Đề thi HSG Toán 9 cấp trường

Đề thi Học sinh giỏi môn toán 9
Câu 1: (2 điểm)
Cho biểu thức sau:
P=

x2 x
x + x +1



2x + x
x

+

2( x 1)
x 1

1. Rút gọn P.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
3. Tìm x để biểu thức Q =

2 x
nhận giá trị là số nguyên.
P

Câu 2: (2 điểm)
Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: 2( m 1) x + ( m 2) y = 2 .
1. Vẽ (d) với m = 3.
2. Chứng minh rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
3. Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.

Câu 3: (2,5 điểm)
1. Giải phơng trình nghiệm nguyên:
x 2 + 2 y 2 + 3xy ( x + y ) + 3 = 0

2. Cho a, b là các số thực dơng thoả mãn: a + b = 4.
b
a

Chứng minh rằng: 2a + 3b + +

10
18 .
b

Câu 4: (2,5 điểm)

Cho hình thang vuông ABCD ( A = D = 90 0 ) , tia phân giác của góc C đi
qua trung điểm I của AD.
1. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I, IA).
2. Cho AD = 2a. Tính tích AB và CD theo a.
3. Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn (I) nói trên. K là giao
điểm của AC và BD. Chứng minh rằng KH song song với BC.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác có 3 góc nhọn. Chứng minh
rằng với mọi số thực khác không x, y, z ta luôn có:
x 2 y 2 z 2 2x 2 + 2 y 2 + 2z 2
+
+
.
a2 b2 c2

a2 + b2 + c2


Hớng dẫn chấm đề thi học sinh giỏi
Môn: Toán 9
Câ
ý
u
Điều kiện: 0 < x 1
1

P=

x

(

)(

) (2

x 1 x + x +1

x + x +1
P = x x +1

) (

Điể
m

0,25
0,25
0,25

)

x +1 + 2 x +1

2

1 1 3
1
3 3
2
P = x 2 x . + + = x + với mọi x thoả mãn
2 4 4
2
4 4


0,25

2 điều kiện xác định

3
1
1
x =0 x=
4
2

4
2 x
2 x
2
2
Q=
=
=
=
1
P
M
x x +1
x+
1
x
1
> 2 M > 1 0 < Q < 2. vì Q nguyên
Với 0 < x 1 x +
x
3
2 x
Q =1
=1
x x +1
7+3 5
73 5
x 3 x +1 = 0 x =
;x =
2

2
73 5
Kết luận: với x =
thì Q Z
2
min P =

1

2

Với m = 3: phơng trình đờng thẳng (d) trở thành:
4x + y = 2

0,25
0,25

0,25
0,25

0,25

Ta có: x = 0; y = 2
y = 0; x = -

1
2

2

0,25

1
0

1

2 Gọi điểm cố định mà đờng thẳng (d) đi qua là
M(x0,y0)
Ta có: 2( m 1) x0 + ( m 2) y 0 = 2 với mọi m
x 0 = 1; y 0 = 2

Kết luận: Vậy đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố

0,25
0,25


định M(1; -2)
Từ phơng trình của (d) không đi qua gốc toạ độ. Gọi

giao của (d) với Ox là A

1
2


;0 , với trục tung là B 0;

m 1

m2

0,25

Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ O lên AB. Ta có:
3

1
1
1
=
+
OH =
2
2
OH
OA
OB 2

2

( m 2) 2 + 4( m 1) 2

= 5
6
5
2
2
x + 2 y + 3xy ( x + y ) + 3 = 0 ( x + y )( x + 2 y 1) = 3

0,25
0,5

Vậy max OH = 5 m =

3

Vì x, y Z ( x + y ) Z và ( x + 2 y 1) Z ( x + y ) và x + 2 y 1
Là các ớc của -3 sao cho tích của chúng bằng -3
Ta có các trờng hợp:
1 TH1: x + y = 1; x + 2 y 1 = 3 x = 4; y = 3
TH2: x + y = 1; x + 2 y 1 = 3 x = 6; y = 5
TH3: x + y = 3; x + 2 y 1 = 1 x = 8; y = 5
TH4: x + y = 3; x + 2 y 1 = 1 x = 6; y = 3
Kêt luận: Tập nghiệm của phơng trình:
S = { ( 4;3) ; ( 6;5) ; ( 8;5); ( 6;3) }
b 10 3a 6 5b 10
2a + 3b + +
= + + + +2
a b 2 a 2
b
Với a, b > 0 áp dụng BĐT Cauchy ta có:
2
3a 6
5b 10
A2
. +2
. + 2 = 2.3 + 2.5 + 2 = 18 đpcm.
2 a
2 b

Dấu = a = b = 2
4

Kẻ IH vuông góc BC. Vì I nằm trên tia phân giác của góc
BC D nên IH = IB =

1
AB
2

H ( I , IA)
BC là tiếp tuyến của (I,IA)

1

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
vẽ
hìn
h

đún
g
(0,2
5)
0,75

2 BA vuông góc IA và CD vuông góc với IB suy ra BA, CD lần
lợt là các tiếp tuyến của (I) tại A và B
0,25
- Xét (I, IA), có BA, BH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại B; CD,
CH là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C. Theo tính chất 2 tiếp


tuyến cắt nhau ta có:

(

)

I1 = I2 ; I3 = I4 I1 + I2 + I3 + I4 = 2 I2 + I3 = 2 I2 + I3 (1)
BA = BH ; CD = CH (2)
Ta có: AIH + HID = 180 0 I1 + I2 + I3 + I4 = 180 0 I2 + I3 = 90 0
BH I = 90 0 BIC vuông tại C.

0,5

- Xét BIC vuông tại C, đờng cao IH, ta có:
2

2

AB
2a
2
IH = BH .CH = AB.CD AB.CD =
= =a
2
2



AB BK
BH BK
=
=
Vì AB//CD, theo định lý Talet ta có:
hay
CD KD
HC KD
2

3 (theo (2)).
Theo định lý talet đảo: KH // CD

0,25
0,25
0,25

Với a, b, c là 2 cạnh của 1 tam giác nhọn, ta có:
0,25

a2 + b2 > c2;b2 + c2 > a2 ;a 2 + c2 > b2

a
b
( a + b)
+

Với mọi a, b R, x, y > 0 . Ta luôn có:
(1)
2

2

2

x

y

x+ y

Thật vậy: (1) ( a y + b x )( x + y ) ( a + b ) xy ( ay bx ) 0
(luôn đúng với mọi a, b, x, y)
Suy ra (1) luôn đúng.
Ta có:
2

2

2

2x 2 x 2 x 2
x2
x2
(
x + x)
4x 2
x2
2x 2
= 2 + 2 > 2
+

=
2 > 2
a2
a
a
b + c2 a2 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2
a
a + b2 + c2
2

5

0,25

0,25

(2)

Làm tơng tự ta có:
y2
2y2
>
b2 a2 + b2 + c2
z2
2z 2
>
c2 a 2 + b2 + c2

(3)

x 2 y 2 z 2 2x 2 + 2 y 2 + 2z 2
Từ (2) và (3) 2 + 2 + 2 >
(đpcm)
a
b
c
a2 + b2 + c2

0,25