[toanmath.com] - Bài tập trắc nghiệm hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Trần Quốc Dũng (1-135)

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phần 1: Các hàm số lượng giác

2.1. Mối liên hệ giữa tập xác định với các hàm số (Các hàm có thể chứa căn)
2.1.1. Hàm liên quan tới sin và cosin (4 câu)
y = sin

Câu 1: Tập xác định của hàm số
A.
C.

B.

D = (−∞; −1) ∪ (0; +∞)

D = [0; +∞)

B.

C.

D.
y = sin − x

y = cos 1 − x 2

C.

B.
D.

x +1
x

B.

D = (−∞; −1] ∪ (0; +∞)

D.

y = 1 − cos 2 x

D=R

D.

D = [ − 1;1]
D = (−∞; −1] ∪ [1; +∞)

là

D = [ − 1;0)

Câu 5: Tập xác định của hàm số

D=R

là

D = (−∞; −1) ∪ (1; +∞)

Câu 4: Tập xác định của hàm số
A.

C.

D = (−1;1)

y = cos

D = (−1; +∞)

là

D = (−∞;0)

Câu 3: Tập xác định của hàm số
A.

là

D = R \{ − 1}

Câu 2: Tập xác định của hàm số
A.

x
x +1

là

D = R \{0}
D = (0; +∞)

D = (−∞;0]


A.

C.

D=R

 kπ

D = R\
k ∈ Z
 2


Câu 6: Tập xác định của hàm số

A.

C.

B.

D.

π


D = R \  + kπ k ∈ Z
2


B.

D = R \ { kπ k ∈ Z}

D.

Câu 7: (Nâng cao) Tập xác định của hàm số

C.

π

D = R \  + kπ k ∈ Z
2


B.

D = R \ { k 2π k ∈ Z}

D.

Câu 8: (Nâng cao) Tập xác định của hàm số

C.

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
2


D = R \ { k 2π k ∈ Z}

D = R \ { k 2π k ∈ Z}

D.

là

D = R \ { kπ k ∈ Z}
 kπ

D = R\
k ∈ Z
 2


1
1 − sin x

B.

là

D = {0}

1 − cos x
sin x

y=

A.

D = R \ { kπ k ∈ Z}

y = cos x − 1 + 1 − cos 2 x

y=

A.

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
2


là

D = R \ { kπ k ∈ Z}
π

D = R \  + kπ k ∈ Z
2



2.1.2.Hàm liên quan tới tan và cotan (2 câu)

Câu 9: Tập

 kπ

D = R\ 
k ∈ Z
 2


là tập xác định của hàm số nào sau đây?


A.

y = tan x

B.

y = cot x
y = tan x

Câu 10: Tập xác định của hàm số

A.

C.

C.

A.

C.

D.

 π
y = tan  x + ÷
4


B.

π

D = R \  + kπ k ∈ Z
8


D.

 π
y = cot  x + ÷
3


y = tan 2x

π

D = R \  + kπ k ∈ Z
2


D = R \ { k 2π k ∈ Z}

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
4

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
2


là

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
6


π


D = R \  + kπ k ∈ Z
6


B.

D.

π

y = cot  2x + ÷
4


 π

D = R \ − + kπ k ∈ Z
 4


D.

là

π

D = R \  + kπ k ∈ Z
4


Câu 13: Tập xác định của hàm số

A.

B.

D = R \ { kπ k ∈ Z}

Câu 12: Tập xác định của hàm số

y = cot 2x

là

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
2


Câu 11: Tập xác định của hàm số

A.

C.

 π

D = R \  − + kπ k ∈ Z
 3



 π

D = R \  − + k 2π k ∈ Z
 3


là

B.

 π

D = R \  − + kπ k ∈ Z
 8



C.

 π kπ

D = R \ − +
k ∈ Z
 8 2


D.

 π kπ

D = R \ − +
k ∈ Z
 4 2


2.1.3. Hàm hỗn hợp và dùng kỹ thuật đánh giá hoặc sử dụng các công thức biến đổi (2 câu)

y=
Câu 14: Tập xác định của hàm số

A.

C.

B.

D = R \ { kπ k ∈ Z}

D.

Câu 15: Tập xác định của hàm số

C.

C.

1
1

+
sin x cos x

D = R \ { kπ k ∈ Z}

y = cot x +

A.

D.

B.

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
2


π

D = R \  + kπ k ∈ Z
2


D = R \ { π + k 2π k ∈ Z}

D = R \ { k 2π k ∈ Z}
 kπ


D = R\
k ∈ Z
 2


y = 1 − sin x + 1 − cos x

D=R

Câu 17: Tập xác định của hàm số

D = R \ { k 2π k ∈ Z}

là

B.

 π

D = R \ − + kπ k ∈ Z
 2


Câu 16: Tập xác định của hàm số

A.

là

π


D = R \  + kπ k ∈ Z
2


y=

A.

1 − sin x
1 + cos x

D.
1
1 + tan 2 x

B.

là

D = R \ { k 2π k ∈ Z}
 kπ

D = R\
k ∈ Z
 2


là

D = R \ { kπ k ∈ Z}


C.

 kπ

D = R\
k ∈ Z
 2


D.
y=

Câu 18: Tập xác định của hàm số

A.

C.

1
sin x + cos x

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
4

 kπ


D = R\
k ∈ Z
 2


π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
2


là

B.

D.

 π

D = R \  − + kπ k ∈ Z
 4


 π

D = R \  − + k 2π k ∈ Z
 4


2.2. Mối liên hệ giữa các hàm số và bảng biến thiên của chúng
* Nhận dạng từ đồ thị
Câu 19: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào cho dưới đây

A.

y = 1 + sin x

B.

y = cos 2 x

C.

y = sin x

Câu 20: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào cho dưới đây

D.

y = cos x


A.

y = sin x

B.

y = cos x

C.

y = sin 2 x

D.

y = 1 + cos x

Câu 21: Bảng biến thiên sau là của hàm số nào cho dưới đây

A.

 π
y = cot  x + ÷
4


B.

y = cot x

C.

 π
y = tan  x + ÷
4


D.

y = tan x

* Từ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu
Câu 22: Xét hàm số

y = sin x

A. Trên các khoảng

B. Trên khoảng

trên đoạn

[ − π ;0]

π  π 

 −π ; − ÷  − ;0 ÷
2  2 

;

π

 −π ; − ÷
2


. Câu khẳng định nào sau đây là đúng?

hàm số luôn đồng biến

hàm số đồng biến và trên khoảng

 π 
 − ;0 ÷
 2 

hàm số nghịch

biến

C. Trên khoảng

π

 −π ; − ÷
2


hàm số nghịch biến và trên khoảng

 π 
 − ;0 ÷
 2 

hàm số đồng

biến

D. Trên các khoảng
Câu 23: Xét hàm số

π  π 

 −π ; − ÷  − ;0 ÷
2  2 


y = sin x

;

trên đoạn

[0; π ]

hàm số luôn nghịch biến

. Câu khẳng định nào sau đây là đúng?


A. Trên các khoảng

B. Trên khoảng

C. Trên khoảng

 π

 0; ÷
 2

B. Trên khoảng
C. Trên khoảng

D. Trên các khoảng

;

B. Trên khoảng

C. Trên khoảng

( 0; π )

hàm số nghịch biến và trên khoảng

;

trên khoảng

 π 
 − ;0 ÷
 2 
 π 
 − ;0 ÷
 2 

hàm số đồng biến

. Câu khẳng định nào sau đây là đúng?

hàm số đồng biến và trên khoảng

 π π
− ; ÷
 2 2

π 
 ;π ÷
2 

hàm số ln nghịch biến

 π  π 
 0; ÷  ; π ÷
 2 2 

y = tan x

A. Trên khoảng

trên đoạn

hàm số nghịch biến

hàm số luôn nghịch biến

[-π ; π ]

( −π ; 0 ) ( 0; π )

( −π ; 0 )

π 
 ;π ÷
2 

hàm số nghịch biến và trên khoảng

;

( −π ; 0 )

hàm số luôn đồng biến

hàm số đồng biến và trên khoảng

 π  π 
 0; ÷  ; π ÷
 2 2 

y = cos x

A. Trên các khoảng

Câu 25: Xét hàm số

;

 π
 0; ÷
 2

D. Trên các khoảng
Câu 24: Xét hàm số

 π  π 
 0; ÷  ; π ÷
 2 2 

hàm số nghịch biến

( 0; π )

hàm số đồng biến

hàm số ln đồng biến

 π π
− ; ÷
 2 2

. Câu khẳng định nào sau đây là đúng?

hàm số luôn đồng biến

hàm số đồng biến và trên khoảng

 π
 0; ÷
 2

hàm số nghịch biến và trên khoảng

hàm số nghịch biến

 π
 0; ÷
 2

hàm số đồng biến


D. Trên khoảng
Câu 26: Xét hàm số

 π π
− ; ÷
 2 2

y = cot x

A. Trên khoảng

B. Trên khoảng

( −π ; 0 )

hàm số luôn nghịch biến

trên khoảng

( −π ; 0 )

. Câu khẳng định nào sau đây là đúng?

hàm số ln đồng biến

π

 −π ; − ÷
2


hàm số đồng biến và trên khoảng

 π 
 − ;0 ÷
 2 

hàm số nghịch

biến

C. Trên khoảng

π


 −π ; − ÷
2


hàm số nghịch biến và trên khoảng

 π 
 − ;0 ÷
 2 

hàm số đồng

biến
D. Trên khoảng

( −π ; 0 )

hàm số luôn nghịch biến

2.3. Mối quan hệ giữa các hàm số và tính chẵn lẻ (4 câu)
Câu 27: Chọn khẳng định sai về tính chẵn lẻ của hàm số trong các khẳng định sau:
A. Hàm số
C. Hàm số

y = sin x

y = tan x

là hàm số lẻ
là hàm số chẵn

B. Hàm số
D. Hàm số

y = cos x

y = cot x

là hàm số chẵn
là hàm số lẻ

Câu 28: Trong các hàm số sau đâu là hàm số chẵn?
A.

y = sin 2 x

B.

y = 3sin x + 1

C.

y = sin x + cos x

D.

y = cos 2 x

Câu 29: Trong các hàm số sau đâu là hàm số lẻ?
A.

C.

y = cos(−3x )

B.

y = cos 2 x + cos x

D.

y = sin x.cos 2 x + tan x
y = cos 2 x

Câu 30: Trong các hàm số sau đâu là hàm số chẵn?
A.

y = sin 4 x

B.

y = sin x.cos x

C.

y = sin x + sin 3 x

D.

y = tan 2 x

Câu 31: Trong các hàm số sau đâu là hàm số lẻ?
A.
C.

y = cos 4 x + sin 4 x

B.

y = 2sin x − 2

D.

y = sin x − cos x

y = cot x

2.4. Mối quan hệ giữa các hàm số và tính tuần hồn, chu kỳ (4 câu)
Câu 32: Khẳng định nào sau đây là sai về tính tuần hoàn và chu kỳ của các hàm số?
A. Hàm số
B. Hàm số
C. Hàm số
D. Hàm số
Câu 33: Hàm số

A.

y = sin x
y = cos x

y = tan x
y = cot x

y = sin 2x

2π

Câu 34: Hàm số

A.

là hàm số tuần hoàn chu kỳ
là hàm số tuần hoàn chu kỳ
là hàm số tuần hoàn chu kỳ

x
3

2π

π

B.

Câu 35: Hàm số
4π

Câu 36: Hàm số

B.

y = sin 2 x

π
π

C.

π
2

D.

π
4

tuần hoàn với chu kỳ
π
3

y = sin 2x + cos

A.

π

tuần hoàn với chu kỳ

B.
y = cos

2π

là hàm số tuần hoàn chu kỳ

x
2

C.

6π

D.

3π

tuần hoàn với chu kỳ

π

tuần hoàn với chu kỳ

C.

π
2

D.

π
4

A.

2π

Câu 37: Hàm số

A.

y = tan x+cot3x

π
3

Câu 38: Hàm số

A.

B.

B.

π

B.

D.

4π

tuần hoàn với chu kỳ
3π

y = 2sin x.cos 3x

π
3

C.

π
2

C.

π
6

D.

π

tuần hoàn với chu kỳ

6π

C.

π

2

D.

π

2.5. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác
2.5.1. Hàm số đánh giá dựa vào điều kiện hoặc tập giá trị (4 câu)

Câu 39: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.

M = 5; m = 1

B.

M = 5; m = 3

C.

M = 3; m = 1

Câu 40: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.

M = 1; m = −1

B.

M = 2; m = 0

C.

M = 2; m = −1

B.

M = 1; m = − 2

C.

A.

M = 4; m = −1

B.

M = 0; m = −1

C.

D.

y = sin x + cos x

M = 2; m = − 2

Câu 42: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số

D.

y = 4sin x

M = 4; m = 0

D.

là

M = 3; m = 0

π

y = 1 − sin  2x + ÷
4


M = 2; m = 1

Câu 41: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.

 π
y = 2cos  x + ÷+ 3
3


là

M = 1; m = 0

là

M = 1; = −1

là
D.

M = 4; m = −4


Câu 43: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.

M = 1; m = 0

B.

M = 1; m = −1

C.

M = 0; m = −1

Câu 44: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.

M = 1; m = −1

B.

M = 0; m = −1

C.

y = cos x

trên

 π π
 − 2 ; 2 

là

D. Cả A, B, C đều sai

y = sin x

M = 1; m = 0

trên

 π 
 − 2 ;0 

là

D. Đáp số khác

2.5.2. Đặt ẩn phụ đưa về hàm số bậc 2 (4 câu)

Câu 45: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.

M = 8; m = 2

B.

M = 5; m = 2

C.

M = 8; m = 4

Câu 46: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
M = 3; m =

A.

1
4

M =

B.

13
;m =1
4

M =

C.

A.

5
2

B.

M = 2; m = −2

A.

3
2

M = 0; m = −

B.

1
2

A.

7
1
M = ;m = −
4

4

B.

9
1
M = ;m = −
4
4

M =

C.

5
2

M = 3; m = 1

D.

là

M = 0; m = −2

y = sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x

3
M = ;m = 0
2

Câu 49: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số

là

y = cos 2 x − 2cos x − 1

C.

C.

D.

là

M = 8; m = 5

y = sin 2 x + cos x +2

M = −2; m = −

Câu 48: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
M = 0; m = −

D.

13
;m = 3
4

Câu 47: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
M = 2; m = −

y = sin 2 x + 2sin x+5

D.

là

3
1
M = ;m = −
2
2

3
y = sin 6 x + cos 6 x + sin 2 x + 1
2

11
1
;m = −
4
4

M =

D.

11

;m = 2
4

là


Câu 50: Giá trị lớn nhất (M); giá trị nhỏ nhất (m) của hàm số
A.
C.

M = 4 + 2 2; m = 1

B.

M = 4 − 2 2; m = 1

D.

y = 3 + sin 2x+2(cosx+sinx)

là

M = 4 + 2 2; m = 2 2 − 4
M = 4 − 2 2; m = 2 2 − 4

2.6. Ứng dụng phép tịnh tiến, đối xứng tâm vào vẽ đồ thị hàm số (2 câu)
Câu 51: Cho đồ thị hàm số
sau đây?
A.

y = cos x + 2

Câu 52: Phép tịnh tiến vectơ

A.

C.

y = cos x

B.

. Tịnh tiến lên trên hai đơn vị ta được đồ thị hàm số nào

y = cos x − 2

r π 
u =  ;1÷
4 

C.

y = cos( x + 2)

biến đồ thị hàm số

 π
y = cos  x − ÷+ 1
4


B.

 π
y = sin  x + ÷− 1
4


D.

y = sin x

y = cos( x − 2)

thành đồ thị hàm số

 π
y = sin  x − ÷+ 1
4


π

y = cos  − x ÷− 1
4 

Câu 53: Khẳng định nào sau đây là đúng về vẽ đồ thị hàm số

y = sin x

D.

y = sin( x − 3)

từ đồ thị hàm số

?

A. Tịnh tiến lên trên 3 đơn vị

B. Tịnh tiến sang trái 3 đơn vị

C. Tịnh tiến xuống dưới 3 đơn vị

D. Tịnh tiến sang phải 3 đơn vị

2.7. Câu hỏi khác (1 câu)
Câu 54: Câu khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số
B. Hàm số

y = sin x

y = tan x

có tập giá trị là
có tập giá trị là

[ − 1;1]
R

C. Hàm số
D. Hàm số

y = tan x
y = cot x

x=

có một đường tiệm cận là đường thẳng
có một đường tiệm cận là đường thẳng

π
2

y =π

Phần 2: Phương trình lượng giác cơ bản
2.1. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình
sin x =

Câu 55: Nghiệm của phương trình

A.

C.

π


 x = 6 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = 2π + k 2π

3

Câu 56: Phương trình

α +β

A.

B.

D.

3
2

π

 x = 3 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = 2π + k 2π

3

π


 x = 6 + kπ
( k ∈ Z)

 x = 5π + kπ

6

có hai họ nghiệm dạng

x = α + kπ ; x = β + kπ (k ∈ Z)

bằng
3π
2

B.

π
3

Câu 57: Nghiệm của phương trình
x=−

A.

(5 câu)

là

π

 x = 6 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = 5π + k 2π

6

sin 2x =

đó

1
2

sin x = m

π
+ k 2π (k ∈ Z)
3

C.

π

sin  x + ÷ = 0
3


2π
3

D.

là
x=−

B.

π
+ kπ (k ∈ Z)
3

π
2

. Khi


x=

C.

π
+ k 2π (k ∈ Z)
6

sin ( x + 45° ) = −
Câu 58: Nghiệm của phương trình

A.

C.

 x = −90° + k 360°
 x = 90° + k 360° (k ∈ Z)


Câu 59: Phương trình

αβ

A.

C.

D.

là

 x = −90° + k180°
 x = 180° + k 360° (k ∈ Z)

 x = k 360°
 x = 270° + k 360° (k ∈ Z)


có hai họ nghiệm có dạng

x = α + kπ ; x = β + kπ ( k ∈ Z)

bằng

π2
−
9

B.

π
−
9

Câu 60: Nghiệm của phương trình

A.

3
2

2
2

B.

 x = −90° + k 360°
 x = 180° + k 360° (k ∈ Z)


sin 2x = −

Khi đó

x = kπ (k ∈Z)

D.

C.

π

 π
sin  2x − ÷− sin  x + ÷ = 0
5
5



π

 x = 10 + kπ
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π

3

B.

2π

x
=
+ k 2π

5
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π

3

D.
sin x =

Câu 61: Nghiệm của phương trình

4π 2
−
9

1
3

là

D.

là

π

 x = 10 + kπ
( k ∈ Z)

 x = π + k 2π

3
3
2π

x
=
+ k 2π

5
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π

3
3

π2
9

.

A.

C.

1

 x = 3 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = π − 1 + k 2π

3

π

 x = 3 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = 2π + k 2π

3

D.

Câu 62: Nghiệm của phương trình

A.
C.

B.

sin x = 2

B.

x = arcsin(2) + k 2π (k ∈Z)

D.

2.2. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình

Câu 63: Nghiệm của phương trình

A.

C.

π

x
=
+ kπ

3
( k ∈ Z)

 x = − π + kπ

3

cos 2x =
Câu 64: Phương trình
Khi đó

αβ

bằng

1
2

x ∈∅

(5 câu)

là

D.

3
2

 x = arcsin(2) + k 2π
 x = π − arcsin(2) k 2π ( k ∈ Z)


cos x = m

B.

π

 x = 3 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − π + k 2π

3

x ∈∅

là

x∈R

cos x =


1
 x = arcsin  3 ÷+ k 2π
 

( k ∈ Z)

1
 x = π − arcsin  ÷+ k 2π
 3


π


x
=
+ k 2π

3
(k ∈ Z)

 x = 2π + k 2π

3

π

 x = 6 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − π + k 2π

6

có hai họ nghiệm có dạng

x = α + kπ ; x = β + kπ ( k ∈ Z)

.


A.

π2
144

−
B.

Câu 65: Nghiệm của phương trình

A.

C.

A.
x=−

D.

π

cos  2x + ÷ = 1
4


π
+ kπ (k ∈ Z)
4

Câu 67: Nghiệm của phương trình

A.

C.

π

 x = 6 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − 5π + k 2π

6

là
x=−

π
+ k 2π ( k ∈ Z)
4

x=−

π kπ
+
( k ∈ Z)
8 2

D.

cos ( x + 60° ) = −
 x = 90° + k 360°

 x = −210° + k 360° (k ∈ Z)

 x = k180°
 x = −120° + k180° (k ∈ Z)


D.

π2
144

π

 x = 2 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − 5π + k 2π

6

B.

π
+ kπ (k ∈ Z)
8

−

là

B.

π

 x = 2 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π

6

x=−

π2
6

C.

π
1

cos  x + ÷ = −
6
2


π

 x = 2 + k 2π
(k ∈ Z)


 x = π + k 2π

3

Câu 66: Nghiệm của phương trình

C.

π2
36

3
2

B.

D.

là

 x = 90° + k180°
 x = −210° + k180° (k ∈ Z)

 x = k 360°
 x = −120° + k 360° (k ∈ Z)



Câu 68: Nghiệm của phương trình

A.

C.

π

 π
cos  2x + ÷+ cos  x + ÷ = 0
4
3



13π

 x = 12 + kπ
(k ∈ Z)

19
π
k
2
π
x = −
+

36
3

B.

13π

 x = 12 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − 19π + k 2π

36
3

D.

cos x = −

Câu 69: Nghiệm của phương trình

A.

C.

B.


 1
 x = arccos  − 4 ÷+ k 2π




(k ∈ Z)

 1
 x = π − arccos  − ÷+ k 2π
 4


Câu 70: Nghiệm của phương trình

x∈R

3
2

13π

 x = 12 + k 2π
(k ∈ Z)

19
π
x = −
+ k 2π

12

π

 x = 12 + k 2π
( k ∈ Z)


 x = − 19π + k 2π

12
3

là


1
 x = arccos  4 ÷+ k 2π
 

(k ∈ Z)

1
 x = − arccos  ÷+ k 2π
4


cos x =

A.

1
4

là

D.


 1
 x = arccos  − 4 ÷+ k 2π



(k ∈ Z)

 1
 x = − arccos  − ÷+ k 2π
 4


x ∈∅

là

B.


3
 x = arccos  2 ÷+ k 2π
 

(k ∈ Z)

3
 x = − arccos  ÷+ k 2π
2




C.

Câu


3
 x = arccos  2 ÷+ k 2π
 

(k ∈ Z)

3
 x = π − arccos  ÷+ k 2π
2


71:

Phương

trình

x = α + kπ ; x = β + kπ (k ∈ Z)

A.

3π

4

B.

x ∈∅

D.

 π
cos x.cos  x + ÷ = 0
4


. Khi đó

α +β

π
2

có

hai

họ

nghiệm

dạng

bằng

C.

π
4

D.

5π
4

2.3. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình có sự biểu diễn qua lại giữa sin và cosin (4
câu)
Câu 72: Số nghiệm của phương trình
A. 1

B. 0

Câu 73: Nghiệm của phương trình

A.

C.

sin 2 x + cos x = 0

π

 x = 2 + k 2π

(k ∈ Z)

 x = π + kπ

6 3

. Khi đó

α +β

sin 3 x − cos 2 x = 0

bằng

với

x ∈ (0; π )

C. 2

π

 x = − 2 + kπ
( k ∈ Z)

 x = π + kπ

6 3

Câu 74: Phương trình

(k ∈Z)

cos x + sin x = 0

D. 3

là

B.

D.

π

 x = − 2 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π

2
3

π

 x = − 2 + kπ
( k ∈ Z)

 x = π + k 2π


4
x =α +

có hai họ nghiệm có dạng

k 2π
; x = β + k 2π
5


A.

11π
10

B.

π

Câu 75: Nghiệm của phương trình

A.

C.

25π kπ
+
( k ∈ Z)
72
3

x=−

7π
+ kπ ( k ∈ Z)
12

Câu 77: Nghiệm của phương trình

A.

2π

sin  x +
3



÷ = cos3 x


B.

π

x
=
−
+ k 2π


24
( k ∈ Z)

 x = π + kπ

6

x=

C.

C.

π

 x = − 24 + kπ
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π
 12

Câu 76: Nghiệm của phương trình

A.

−

π

 x = 4 + k 2π

(k ∈ Z)

 x = − π + k 2π

12
3

D.

5π

sin  3x −
6


2π
5

D.

là

π kπ

 x = − 24 + 2
(k ∈ Z)

 x = π + kπ

12

7π kπ

x
=
+

24 2 ( k ∈ Z)

 x = π + kπ

12

3π


÷+ cos  3x +
4


x=

B.

D.

 π
cos 2 x + sin  x + ÷ = 0
4



÷= 0


là

13π kπ
+
( k ∈ Z)
24
3

x=−

B.

3π
5

25π
+ kπ ( k ∈ Z)
72

là

3π

 x = 4 + kπ
(k ∈ Z)


 x = π + k 2π

12
3


C.

3π

 x = 4 + kπ
(k ∈ Z)

 x = − π + k 2π

4

D.

2.4. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình

tan x =
Câu 78: Nghiệm của phương trình
x=

A.
x=

C.

A.
x=

C.

π
+ k 2π ( k ∈ Z)
3

A.
C.

x=

π
+ k 2π (k ∈ Z)
6

x=

π
+ kπ (k ∈ Z)
3

D.
tan x = − 3

với

B. 2

π

tan  x + ÷ = 1
6


D. 3

là
x=−

B.

π
+ k 2π (k ∈ Z)
12

x=

D.

tan ( 2x + 30° ) = 3

x = 30° + k 90°( k ∈Z)

B.

x = 15° + k180°( k ∈ Z)

Câu 82: Nghiệm của phương trình

x ∈ (0; π )

C. 1

7π
+ kπ (k ∈ Z)
12

Câu 81: Nghiệm của phương trình

(3 câu)

là

B.

Câu 80: Nghiệm của phương trình
x=

tan x = m

π
+ kπ (k ∈ Z)
6

Câu 79: Số nghiệm của phương trình
A. 0

3
3

3π

 x = 4 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − π + k 2π

4
3

là

π
+ kπ ( k ∈ Z)
12

là

x = 15° + k 90°( k ∈ Z)

D. 0
tan x = 3

π
+ kπ ( k ∈ Z)
6

A.
C.

x = arctan(3) + kπ (k ∈ Z)

B.

x ∈∅

D.

2.5. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình

cot x = −
Câu 83: Nghiệm của phương trình
x=−

A.
x=−

C.

x = 3 + kπ (k ∈ Z)

cot x = m

(3 câu)

là

π
+ kπ (k ∈ Z)
3

x=−

π
+ kπ ( k ∈ Z)
6

x=±

π
+ kπ ( k ∈ Z)
3

B.

π
+ k 2π ( k ∈ Z)
3

D.

Câu 84: Nghiệm của phương trình

n−m

3

3

x = arctan(3) + k 2π (k ∈ Z)

 π
cot  x + ÷ = 3
3


x=−

có dạng

π kπ
+
( k ∈ Z)
n m

. Khi đó

bằng
A. -3

Câu 85: Phương trình

B. 5

π

cot  2x + ÷ = 1

6


Khi đó giá trị gần nhất của

A.

π
42

C. -5

α

x =α +
có một họ nghiệm dạng

B.

π
15

Câu 86: Nghiệm của phương trình

C.

1
x = arccot  ÷+ kπ (k ∈ Z)
8

x ∈∅

kπ
 π
(k ∈ Z); α ∈  0; ÷
2
 2

là

cot ( 2x ) =

A.

D. 3

C.
1
4

π
20

D.

π
30

là

B.

D.

 1  kπ
x = arccot  ÷+ ( k ∈ Z)
8 2
1
 1  kπ
x = arccot  ÷+
(k ∈ Z)
2
4 2

.


2.6. Mối liên hệ giữa nghiệm và phương trình có sự biểu diễn qua lại giữa tan và cot (2 câu)

Câu 87: Nghiệm của phương trình
x=

A.
x=

C.

π

cot  2x + ÷− tan x = 0

6


π kπ
+
(k ∈ Z)
9
3

π
+ kπ (k ∈ Z)
3

x=

π kπ
+
( k ∈ Z)
18 3

D.

 π
tan 2x − cot  x − ÷ = 0
4


Câu 88: Nghiệm của phương trình

n.m

x=

B.

π kπ
+
(k ∈ Z)
6
2

là

x=

có dạng

π kπ
+
(k ∈ Z)
n m

. Khi đó

bằng
A. 8

B. 32

Câu 89: Nghiệm của phương trình

x=−

A.
x=

C.

C. 36

D. 12

 π
π

tan  x + ÷+ cot  − 3x ÷ = 0
3

6


π kπ
+
( k ∈ Z)
3 4

x=

π kπ
+
(k ∈ Z)

3
2

x=

π kπ
+
(k ∈ Z)
12 4

B.

π kπ
+
(k ∈ Z)
6
2

là

D.

2.7. Mối quan hệ giữa nghiệm của phương trình lượng giác thuộc khoảng đoạn cho trước
và phương trình (2 câu)
sin x =

Câu 90: Nghiệm của phương trình
x=

A.

π
6

x=

B.

5π
6

1
2

với

x ∈ [0; π ]
x=

C.

là

13π
6

D. Cả A và B đều

đúng

Câu 91: Số nghiệm của phương trình

 π
sin  x + ÷ = 1
4


với

x ∈ [π ; 2π ]

là


A. 1

B. 2

C. 0

Câu 92: Số nghiệm của phương trình
A. 1

x π
cos  + ÷ = 0
2 4

B. 3

với

x ∈ (π ;8π )

là

C. 2

Câu 93: Số nghiệm của phương trình
A. 1

D. 3

π

sin  2x + ÷ = −1
4


B. 2

D. 4

với

x ∈ [0; π ]

C. 3

là
D. 0

2.8. Phương trình đưa về dạng tích cơ bản bằng cách sử dụng cơng thức nhân đơi, cung
hơn kém (2 câu)
Câu 94: Nghiệm phương trình

A.

sin x + 4 cos x = 2 + sin 2 x

2π

 x = 3 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − 2π + k 2π

3

x=

C.

π
+ k 2π ( k ∈ Z)
3

D.

x = α + k 2π ; x = β + k 2π (0 ≤ α ; β ≤ π )

A.

π

 x = 3 + kπ
( k ∈ Z)

 x = − π + kπ

3
π

 x = 3 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = − π + k 2π

3

2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2 x

Câu 95: Phương trình

π2
16

B.

là

−
B.

Câu 96: Nghiệm phương trình

9π 2
16

. Khi đó

α .β

C.

có hai họ nghiệm có dạng

bằng

9π 2
16

sin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 0

−
D.
là

π2
16

A.

C.

π

 x = − 2 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = π + k 2π

3

B.

π

 x = − 2 + k 2π
(k ∈ Z)

 x = ± π + k 2π

3

D.

π

 x = 2 + k 2π


 x = − π + k 2π (k ∈ Z)

3

2
π
x =
+ k 2π

3
π

 x = − 2 + k 2π

 x = π + k 2π ( k ∈ Z)

3

 x = 2π + k 2π

3

2.9. Tìm tập xác định hàm số chứa phương trình lượng giác cơ bản (4 câu)
y=

Câu 97: Tập xác định của hàm số

A.

B.

C.

D.

1
π

sin  2x + ÷− cos x
4


là

 π
  π k 2π

D = R \   − + k 2π k ∈ Z ∪  − +
k ∈ Z ÷
3
  12

 4
 π
  π k 2π

D = R \   + k 2π k ∈ Z ∪  +
k ∈ Z ÷
3

 12

4

 π

D = R \  − + k 2π k ∈ Z
 4

π

D = R \  + k 2π k ∈ Z
4

y=

Câu 98: Tập xác định của hàm số

1 − cos x
2
sin x +
2

là


A.

B.

C.

D.

 π

D = R \ − + k 2π k ∈ Z
 4

 π
  5π

D = R \  − + k 2π k ∈ Z ∪  + k 2π k ∈ Z ÷
  4

 4
  3π
  3π

D = R \  −
+ k 2π k ∈ Z ∪  + k 2π k ∈ Z ÷
  4

 4
 π
  3π

D = R \   + k 2π k ∈ Z ∪  + k 2π k ∈ Z ÷
 4


4
y=

Câu 99: Tập xác định của hàm số

A.

B.

C.

D.

1 + sin x
2π 
π


cos  4 x +
÷ + cos  3 x − ÷
5 
4



 17π k 2π

D = R \ −
+
k ∈ Z

7
 140

 17π k 2π
  7π k 2π

D = R\ 
+
k ∈ Z ∪ 
+
k ∈ Z ÷
7
7
  20

  140
  17π k 2π
  7π

D = R \  −
+
k ∈ Z ∪ −
+ k 2π k ∈ Z ÷
7
  20

  140
 17π k 2π
  7π


D = R \ 
+
k ∈ Z ∪ 
+ k 2π k ∈ Z ÷
7
  20

  140

y=
Câu 100: Tập xác định của hàm số

A.

(

2 + cos 3 x + sin x
x
cos + cos ( 2 x − 30° )
2

D = R \ { 84° + k 72° k ∈ Z} ∪ { 132° + k 240° k ∈ Z}

là

)

là