Đề thi HSG Toán 9 cấp trường

đề thi học sinh giỏi môn toán
Câu I:. Cho đờng thẳng y = (m-2)x + 2 (d)
a) Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) bằng 1.
c) Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đờng thẳng (d) có giá
trị lớn nhất.
CâuII: Giải các phơng trình:
a) 2 x 2 + 2 x + 1 + x 2 6 x + 9 = 6
b) x + 2 x 1 + x 2 x 1 = 1
Câu III:
xy yz zx
+
+
với x, y, z là số dơng và x + y + z= 1
z
x
y
x 1 = y 2 = z 2

3
2
b) Giải hệ phơng trình: 5
3 x 2 y + z = 12
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của: A=

2

c) B =

x + x 2x
2

2



x x 2x
2

x x 2x x + x 2x
1. Tìm điều kiện xác định của B
2. Rút gọn B
3. Tìm x để B<2

Câu IV:
Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, với AC < AB; AH là đờng cao kẻ từ đỉnh A.
Các tiếp tuyến tại A và B với đờng tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại M.
Đoạn MO cắt cạnh AB ở E. Đoạn MC cắt đờng cao AH tại F. Kéo dài CA cho cắt đờng
thẳng BM ở D. Đờng thẳng BF cắt đờng thẳng AM ở N.
a) Chứng minh OM//CD và M là trung điểm của BD
b) Chứng minh EF // BC
c) Chứng minh HA là tia phân giác của góc MHN
d) Cho OM =BC = 4cm. Tính chu vi tam giác ABC.
Câu V: Cho (O;2cm) và đờng thẳng d đi qua O. Dựng điểm A thuộc miền ngoài đờng tròn sao cho các tiếp tuyến kẻ từ A với đờng tròn cắt đờng thẳng d tại B và C tạo
thành tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất.
Đáp án
Câ
Nội dung
Điểm
u
I

a) y luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
0.5
(3
b) Xác định giao của (d) với Ox là A và Oy là B, ta có:
đ) OA = 2: (|2 - m|); OB = 2
0.5
+OH là khoảng cách từ O đến AB. Do OH = 1. Thay vào tính
0.5
m = 2 - 3 hoặc m = 2 + 3 .
0.5
+ Các đờng thẳng tơng ứng y = 3 x + 2 và y = - 3 x + 2
0.5
c) OH đạt GTLN m2 - 4m + 5 đạt GTNN m = 2
0.5
+ Đờng thẳng y = 2 và OH = 2
II
(4
đ)

a) Đa về dạng: 2|x+1| + |x-3| = 6
+ Xác định ĐK của x:
5
+ Với x < -1 có x = 8
+ Với -1 x < 3 có x =1
7
+ Với x > 3 có x = TXĐ.
3

0.5
0.5

0.5
0.5


Kết luận : x = -

0.5
0.5
0.5
0.5

5
và x =1 là nghiệm
8

b) ĐKXĐ: x 1
+ Đa về dạng: 2x + 2 x 2 4( x 1) = 4
+ Pt : x + | 2 - x| = 2
+ Kết luận 1 x 2 là nghiệm
III
(6
đ)

a) Dùng BĐT Cô si
xy yz
xy yz
xy yz
+
2y
hay

+
2
.
z
x
z
x
z x
yz zx
+
2z ;
tơng tự
x
y
zx xy
+
2x
y
z
KL: A nhỏ nhất bằng 1 với x = y = z =

0.5
0.5
0.5
0.5

1
3

b) áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau đa về dạng:

3( x 1) = 2( y 2) = z 2

6
2
15
3 x 2 y + z = 12
Giải tìm hệ số tỉ lệ là 1
Tính đúng x = 6; y = 5; z = 4
c) 1. Tìm ĐKXĐ của B là x 0 và x 2

IV
(5
đ)

V
(2

2 < x< 0 và 2 x < 1+

0.5
1

2

+ Vẽ hình đúng chính xác , đẹp và ghi GT , KL đúng chính xác
a) + OM // CD ( cùng vuông góc với AB)
+ Do O là trung điểm của BC và OM // CD M là trung điểm của BD
b) Do AH // DB ( cùng vuông góc với BC)
AF
FH

=
theo (a) MD = MB, theo định lí Ta lét
DM MB
AF = FH hay F là trung điểm của AH.
+ Chỉ ra E là trung điểm của AB. EF là đờng trung bình của tam
giác AHB hay EF// BC
c) Gọi giao điểm của NH với đờng thẳng BM là P. Do AH//MP và F là
trung điểm của AH . Chỉ ra B là trung điểm của MP.
+ Tam giác HMD cân tại đỉnh H ( do HB vừa là trung tuyến, vừa là đờng cao HB là phân giác góc MHD
+ Vì HA vuông góc với HB nên suy ra AH là tia phân giác của góc MHN
d) + Chứng minh đợc ABC = BMO ( c.h- g.n)
có OB = 2cm; OM = 4cm
+ Tính đợc BM = 2 3 ( cm)
BC = 4cm; AC = BO = 2cm tính AB = 2 3
+ Tính đợc chu vi ABC bằng ( 6 + 2 3 ) cm
+ Vẽ hình đúng, chính xác , đẹp sạch

0.5
0.5

0.5
0.5

2. Biến đổi và rút gọn có kết quả B = 2 x 2 2 x
3. B< 2 2 x 2 2 x < 2 ( x - 1)2 < 2
Kết luận giá trị của x: 1-

0.5

0.5

0.25
0.25

0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
0.5


®)

+ DiÖn tÝch ∆ABC lµ S, viÕt ®îc S =

AB.OH + AC.OH
2

+ TÝnh ®îc S ≥ 8
+ Do Smin = 8 ⇒ AB = AC, AC = CI.
VËy tam gi¸c ABC ph¶i vu«ng c©n t¹i A.
Tõ ®ã cã c¸ch dùng ®iÓm A.

0. 5
0. 5
0.5