Bài toán tiếp điểm toán 12 ôn thi THPTQG

BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM
Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M0 ∈ (C) thỏa mãn điều
kiện cho trước.
Phương pháp:
Bước 1: Giả sử M0 ∈ (C) với y0 = f(x0)
Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo x0, từ đó
suy ra y0 và kết luận về điểm cần tìm.
Loại 1: Tìm điểm liên quan tới tiếp tuyến
VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1: Tìm trên đồ thị của hàm số
vuông góc với đường thẳng

các điểm mà tại đó tiếp tuyến đồ thị
.
Giải

Gọi M0(x0; y0) ∈ (C) ⇔
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: k1 = y’(x0) = x02 – 1 với y’ = x2 – 1.
Đường thẳng d:

có hệ số góc

Theo giả thiết:
∆ ⊥ d ⇔ k1.k2 = -1 ⇔ (
Vậy có hai điểm thỏa mãn là

)(
(

)
) hoặc

⇔
(

⇔[
)

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 – 3x + 2 (C). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d có phương
trình y = -3x + 2 sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) và hai tiếp tuyến đó vuông
góc với nhau.
Giải
Gọi M(a; b) là điểm cần tìm. M thuộc d nên b = -3a + 2.
Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (x0; y0) là:
y= (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 + 2.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

1


Tiếp tuyến đi qua M(a; b) ⇔ - 3a + 2 =(3x02 – 3)(a – x0) + x03 – 3x0 + 2.
⇔2x03 – 3ax02 = 0 ⇔ x0 = 0 hoặc x0 =

.

Có hai tiếp tuyến đi qua M với hệ số góc là:
k1 = f’(0) = -3 và k2 =

( )

Hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
⇔k1.k2 = -1 ⇔

√

⇔

Vậy có hai điểm thỏa mãn đề bài là:

√

(

√

)

Ví dụ 3: Cho hàm số y =x(x2 – 1) (1). Tìm trên (C) hai điểm M, N phân biệt sao cho MN = 2 và
các tiếp tuyến với (C) tại hai tiếp điểm M, N là song song với nhau.
Giải
Xét 2 điểm M(x1; y1), N(x2; y2) phân biệt trên (C).
Các tiếp tuyến với (C) tại hai tiếp điểm M, N là song song với nhau nên kM = kN
⇔3x12 – 1 = 3x22 – 1 => x1 = -x2 (loại trường hợp x1 = x2 vì M, N phân biệt)
Suy ra M(x1, x13 – x1), N(-x1, - x13 + x1) là đối xứng nhau qua O.
Do đó MN = 2 ⇔ OM = 1 ⇔ x12 + (x13 – x1)2 = 1
⇔x16 – 2x14 + 2x12 – 1= 0 ⇔ x12 = 1.
Vậy M(1;0), N(-1;0) là hai điểm cần tìm.
Ví dụ 4: Cho hàm số

có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm tọa độ

các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
Giải
Hàm số đã cho
Xét M(a;b) ∈ (C) => b = 2 -

( ) (
(

)
)

Hệ số góc của tiếp tuyến với (C) tại M là k1 = y’(a) = (

)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

2


Hệ số góc của IM là

(

)

Theo đề =>k1.k2 = - 1 ⇔ (a + 4)4 = 9 ⇔ a + 2 =
√
√

⇔[

√

√
√

Vậy các điểm phải tìm là (

√ )(

√

√ )

√

Ví dụ 5: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) y = x3 – 3x2 +1 sao cho tiếp tiếp của (C) tại A và B
song song với nhau và đồ thị đoạn AB = √ .
Giải
Giả sử A(a; a3 – 3a2 +1), B(b; b3 – 2b2 + 1) (a ≠ b)
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra
y’(a) = y’(b) ⇔ (a – b) (a + b – 2) = 0
⇔a + b – 2 = 0 ⇔ b = 2 – a =>a ≠ 1 (Vì a ≠ b)
AB2 = (b – a)2 + (b3 – 3b2 +1 – a3 + 3a2 -1)2 = 4(a – 1)6 – 24 (a – 1)4 + 40 (a – 1)2
AB = 4√ ⇔ 4(a – 1)6 – 24(a – 1)4 +40 (a – 1)2 = 32 ⇔ *
=>A(3;1) hoặc B(-1; -3).
Ví dụ 6: Cho hàm số

. Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(-1; 2) tới tiếp

tuyến của (C) tại M là lớn nhất.
Giải
Giả sử

(

) ∈ ( ) thì tiếp tuyến tại M có phương trình
(

)

(

) hay (x – x0) – (x0 +1)2 (y – 2) – (x0 + 1) = 0

Khoảng cách từ I(-1; 2) tới tiếp tuyến là:
(

)
√

(

(

)
)

√

(

)

√

(

)

(

)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

3


Theo bất đẳng thức Cô si (

(

)

)

√ .

, Vậy d

Khoảng cách d lớn nhất bằng √ khi
(

)

(

) ⇔(

)

⇔[

Vậy có hai điểm M: M(-2; 3) hoặc M(0;1).
Ví dụ 7: Cho hàm

có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M

của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất.
Giải
) ∈ ( ) Ta có:

(

Lấy điểm

Tiếp tuyến d tại M có phương trình:

( )
(

)

(

)

(

Giao điểm của d với tiệm cận đứng là: (

.

)

.

)

Giao điểm của d với tiệm cận ngang là: B(2x0 – 2; 2)
*(

Ta có:

)

(

)

+

(

)
(
(

Dấu “=” xảy ra khi [

(

)

√

)
)

Vây điểm M cần tìm có tọa độ là: M(2;2)
Ví dụ 8: Cho hàm số

có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận của (C). Tìm

các điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) lần lượt tại
A và B sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất.
Giải

Với x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại
(

)

(

(

) có phương trình:

)

Đường thẳng d cắt tiệm cận đứng tại A(

)

Đường thẳng d cắt tiệm cận ngang tại B(2x0 – 1; 1)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

4


Tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có đường kính là AB.
Goi P là chu vi của đường tròn, ta có: P = π.AB
P nhỏ nhất khi và chỉ khi AB nhỏ nhất, ta có:
√(

)

√ (

(

)

(

) ⇔(

)

(

)

√

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
(

)

Với

ta có M(0;0)

Với

ta có M(2;2)

Ví dụ 9: Cho hàm số

)

⇔[

có đồ thị là (C). Gọi H là giao điểm của hai đường tiệm cận của

(C). Tìm trên đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thỏa mãn IA2 + IB2 = 40.
Giải
TCĐ (d1): x =-1, TCN (d2): y = 2 =>I(-1;2). Gọi
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M: (∆):

(

)∈( ) (

(
)

(

)

)
.

Tọa độ điểm A =(∆) ∩ (d1) là nghiệm của hệ

{

(

)

(

)

(

)

Theo giả thiết:
IA2 + IB2 = 40 ⇔ {(
(
⇔{

)

(

(

)

)

)

⇔x0 = 2 => y0 = 1 =>M(2; 1)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

5


( ). Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M

Ví dụ 10: Cho hàm số

cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác ABI là nhỏ nhất (I là
giao điểm của hai tiệm cận).
Giải
Gọi

(

)∈( )

Tiếp tuyến tại M có phương trình:

(

)

(

)

Giao điểm với tiệm cận đứng x = -1 là (

)

Giao điểm với tiệm cận ngang y = 2 là B(2a +1; 2)
Giao hai tiệm cận I(-1;2). Ta có
√

√

(PIAB)min = √

√ ⇔

√ .

Vậy điểm M(

√

=>

(

)

√

√

√ ) thỏa mãn.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất!

6