De thi HSG toan 9 bac ninh 20162017

UBND TNH BC NINH
S GIO DC V O TO

HNG DN CHM
THI CHN HC SINH GII CP TNH
NM HC 2016 - 2017
Mụn: Toỏn - Lp 9
ỏp ỏn

Cõu
1.1. (1.5 im)

B = 13 + 30 2 + 9 + 4 2 = 13 + 30 2 + 8 + 2 8 + 1

im

0.75

2

= 13 + 30 2 + ( 8 + 1) = 13 + 30 2 + 8 + 1
= 13 + 30 2 + 2 2 + 1 = 13 + 30 ( 2 + 1)2 = 18 + 2 18.5 + 25

0.75

= ( 18 + 5)2 = 3 2 + 5
1.2. (1.5 im)
P =

a2

( b + c)

2

2

=

- b2 - c2
2

+

2

b2

( c + a)
3

2

3

- c2 - a2

+

c2

( a + b)

2

- a2 - b2

0.75

3

a
b
c
a +b +c
+
+
=
2bc 2ca 2ab
2abc

(

)

3
3
3
2
2
2

Ta cú a + b + c - 3abc = ( a + b + c) a + b + c - ab - bc - ca = 0

ị a3 + b3 + c3 = 3abc
3
Do vy, P =
2
2.1. (2.0 im)

0.75

ộy = 2 x
ờ
2
y
5
y
x
+
6
x
=
0

Ta cú
ờ
ờy = 3 x
ở
Vi y = 2 x ị 2x + 1 = 2 x x +

(

1.0

)

2

x - 1 = 0 , khụng cú x tha món.

ộ x =1
ờ

Vi y = 3 x ị 2x + 1 = 3 x ờ
ờx =1
ờ
2
ở

ộx = 1
ờ
ờ
ờx = 1
ờ
4
ở

1.0

ổ
1 3ử

ữ
.
ỗ ; ữ
T ú tỡm c cỏc im tha món l M ( 1;3) hoc M ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố4 2ứ
2.2. (2.0 im)

5
5
c ta c cx = c .
4
4
Nu c = 0, phng trỡnh nghim ỳng vi mi x ẻ Ă .
4
Nu c ạ 0, phng trỡnh cú nghim x = .
5
Vi a ạ 0,
ổ4
4 ử
16
8
16
64
8
ữ
D = b2 - 4ac = b2 - 4a ỗ
a

bữ
= b2 + ab + a2 = b2 + ab + a2 + a2
ỗ
ữ
ỗ
ữ
5 ứ
5
3
5
25
75
ố 6
Vi a = 0 ị b = -

2

ổ 8 ữ
ử
8
ữ
=ỗ
b
+
a
+ a2 > 0, " a ạ 0, " b. Suy ra, phng trỡnh luụn cú hai nghim phõn bit.
ỗ
ữ
ỗ
ố 5 ữ

ứ 75
Vy phng trỡnh luụn cú nghim.

1.0

1.0


3.1. (2.0 điểm)
Ta có
8
8
8
(a + b)2
2
2
³
=
;
a
+
b
³
nên
2
(a + b)2 + 4abc (a + b)2 + c(a + b)2 (c + 1)(a + b)2
8
a2 + b2
8
(a + b)2

+
³
+
³
2
4
(a + b)2 + 4abc
(c + 1)(a + b)2
2 2
c +1

=

8
2. 2( c + 1)

³

2 2
c +1

8
c+3

0.5

0.5

0.5

8
a2 + b2
8
+
³
Do đó,
2
2
c+3
(a + b) + 4abc
8
b2 + c2
8
8
a2 + c2
8
+
³
+
³
,
.
2
2
2
a + 3 (a + c) + 4abc
2
b+ 3
(b + c) + 4abc
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
3.2. (2.0 điểm)
Vì VP chia 3 dư 1 nên VT chia 3 dư 1. Mà bình phương của số nguyên tố chia 3 dư 1
hoặc 0 nên hai trong ba số a,b,c phải bằng 3.
Tương tự

0.5

0.5

TH1: a = b = 3 ta có 18 + 16c2 = 9k2 + 1 Þ 17 = 9k2 - 16c2 = (3k - 4c)(3k + 4c)
ìï 3k - 4c = 1
Þ ïí
Þ
ïï 3k + 4c = 17
î

ìï k = 3
ï
(thỏa mãn)
í
ïï c = 2
î

0.5

Vậy ta được ( a;b;c;k) = ( 3;3;2;3) .
TH2: Nếu c = 3 ; a = 3 hoặc b = 3.
Với a = 3 ta có
32 + b2 + 16×32 = 9k2 + 1 Þ 152 = 9k2 - b2 = (3k - b)(3k + b) = 23 ×19.

Vì 3k - b,3k + b cùng tính chẵn lẻ mà tích là chẵn nên chúng cùng chẵn.
Ta được các trường hợp:
ïìï 3k - b = 2
ïì k = 13
Û ïí
(thỏa mãn)
í
ïï 3k + b = 76 ïï b = 37
î
î
Ta được các bộ ( a;b;c;k) thỏa mãn là (a,b,c, k) = (3,37,3,13).
ïìï 3k - b = 4
ïì k = 7
Û ïí
(thỏa mãn)
í
ïï 3k + b = 38 ïï b = 17
î
î
Ta được các bộ ( a;b;c;k) thỏa mãn là (a,b, c, k) = (3,17, 3,7)
Tương tự ta có các bộ (a,b,c, k) = (37,3,3,13),(17,3,3,7).
4.1. (1.0 điểm)

1.0


Tam giác AOC cân tại O , có OD là
đường cao nên là phân giác trong góc
·
·

·
, do đó AOD
AOC
= COD
0.5

¼ nên DA = DM .
¼ = DM
Þ AD
Vậy tam giác AMD cân tại D.

0.5

4.2. (1.0 điểm)
·
·
D OEA = D OEC ( c.gc
. ) Þ OAE
= OCE
= 900.

0.5

Do đó, AE ^ AB. Vậy AE là tiếp tuyến chung của ( O ) và ( O ') .

0.5

4.3. (2.0 điểm)

Giả sử AM cắt ( O ) tại N ' . D OAN ' cân tại O, có OM ^ AN ' nên OM là đường trung

trực của AN ' Þ CA = CN '.
·
·
· 'A = CAM
·
· 'H = COH
·
Ta có CN
mà CAM
= DOM , do đó CN
. Bốn điểm C , N ',O, H
thuộc một đường tròn.
Suy ra, N ' thuộc đường tròn ngoại tiếp D CHO. Do vậy, N ' trùng với N . Vậy ba điểm
A, M , N thẳng hàng.
4.4. (2.0 điểm)
Vì ME / / AB và AB ^ AE nên ME ^ AE .
Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên

MO
MA
AO
=
=
Þ MA 2 = AO.EM (*)
EA
EM
MA
Dễ thấy D MEO cân tại M nên ME = MO. Thay vào (*) ta được MA 2 = OA.MO (**)
Đặt MO = x > 0 ta có MA 2 = OA 2 - MO 2 = a2 - x2.

Từ (**) suy ra a2 - x2 = ax Û x2 + ax - a2 = 0.
Từ đó tìm được OM =

(

)

1.0

1.0

1.0

1.0

5- 1 a
2

5.1. (1.5 điểm)
Dựng tam giác ANB vuông cân tại N (
A, B nằm khác phía đối với NP ).
·
Ta có AB 2 = 2AN 2 , BAN
= 450 và
D AMN = D BNP ( c.gc
. ) Þ AM = BP .

1.0

Do đó, AP 2 + AB 2 = AP 2 + 2AN 2 = AM 2 = BP 2 Þ D ABP vuông tại A.

0.5


·
·
·
Nên PAN
= PAB
+ BAN
= 900 + 450 = 1350
5.2. (1.5 điểm)
Gọi x1, x2, x3 là ba nghiệm của P ( x) ta có P ( x) = ( x - x1) ( x - x2 ) ( x - x3 )

(

) (

)(

)(

Suy ra, P Q ( x) = Q ( x) - x1 Q ( x) - x2 Q ( x) - x3

(

)

0.5

)

Do P Q ( x) = 0 vô nghiệm nên các phương trình Q ( x) - xi = 0( i = 1,2,3) vô nghiệm.
2
Hay các phương trình x + 2016x + 2017 - xi = 0( i = 1,2,3) vô nghiệm

2
2
Do đó, các biệt thức tương ứng D i ' = 1008 - ( 2017 - xi ) < 0 Û 2017 - xi > 1008
6
Suy ra, P ( 2017) = ( 2017 - x1) ( 2017 - x2 ) ( 2017 - x3 ) > 1008 .

1.0

Chú ý:
1. Học sinh làm đúng đến đâu giám khảo cho điểm đến đó, tương ứng với thang điểm.
2. HS trình bày theo cách khác mà đúng thì giám khảo cho điểm tương ứng với thang điểm.
Trong trường hợp mà hướng làm của HS ra kết quả nhưng đến cuối còn sai sót thi giám khảo
trao đổi với tổ chấm để giải quyết.
3. Tổng điểm của bài thi không làm tròn.
-----------Hết-----------