Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 2 BAI GIANG DIEN TU XSTK

Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên

§1: Đại lượng ngẫu nhiên
• Khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng có thể ngẫu
nhiên nhân một số giá trị với xác suất tương ứng xác định.
• Đại lượng ngẫu nhiên là rời rạc nếu số các giá trị của nó là
hữu hạn hoặc vô hạn đếm được
• Đại lượng ngẫu nhiên là liên tục nếu tập hợp tất cả các giá trị
có thể có của nó lấp đầy ít nhất 1 khoảng trên trục số.

1


§2: Các phương pháp mô tả đại lượng ngẫu nhiên
1. Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho rời rạc)
Định nghĩa 2.1: Ρ( Χ = x ) = p , i = 1,2,3,...k
1
i
hạn
( ...)
Χ x x ... x

⇔

∑p

i

Chú ý:

=1

Ρx

1

2

p1

p2

k

...

pk

(…) vô

( ...)

i

• Ví dụ 2.1: 1 người bắn lần lượt từng viên đạn vào bia với
xác suất trúng đích của mỗi viên là p, cho đến khi trúng thì
1 phối
2 xác
3 suất
... của ksố ...
Χphân

dừng. Hãy lập bảng
đạn đã bắn
⇔ xlại
ra cho đến khi dừng
Ρ p qp q 2 p ... q k −1 p...
2


Ví dụ 2.2: đề bài giống bài trên điều kiện ngừng là bắn trúng thì
ngừng hoặc bắn hết 20 viên thì ngừng
Χ
Ρx

1
p

2
pq

3. . . 19
pq 2 .. . pq18

20
q19

• 2. Hàm phân phối xác suất(rời rạc và liên tục):
• Định nghĩa 2.2: hàm phân phối xác suất của đại lượng
ngẫu nhiên XFlà:
X ( x) = F ( x ) = Ρ( X < x )
Tính chất: 1.F(x) là hàm không giảm

2. F ( − ∞ ) = 0, F ( + ∞ ) = 1
các t/c đặc trưng
3. Ρ( a ≤ X < b ) = FX ( b ) − FX ( a )
Hệ quả 1: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì
FX ( x )
liên tục trên toàn trục số
3


• Hệ quả 2: Nếu X liên tục thì Ρ( X = x0 ) = 0, ∀x0
• Hệ quả 3: Giả sử X rời rạc và có bảng phân phối xác suất
như trên.Khi ấy

FX ( x ) = ∑ pi
xi < x

• Ví dụ 2.3:
0
0,1

⇒ FX ( x ) = 
0,6
1

Χ
Ρ

2
5 7
0,1 0,5 0,4

nếu x ≤ 2
nếu 2 < x ≤ 5
nếu 5 < x ≤ 7
nếu 7 < x
4


Chú ý: Hàm phân phối FX ( x ) = 0 bên trái miền giá trị của X
và FX ( x ) = 1 bên phải miền giá trị của X.
• 3.Hàm mật độ xác suất(chỉ dùng cho đại lượng ngẫu nhiên
liên tục)
• Định nghĩa 2.3: Hàm mật độ xác suất của đại lượng ngẫu
/
nhiên X liên tục là:
f X ( x ) = f ( x ) =  FX ( x )  x
x
• Định lý 2.1:
F x = f t dt
X

• Tính chất:

( )
( 1)

∫

X

( )

−∞

f ( x) ≥ 0



+∞
 đặc trưng
t/c
2
f
(
x
)
dx
=
1
( )∫

−∞

b
(3) P (a < X < b) = ∫ f X ( x ).dx
a

5

Chú ý: 1.Trong trường hợp liên tục sự thay đổi tại 1 điểm không
có ý nghĩa.
2. Hàm mật độ
f X ( x ) = 0bên ngoài miền giá trị của X.
• Ví dụ 2.4:
2
•

( 1) a = ?
1=

+∞

∫

−∞

a cos x, x ∈ [ 0, π / 2]
X : f ( x) = 
x ∉ [ 0, π / 2]
0,

f ( x)dx =

π /2

∫
0

a

a cos xdx =
2
2

π /2

∫ ( 1 + cos 2 x ) dx
0

a  s in2x  π /2 a π
4
= x+
÷ = . ⇒a=
2
2 0
2 2
π
6


2. Hãy tìm hàm phân phối

FX ( x ) =

x

∫

−∞

FX ( x )

nếu x<0
0
x
2  sin 2 x 
 4 2
f ( t ) dt =  ∫ cos tdt =  x + ,nếu÷
0≤ x ≤π /2
π
2 
0 π
1
x >π /2
,nếu

3. Hãy tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng:

( −π / 4, π / 4 )

Ρ ( −π / 4 < X < π / 4 ) = F ( π / 4 ) − F ( −π / 4 )
=

π /4

∫π

− /4

f ( x ) dx =

π /4

∫

(4 / π ) cos 2 xdx

0

7


• Ví dụ 2.5: Hai cầu thủ bóng rổ lần lượt ném bóng vào rổ
cho đến chừng nào 1 người ném lọt rổ thì thôi. Lập dãy
phân phối của số lần ném của mỗi người nếu xác suất lọt rổ
p1, p2 .
của người thứ nhất,hai là
• Giải: Gọi q1 , q2 là xác suất ném trượt bóng của người 1,2
• X là số bóng của người thứ 1
• Y là số bóng của người thứ 2
• Z là tổng số bóng của cả 2 người

8


X
Ρ

X

1

2

. . .

k

. .

.

p1 + q1 p2 . q1q2 ( p1 + q2 p1 ) ..... q1k −1q2k −2 ( p1 + p2 q1 ) . . .

Y

0

ΡY

p1 q1 ( p2 + q2 p1 ) q1q2 q1 [ p2 + q2 p1 ]  . . . q1k −1q2k −1 [ ....] . . .

Z

2k − 1

Ρ

Z

1

q1k −1q2k −1 p1

2

. . .

k

. . .

2k
q1k q2k −1 p2

,

k = 1, 2,...

9


§3: Véc tơ ngẫu nhiên

I. Vectơ ngẫu nhiên
Giả sử X 1 , X 2 ,..., X nlà các đại lượng ngẫu nhiên được xác
định bởi kết quả của cùng 1 phép thử. Khi ấy X = ( X 1 , X 2 ,..., X n )
được gọi là một vectơ ngẫu nhiên n chiều
II. Véctơ ngẫu nhiên rời rạc 2 chiều(X,Y).
1. Bảng phân phối xác suất đồng thời:

Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij , i = 1, k ; j = 1, h

10


Y

y1

y2

…

yh

Px

x
x1

P11

P12

P1h

P1

x2

P21

P22

P2h

P2

xk

Pk1

Pk2

Pkh

Pk

PY

q1

q2

qh

1

…

11


2.Bảng phân phối xác suất lề của X và Y
pi = Ρ ( Χ = xi
q j = Ρ ( Y = yi

)
)

=

h

∑
j =1

=

k

∑
i =1

pij , i = 1, k
pij , j = 1, h

3.Điều kiện độc lập của X và Y
⇔ ∀i , j : pij = pi .q j

Định lý 3.1: X,Y độc lập
4.Các bảng phân phối xác suất có điều kiện.
Ρ ( X = xi / Y = y j ) =
Ρ (Y = y j / X = xi ) =

pij

qj
pij
pi

, i = 1, k
, j = 1, h
12


5.Hàm phân phối xác suất đồng thời(rời rạc và liên tục)
Định nghĩa 3.1:
F ( x, y ) = Ρ ( X < x , Y < y )
Tính chất:
(1) F ( x, y )là một hàm không giảm theo từng biến
(2) F (−∞, −∞) = 0, F (+∞, +∞) = 1
(3) Ρ(a ≤ x < b, c ≤ y < d ) = F (a, c) + F (b, d ) − F (a, b) − F (b, c)
Hệ quả:(1)Nếu X,Y liên tục thì F(x,y) liên tục trên toàn bộ mặt
phẳng.
(2)Giả sử X,Y rời rạc và có bảng phân phối xác suất như trên,
khi ấy ta có:
F ( x, y ) =
p

∑

xi < x
yj
ij

13


Ví dụ 3.1: Giả sử x,y có bảng phân phối xác suất sau:

y

3

5

0

0,1

0,2

0,3

2

0,3

0,4

0,7

0,4

0.6

1

ΡX

X

Ρ

Y

14


X

0 2

(1)Tìm bảng phân phối xác suất lề của X:
P X 0,3 0,7
(2) Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
0,1 ≠ 0, 3 − 0, 4 ⇒ X là
, Yphụ thuộc

X
0
2
(3)Tìm bảng phân phối của X khi Y=5:
0.2 0.4
(4)Tìm hàm phân phối:
P X / Y =5
0,
0.1,

F ( x, y ) = 0.1 + 0.2,
0.1 + 0.3,

1,

x ≤ 0∨ y ≤ 3

0.6

0.6

0 < x ≤ 2,3 < y ≤ 5
0 < x ≤ 2,5 < y
2 < x,3 < y ≤ 5
2 < x,5 < y
15


III. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục 2 chiều (X,Y)
1.Hàm phân phối xác suất đồng thời F(x,y)

2.Hàm mật độ xác suất đồng thời:
Định nghĩa 3.2:

f
Định lý 3.2:

(

∂ 2 F ( x, y )
x, y ) =
∂x∂y
x

y

F ( x, y ) = ∫ ∫ f ( u , v ) dudv
−∞ −∞
142
43
Dxy

16


.
HINH 3.1
17


Tính chất:

(1) f

( x, y )

(2) ∫∫
R2

(3)

≥0



f ( x, y ) dxdy = 1 TCDT



Ρ ( ( x, y ) ∈ D ) = ∫∫ f ( x, y ) dxdy
D

3. Các hàm mật độ xác suất lề.

fX
fY

( x)

∫
( y) = ∫
=

+∞

−∞
+∞

−∞

f

( x, y ) dy

f

( x, y ) dx
18


.Chú ý : Các hàm phân phối xác suất lề:

FX
FY

( x)
( y)

( x, +∞ )
F ( +∞, y )

= F

=

4.Điều kiện độc lập của X và Y
X,Y độc lập
⇔ f ( x, y ) = f X ( x ) . f Y ( y )

⇔ F ( x, y ) = FX ( x ) .FY ( y )
5.Các hàm mật độ xác suất có điều kiện:

f X / Y = y0 ( x ) =
fY / X = x0

f

(

fY

x , y0 )

(

y0 )

f ( x0 , y )
( y) =
f X ( x0 )

19

Ví dụ 3.2: Cho

 a.e − x − y
f ( x, y ) = 
0

6 44 7Ω 4 48
,nếu 0 ≤  x  ≤  y <+∞
,nếu trái lại

(1) Xác định tham số a.

1=

∫∫
R

= a∫

f

2

+∞

0

+∞

( x, y ) dxdy = a ∫0

e

−2 x

dx ∫

+∞

x

e − x − y dy

a
dx =
⇒a=2
2

20


(2).Tìm các hàm mật độ xác suất lề.
, nếu x<0
0

+∞
f x ( x ) = ∫ f ( x, y ) dx =  +∞ − x− y
−2 x
−∞

 ∫x 2e dy = 2e , x ≥ 0

21


HÌNH 3.2

22


HÌNH 3.3

23


, nếu y<0
0
f y ( y ) =  y − x− y
−y
−2 y
e
dx
=
2
e
−
e
(
),y≥0
 ∫0

3.Hãy kiểm tra tính độc lập của X và Y
Vậy ta có: f ( x, y ) ≠ f X ( x ) . fY ( y ) → X , Y phụ thuộc

24


4.Hãy tìm hàm mật độ xác suất của X khi Y=2

0, x < 0 ∨ 2 <
f ( x, 2 ) 
f X /Y = 2 ( x) =
=  2 x − x−2
,0 ≤ x ≤ 2
fY ( 2 )
 2 ( e −2 − e −4 )


x

Tương tự tìm hàm mật độ xác suất của Y khi X=3
0
nếu y<3
f 3, y

fY / X =3 ( y ) =

(

)


=  2e −3− y
f X ( 3)  −6
 2e nếu y 3

≥

25