Đề thi HSG Toán 9 cấp trường

Trờng: THCS Yên Phong
Đề thi môn: Toán.
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian
giao đề)
Họ và tên ngời ra đề: Vũ Thị Mỹ Hòa.
Đề thi
Câu 1: (4 điểm) Rút gọn biểu thức sau:
a) M = (
b) N =

x x +3 3
x+ 3
2 x)
với x 0, x 3.
3 x
x 3x + 3

(49 20 6)(5 + 2 6) 5 + 2 6
.
9 3 11 2

Câu 2: (4 điểm)
a) Giải hệ phơng trình:
x 1 + y 5 = 1

x 1 y = 5

b) Cho các điểm A(7;2) ; B(2;8) và C(8;4) xác định đờng
thẳng (d) đi qua A sao cho các điểm B và C nằm về hai phía
của (d) và cách đều (d).
Câu 3: (5 điểm) a) Chứng minh rằng nếu các số dơng a,b,c có tổn

a+b+c=1 thì
1 1 1
+ + 9
a b c

b) Cho các số a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=0. Chứng minh rằn
2(a5+b5+c5)= 5abc(a2 +b2 + c2 )
Câu 4: ( 5điểm) Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính BC và điểm A tr
nửa đờng
tròn(A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC. Trên cùng một nửa mặ
phẳng bờ
BC chứa điểm A, vẽ 2 nửa đờng tròn (O1) và (O2) đờng kính BH và C
chúng
lần lợt cắt AB, AC ở E và F.
a) Chứng minh: AE.AB = AF.AC.
b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (O1)
(O2).
c) Gọi I và K lần lợt là các điểm đối xứng của H qua AB và AC.
Chứng minh 3 điểm I, A, K thẳng hàng.
d) Gọi M là giao điểm của IK với tiếp tuyến kẻ từ B của đờng tr
(O).
Chứng minh MC, AH và EF đồng qui.


Câu 5: (2 điểm) Cho S =
So sánh S với 2.

1
1
1

1
+
+
+ ... +
1.2009
2.2008
3.2007
2009.1

2009
.
2010

Hớng dẫn chấm
Câu

Nội dung
M =(

x x +3 3
x+ 3
2 x ).
3 x
x 3x + 3

( x + 3)( x 3 x + 3)
x+ 3
=
2 x
x 3x + 3

3 x

1a)

= ( x + 3)

x+ 3
( x + 3)( x 3)

=1
N=
=

1b)

(49 20 6)(5 + 2 6) 5 + 2 6
9 3 11 2

(5 2 6) 2 (5 + 2 6) ( 3 + 2) 2
9 3 11 2

=

(5 2 6)( 3 + 2) ( 3 2) 2 .( 3 + 2)
=
=
9 3 11 2
9 3 11 2

=

( 3 2)(9 3 + 11 2)
=5=2 6
(9 3) 2 (11 2) 2

Điểm
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5

2a) Trừ vế với vế của phơng trình (1) cho phơng trình (2) ta
0,5
y 5 + y = 6
x 1 y = 5

hệ phơng trình tơng đơng
2 y = 11

x 1 y = 5
y = 5,5

x = 1,5; x = 0,5

0,5

0,5

0,5
Vậy hệ có 2 nghiệm (0,5;5,50; (1,5;5,5)
2b) Gọi đờng thẳng d là y=ax+b. Điểm A( 7;2) thuộc d nên0,5
2=7a+b(1)
Đờng d cắt đờng thẳng song song
với trục hoành tại B là M tại C là.
16
Gọi BH, CK là đờng thẳng vuông


góc với d tại B và C . Ta có BH=CK
0,5
nên BM=CN=m Ta có M(2+m;8)
H
và N(8-m;4).
8 B
M
Vì M và N thuộc d nên
0,5
8=a(2+m) +b
(2)
4
N
4=a(8-m) +b
(3)
K
C
Từ (1),(2) và (3) ta có

2
A
0,5
a=-2;b=16 và m=2
Đờng thẳng d phải tìm là y=-2x+16
2
7 8
3a) Ta có vì a+b+c=1 nên

1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c
+ + =
+
+
a b c
a
b
c
b a c b c a
= 3+ + + + + +
a b b c a c
3+ 2+ 2+ 2 = 9

0,5
0,5
0,5
0,5

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3
3b) Ta có a+b+c=0 nên a+b=-c .Do đó a+b=-c nên( a+b)
Suy ra a3+b3+c3= 3abc;a2+b2=c2-2ab; a2+c2=b2-2ac; 0,5

c2+b2=a2-2bc
Nên 3abc(a2+b2+c2)= (a3+b3+c3) (a2+b2+c2)
0,5
5
5
5
3
2
2
3
2
2
3
2
2
= (a +b +c )+a (b +c )+ b (a +c )+ c (b +a )
= (a5+b5+c5)+a3(a2-2bc)+ b3(b2-2ac) +c3(c2-2ab)
0,5
5
5
5
2
2
2
=2(a +b +c )-2abc(a +b +c )
Vậy 3abc(a2+b2+c2)= 2(a5+b5+c5)-2abc(a2+b2+c2)
0,5
5
5
5

2
2
2
Hay 2(a +b +c )= 5abc(a +b + c )
4
a)AE.AB=AF.AC=AH2
1
K
b) C/m VGEO =VGHO(c.c.c) suy ra
GEO1 = IHO1 = 900 nên EF l tip
0,5
A
M
F
Tuyến của đờng tròn (O)
I
G
Tơng tự EF là tiếp tuyến
của
E
0,5
đờng tròn (O1)
B
C
c)C/m EF//AK và EF//AI suy ra
A,I1và K
O
O
O
0,5

thẳng hàng.
d) C/m AH cắt EF tại trung
điểm G
0,5
của
AH( Vì AEHF là hình chũ nhật)
và MC cắt AH tại trung điểm G của
0,5
AH ( Vì AH// MB và AB//HF nên
GM BH AF
=
=
nên AM//GF G là trung điểm của AH)
GC CH FC

5

0,5

Suy ra 3 đờng EF, AH và MC đồng qui
áp dụng bất đẳng thức Co-si cho 2 số không âm a và b ta có


1
2
≥
dÊu b»ng x¶y ra khi a=b
2 ab a + b
0,5
1

2
2
>
=
1.2009 1 + 2009 2010
1
2
2
>
=
Ta cã 2.2008 2 + 2008 2010
...........
1
2
2
>
=
0,5
2009.1 1 + 2009 2010
1
1
1
1
2
2009
+
+
+ ... +
= 2.
Nªn S =

> 2009
1.2009
2.2008
3.2007
2009.1
2010
2010
0,5
2009
VËy S=2.
2010
a + b ≥ 2 ab ⇔

0,5