Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chương 6 BAI GIANG DIEN TU XSTK

Chương 6. Lý thuyết ước lượng
§1. Khái niệm chung về ước lượng.
2
-Ký hiệu θ là a,p, hoặc σ
-Việc dùng kết quả của mẫu để đánh giá 1 tham số θnào đó
của tổng thể dược gọi là ước lượng
θ
1.Ước lượng điểm:
Chọn G=G(W),sau đó lấy θ ≈ G
E (G ) = θ
1.Không chệch:
2.Vững:
lim G = θ
n →∞
D(G ) → min
3.Hiệu quả:
4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn
nhất-xem SGK)
1


Kết quả:

a ≈ x :có đủ 4 tính chất trên.

p ≈ f :

σ 2 ≈ S 2 có
: đủ 4 tính chất trên.
∧
Không chệch

2
2
σ ≈S :
Hợp lý tối đa
2.Ước lượng khoảng:
θ ,θ
Định nghĩa: khoảng ( 1 2 )được gọi là khoảng ước lượng
γ = 1− α
θ
của tham số với độ tin cậy
nếu:

Ρ ( θ1 < θ < θ 2 ) = 1 − α

I = θ 2 − θ1 -độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy.
2


.
Sơ đồ giải: Chọn G ( W, θ ) sao cho G có quy luật phân
phối xác suất đã biết, tìm 2 số g1 , g 2 sao cho

Ρ ( g1 < G < g 2 ) = 1 − α

⇒ g1 < g ( w, θ ) < g 2
⇔ θ1 < θ < θ 2

3

§2. Ước lượng khoảng của tỷ lệ tổng thể p.
Bài toán: từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f.
Với độ tin cậy γ ,hãy tìm khoảng tin cậy của p.
f − p) n
(
G =U =
≈ Ν ( 0,1)
f ( 1− f )
Xét α1 , α 2 ≥ 0 : α1 + α 2 = α

Giải: Chọn

(

)

⇒ Ρ uα1 < U < u1−α 2 = 1 − α
⇒ − Z 2α1 = uα1
⇔ f−

f − p) n
(
<
< u1−α
f ( 1− f )

f ( 1− f )
n

.Z 2α 2 < p < f +

2

= Z 2α 2
f (1− f )
n

.Z 2α1
4


Ta xét 3 trường hợp riêng quan trọng:
f ( 1− f )

1)α1 = α , α 2 = 0 ⇒ −∞ < p < f +

tốiđa)

2)α1 = 0, α 2 = α ⇒ f −

f ( 1− f )
n

α
3)
α
=
α
=
⇒ε =

thiểu)1
2
2

n

.Z 2α (Ước lượng

.Z 2α < p < +∞

f ( 1− f )
n

.Zα

(Ước lượng tối

⇒ f −ε < p < f +ε
⇒ I = 2ε

(Độ chính xác)
(Đối xứng)
 f ( 1− f )

2
n=
.
Z
+ 1 tin cậy)
(Độ

dài
α khoảng
2



ε



5


.Quy ước: Nếu đề bài không nói rõ thì ta xét ước lượng
đối xứng.
Ví dụ 2.1:
Để diều tra số cá trong hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300
con,làm dấu rồi thả xuống hồ,lần 2 bắt ngẫu nhiên 400
con thấy 60 con có dấu. Hãy xác định số cá trong hồ với
đô tin cậy bằng 0.95.

6


Gọi N là số cá trong hồ
P là tỷ lệ cá bị đánh dấu trong hồ

300
Ρ=
N

n = 400, m = 60 → f = 0,15
0,15.0,85
0,15.0,85
ε=
.Z 0,05 =
.1,96
400
400
300
→ f −ε < Ρ =
< f +ε ⇒ ? < N < ?
N

7


Ví dụ 2.2:Cần lập một mẫu ngẫu nhiên với kích thước bao
nhiêu để tỷ lệ phế phẩm của mẫu là 0,2 ;độ dài khoảng
tin cây đối xứng là 0,02 và độ tin cây là 0.95.
Bài giải: γ = 0,95, I = 0, 02, f = 0, 2 ⇒ n

I = 0, 02 ⇒ ε = 0, 01
 0, 2.0,8

2
n=
. 1,96 )  + 1
2 (
 ( 0, 01)


8


§3. Ước lượng khoảng của trung bình tổng thể a
Bài toán:Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n có trung bình
mẫu x và phương sai điều chỉnh mẫu S 2 . Với độ tin cậy
γ ,hãy tìm khoảng ước lượng của trung bình tổng thể a.
Bài giải.Ta xét 3 trường hợp:
2
TH1. Đã biết phương sai tổng thể
Chọn
Xét

x − a)
(
G =U =

σ

σ

n

: N ( 0,1)

α1,2 ≥ 0; α1 + α 2 = α ⇒ − Z 2α

1

x − a)
(
<

σ

n

< Z 2α 2

9


.

σ
1.α1 = α , α 2 = 0 ⇒ −∞ < a < x +
.Z 2α
n

(Ước lương trung bình tối đa)

σ
2.α1 = 0, α 2 = α , → x −
.Z 2α < a < +∞
n
thiểu)

3.α1 = α 2 =

α

2

→ε =

σ

n

.Zα

→ x −ε < a < x +ε
2
 δ
 
n =  .Zα ÷  + 1,
 
 ε

(Ước lượng tối

(Độ chính xác)
(Đối xứng)
I = 2ε

10


TH2. Chưa biết phương sai tổng thể σ , n ≥ 30

2

Chọn:

x − a)
(
G =U =
S

n

: N ( 0,1)

S
S
α1,2 ≥ 0; α1 + α 2 = α ⇒ x − .Z 2α 2 < a < x +
.Z 2α1
n
n
Kết quả tương tự TH1: thay σ bằng S
2
σ
,
TH3.Chưa biết phương sai tổng thể
Chọn
Xét

x − a)
(
G =T =

α1,2

n

S
≥ 0; α1 + α 2 = α

n < 30

: T ( n − 1)

11


.

(

⇒ Ρ tα1 ( ) < T < t1−α 2 (
⇒ −T2α1

( n −1)

x − a)
(
<
S

)

) = 1− α
n

< T2α 2 (

n −1)

S
S
( n −1)
( n −1)
⇔ x−
T2α 2
.T2α1
n
n
Kết quả tương tự TH2 : Thay Z 2α bằng

T2α

( n −1)

12


Ví dụ 3.1.
phí nguyên liệu cho 1 sản phẩm là 1 đại
σ =Hao

0, 03.
lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn vớí độ lệch
Người
chuẩnta sản xuất thử 36 sản phẩm và thu được bảng số liệu:
19,5-19,7 19,7-19,9 19,9-20,1 20,1-20,3
Mức hao phí
nguyên liệu(gam)
Số sản phẩm

6

8

18

4

Với độ tin cậy 0,99,hãy ước lượng mức hao phí nguyên liệu
trung bình cho 1 sản phẩm nói trên.
TH1.

σ = 0, 03, x = 19,91111, α = 0, 01 ⇒ Z 0,01 = 2,575
0, 03
⇒ε =
.2,575 = 0, 012875
36
x −ε < a < x +ε

13

Ví dụ 3.2. Để ước lượng xăng hao phí trung bình cho 1 loại
xe ô tô chạy trên đoạn đương từ A đến B ,chạy thử 49
lần trên đoạn đường này ta có bảng số liệu:
Lượng xăng hao
phí(lit)
Số lần

9,6-9,8

9,8-10,0

10,010,2

10,210,4

10,410,6

4

8

25

8

4

Với độ tin cậy 0.95,hãy tìm khoảng tin cậy cho mức hao
phí xăng trung bình của loại xe nói trên.

14


Giải
.

TH 2 : n = 49, γ = 0,95
x = 10,1, S = 0, 2
Z 0,05 = 1,96
1,96.0, 2
ε=
= 0, 056
7
⇒ 10, 044 < a < 10,156
15


§4. Ước lượng khoảng của phương sai tổng thể

σ

2

Bài toán: Từ tổng thể lấy 1 mẫu kích thước n, có phương
sai hiệu chỉnh mẫu σ 2 . Với độ tin cậy γ hãy tìm
2
khoảng ước lượng của phương sai tổng thể σ
Bài giải
2

n
−
1
σ
(
)
2
2
G
=
χ
=
:
χ
(n − 1),
α1,2 ≥ 0 : α1 + α 2 = α
Chọn
2
S

(

)

→ Ρ χα21 (n − 1) < χ 2 < χα22 (n − 1) = 1 − α

( n − 1) S 2

χα22 (n − 1)

2
n
−
1
S
(
)
<σ2 <

χα21 (n − 1)

α
Quy ước lấy α1 = α 2 = (nếu không cho α1 , α 2 )
2
16


Ví dụ 3.1:Để định mức gia công 1 chi tiết máy,người ta theo
dõi quá trình gia công 25 chi tiết máy,và thu được bảng số
liệu sau:

Thời gian gia
công (phút)
Số chi tiết máy

15-17

17-19

19-21

21-23

23-25

25-27

1

3

4

12

3

2

a)Với độ tin cậy 0,95,hãy tìm khoảng tin cậy cho thời gian
gia công trung bình 1 chi tiết máy.
b)Với độ tin cậy 0,95,hãy tìm khoảng tin cậy cho phương
sai.
17


Giải
a)TH3

n = 25, γ = 0,95, x = 21,52, S = 2, 4

24
T0,05
= 2, 064

b)

2, 064.2, 4
ε=
= 1, 2672
5
⇒ 20, 2528 < a < 22, 7872

2
2
24.2,
4
24.2,
4
2
2
χ 0,975
(24) = 12, 40, χ 0,025
(24) = 39,36 ⇒
<σ2 <
39,36
12, 40

18