

2

=>

x =

x +1

Điểm
0.5
x+8

=

5 −3 = 3−

1.0

x +1

1.0

5

P = 58 − 2 5

1.0

11

c)

P=

x+8

= x − 1+ 9 =
x +1
x +1

x − 1+

=> P ≥ 2 9 − 2 = 4
Dấu “=” xảy ra khi

x +1=

Vậy min P = 4 khi x = 4

9
x +1

9
x +1

=

x + 1+

9
x +1

0.5

−2

0.5
<=> x = 4

0.5
y

2
*Xét ba trường hợp:
Với x ≤ 0 thì y = -x – x +1 = -2x + 1
Với 0 < x < 1 thì y = x – x + 1 = 1
Với x ≥ 1 thì y = x + x – 1 = 2x -1
−2x + 1 nÕu x ≤ 0

Vậy y = 1 nÕu 0 2x - 1 nÕu x ≥ 1


Đồ thị hàm số : y = x + x − 1

1.0

1
O 11

1

2

là đường nét đậm trên hình vẽ
*Đường thẳng y = m cùng phương
với Ox, cắy Oy trên điểm có tung độ m.
Dựa vào đồ thị ta kết luận:
Nếu m < 1 thì phương trình vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì phương trình có nghiệm : 0 ≤ x ≤ 1.
Nếu m > 1 thì phương trình có 2 nghiệm .

x
1.0
1.0

1.0


Gọi số cần tìm là xy với x, y ∈ Z;1 ≤ x, y ≤ 9 .

3

10 x + y 16
=
x− y =3


9
⇔
Theo giả thiết:  xy
90 x + 9 y = 16 xy

10 x + y − ( 10 y + x ) = 27


Giải hpt ta được: x1 = 9; x2 =

3
(loại). Suy ra y = 6 .
16

Vậy số cần tìm là :96.

1.0
1.0
0.75
0.25

4

a) Theo tính chất góc ngoài của tam giác : ∠ O1 = 2∠B, ∠O’1 = 2∠C
mà ∠O1 + ∠O’1 = 1800 nên ∠B+∠C=900, suy ra K=900. Ta lại có ∠D =
∠E = 900 nên tứ giác ADKE là hình chữ nhật.
b) ∠A1+∠A2=∠D1+∠D2=900 nên KA ⊥ BC. Vậy AK là tiếp tuyến của
(O) và (O’).
c) ∠K1 + ∠E1 = ∠C + ∠EKA = 900 nên MK ⊥ DE.

2.0
2.0
2.0

Viết lại phương trình dưới dạng :

5

3(x + 1) 2 + 4 + 5(x + 1) 2 + 16 = 6 − (x + 1) 2 .

Vế trái của phương trình không nhỏ hơn 6, còn vế phải không lớn
hơn 6.
Vậy đẳng thức chỉ xảy ra khi cả hai vế đều bằng 6, suy ra x = -1.

1.0
1.0