cong thuc toan 9 day du cong thuc toan 9 day du

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

1) Phương trình: ax + bx + c = 0 ( a¹ 0 ) 
- Phương trình  có 2 nghiệm phân biệt
2

-

-1-

Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu

0
  0

P  0

  0

P  0
  0

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng dương
 P  0
S  0

  0

- Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm   P  0

S  0

  0

- Phương trình  có 2 nghiệm đối nhau   P  0
S  0

2
Ví dụ: Cho phương trình: 2x – 5x – m + 3 = 0 
a. Tìm điều kiện để phương trình  có 2 nghiệm trái dấu:
  b2  4ac  (5)2  4.2(m  3)  25  8m  24  1  8m

-

Phương trình  có 2 nghiệm cùng dấu

- Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1, x2


b 5
 S  x1  x2   a  2  2, 5
- Theo đònh lí Viet, ta có: 
 P  x x  c  m  3
1 2

a
2
1

 1  8m  0

0
8m  1

m  
  m  3


- Phương trình  có 2 nghiệm trái dấu 
8 m3
P0
m  3  0
 2  0
 m  3
- Vậy m>3 thì phương trình  có 2 nghiệm trái dấu.
b. Tìm điều kiện để phương trình  có 2 nghiệm cùng âm:
   0  1  8m  0


- Phương trình  có 2 nghiệm cùng âm   P  0  m  3  0
S  0 2, 5  0( sai )





- Vậy không có giá trò m để phương trình có 2 nghiệm cùng âm.


 ax + by = c

2) Hệ phương trình: 


 a'x + b'x = c'
a b c
- Hệ phương trình vô nghiệm   
a' b' c'

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
- Hệ phương trình có vôâ số nghiệm 

a b

a' b'

a b c
 
a' b' c'

3) Hằng đẳng thức
 (a  b)2  a2  2ab  b2
 (a  b)2  a2  2ab  b2
 (a  b)3  a3  b3  3a2b  3ab2
 (a  b)3  a3  b3  3a2b  3ab2
 a2  b2  (a  b)(a  b)

 a2  b2  (a  b)2  2ab  (a  b)2  2ab
 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )
 a3  b3  (a  b)(a2  ab  b2 )
 (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc

 (a  b  c)2  a2  b2  c2  2ab  2ac  2bc


Gia sư Thành Được
4) Tỉ số lượng giác:
Cung

0o

15o
6 2
4
6 2
4

Sin

0

Cos

1

Tag

0

2 3

Cotag



1 2 3
2

www.daythem.edu.vn
sin 

30o
1
2
3
2
3
3

3

-2-

đối
huyền

45o
2
2
2
2

cos 

60o
3
2
1
2

kề
huyền

75o
6 2
4
6 2
4

đối
kề
105o
6 2
4
 6 2
4

120o
3
2
1


2

135o
2
2
2

2

tag =
90o
1
0

cotag =

1

3

2 3



2  3

 3

-1

1

3
3

2 3

0

2  3



3
3

-1

5) Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 )

kề
đối
150o
1
2
3
2
3

3



 3

a. Dùng công thức nghiệm: [Phương trình ax2 + bx + c = 0 với a và c trái dấu thì luôn có 2 nghiệm phân
biệt]
 = b2 - 4ac

b  
b  
; x2 
2a
2a
b
*  = 0  Phương trình cónghiệm kép : x1  x 2 
2a
*  < 0  Phương trình vônghiệm
b. Dùng công thức nghiệm thu gọn
b
b  2b '  b '  ;  ' = b'2 - ac
2
b ' 
b ' 
*  ' > 0  Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1 
; x2 
a
a
b
*  ' = 0  Phương trình cónghiệm kép : x1  x 2 
a

*  ' < 0  Phương trình vônghiệm
c. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2
b 
S  x1  x2   
a 
* Biết được :
  x1 và x2
c

P  x1 x2 

a
A
c
* Biết được : a  b  c  0  x1 = 1 và x2 
a
c
* Biết được : a  b  c  0  x1 = -1và x2  
a
*  > 0  Phương trình có2 nghiệm phân biệt : x1 

 Các tam giác đặc biệt 
6) Tam giác vuông cân
- ABC vuông cân tại A ; AB = AC = a
- ABC đồng dạng với ABH đồng dạng với ACH

B

H

a
C


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
-3-

- BAC  AHC  AHB  90o
- BAH  ABH  ACH  CAH  45o
- BC  AB 2  AC 2 ; a  HB 2  HC 2  AH 2
- AH là đường cao, đường trung trực, đường trung tuyến, tia phân giác của ABC
BC 2
( BH  CH ) 2 ( BH  AH ) 2 (CH  AH ) 2
 BH 2  CH 2  AH 2 


- a
2
2
2
2
2
2
AH .BC AH  AH
- S ABC 

2
2

ABC vuông tại A

BC  AB 2 



BC  AC 2 



BC 2 

AB 
2 



Chứng minh một tam giác vuông cân:
BC 2 
  ABC vuông cân tại A
AC 

2 


AB  AC





ABC  ABC


o


ABC  45


o

ACB  45 

7) Tam giác đều
- ABC đều ; AB = AC = BC = a
- AH là đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực và tia phân giác
a 3
a2 3
a
- CH  HB  ; AH 
; S ABC 
2
4
2
ABC cân 

ABC  60o  
   ABC đều
Chứng minh một tam giác đều:
ACB  60o  


CAB  60o  


8) Nửa tam giác đều
- ACH và ABH là nửa tam giác đều
AB 3 AC 3

 BH 3  CH 3
- AH 
2
2
AB AC AH 3


- CH  BH 
2
2
3

A

a

C

B
H

- AB  AC  2CH  2 BH 

2 AH 3
3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
-4AHC vuông




AHC ( ACH , CAH )  60o  
   AHC lànửa tam giác đều
Chứng minh nửa tam giác đều:
AH  2 HC


AC 3

HC 
 
2

9) Góc và đường tròn
- AOB : góc ở tâm chắn AB
- ACB : góc nội tiếp chắn AB
- EAB : góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AB
1

1
- ACB  EAB  AOB
- sđHDG = sđHG -sđJI
2
2
1
1
- sđADG = sđAG -sđJA
- sđEDF = sđAmF -sđAnF
2
2
A
1
- JKC  BKG  sđ JC + sđ BG
2










E





H



B

10) Một vài công thức cần nhớ (Hình học):
- Độ dài đường tròn: C = 2R
Rn o
- Độ dài cung tròn: l =
180 o
- Diện tích hình tròn: S = R2

I
D

m

O

n

R2 no
360o
Ghi chú:
+  : số pi
+ C: độ dài đường tròn
+ R: bán kính
+ l: độ dài cung

+ no: số đo độ của cung
--------------------------------------------------------- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2 R.h

C
- Diện tích xung quanh hình nón : Sxq = Rl

- Diện tích toàn phần hình trụ: S tp = 2 R.h + 2 R 2

- Diện tích toàn phần hình nón: S tp = Rl + R 2

- Thể tích hình trụ: V = Sh + R2 h

- Thể tích hình nón: V =

- Diện tích hình quạt tròn: S =

Ghi chú:
+ h: chiều cao
---------------------------------------------------------

J
F

G

K

1
R2 h
3

+ l: đường sinh

11) Một vài công thức cần nhớ (Đại số):
1. Với a  0; b  0 thì

a + b  a + b (dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0)

2. Với a  b  0 thì

a- b  a - b (dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0)

A + A2 - B
A- A2 - B
3. Công thức căn phức tạp: A ± B =
trong đó A > 0 ; B > 0 ; A2 > B
±
2
2
a+b
 ab (dấu “=” xảy ra  a = b)
4. Bất đẳng thức Cô-si: với a  0, b  0 thì:
2
Vài dạng khác của bất đẳng thức Cô-si:


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
-5-

- Dạng có chứa dấu căn:

 a + b  ab với a  0; b  0
1
2

với a > 0 ; b > 0

a+b
a+b

- Dạng không có dấu căn
(a + b)2

 ab
2
A  0 (hay B  0)
A B
A = B
8. X2  A2  X  Ahay X  A

5.

9.

6.

;

 (a + b)2  4ab
 a2 + b2  2ab
B  0
B  0
A B
7. | A | = B  
2
A = B hay A = -B
A = B
X2  A2  A  X  A

f ( x )  g ( x )  h( x )

- Đặt điều kiện: f ( x)  0, g ( x)  0, h( x)  0
- Chuyển vế (2 vế phải không âm)
- Bình phương 2 vế
10. Min  X 2  m  m
;
Max  m  X 2  m
11. Điều kiện để biểu thức có nghóa:
A
- A  0 - Biều thức có dạng có nghóa khi B  0
B

- Biểu thức có dạng

A có nghóa khi
A
- Biểu thức có dạng
có nghóa khi B  0

B

12) Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau. Hệ số góc của đường thẳng
1. Cho 2 đường thẳng: (d1) : y = ax + b (a  0) và (d2) : y = a’x + b’ (a’  0)
 (d1) // (d2)  a  a ' ; b  b '
 (d1) cắt (d2)  a  a '
 (d1)

 (d2)  a  a ' ; b  b '

 (d1)  (d2)  a . a '  1

2. Khi a > 0 thì goác tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc nhọn.
Khi a < 0 thì goác tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tù.
3. Nếu (d1) cắt (d2) thì hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình ax + b = a’x + b’
4. Gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b với trục Ox. Nếu a > 0 thì tg = a

13) Các dạng phương trình đặc biệt:
1. Phương trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a  0) []
Nếu biết 1 nghiệm x = x0 thì [] được đưa về phương trình tích: (x – x0)(ax2 + mx + n) = 0
2. Phương trình hệ đối xứng bậc 4: ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 (a  0) []
a) Phương pháp giải:
- Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của [].
- Chia 2 vế của [] cho x2 và nhóm các số hạng cách đều 2 số hạng đầu và cuối thành từng nhóm được
phương trình []
1
1
- Đặt ẩn phụ t  x  []  t 2  2  x 2  2 rồi thế vào phương trình [].
x
x

- Giải phương trình trung gian này để tìm t, thế giá trò của t vào [] để tìm x
b) Về nghiệm số của phương trình:
1
- Nếu x0 là nghiệm của phương trình [] thì
cũng là nghiệm của nó
x0
c) Phương trình hệ đối xứng bậc 5: ax5 + bx4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0 (a  0) []
có nghiệm x = -1 (vì tổng hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ). Vì thế [] có thể biến đổi thành:
 x  1 ax 4   b  a  x3   c  a  b  x 2   b  a  x  a   0


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
-62

n m
3. Phương trình hồi quy: ax + bx + cx + mx + n = 0 (a  0) trong đó    []
a b
a) Phương pháp giải:
- Nhận xét x = 0 không phải là nghiệm của [].
- Chia 2 vế của [] cho x2 và nhóm các số hạng cách đều 2 số hạng đầu và cuối thành từng nhóm được
phương trình []
2m
m2
m
- Đặt ẩn phụ t  x 
[]  t 2 
 x 2  2 2 rồi thế vào phương trình [].
bx

b
b x
- Giải phương trình trung gian này để tìm t, thế giá trò của t vào [] để tìm x
4. Phương trình trong đó a + d = b + c: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m []
Phương pháp giải:
- Viết lại [] dười dạng: [(x + a)(x + d)][(x + b)(x + c)] – m = 0 []
- Khai triển các tích và đặt ẩn phụ t là 1 trong 2 biểu thức vừa khai triển.
- Thế ẩn phụ vào phương trình [], giải phương trình, tìm giá trò của t.
- Thế giá trò của t vào biểu thức chứa ẩn phụ để tìm x.
5. Phương trình trong đó: (x + a)4 + (x + b)4 = c
Phương pháp giải:
- Đối với phương trình dạng này, ta đặt ẩn phụ là trung bình cộng của (x + a) và (x + b):
ab
A
- Đặt t  x 
2
4

3

2

14) Một số kiền thức cơ bản về hình học cấp 2:
1. Trung tuyến của tam giác: Trung tuyến của tam giác là đoạn
thẳng, một đầu nối đỉnh của tam giác, đầu kia nối trung tuyến của
cạnh đối diện với đỉnh trên.
Ta có tam giác ABC có AM là trung tuyến  MC = MB

B

C

M

- Áp dụng vào tam giác vuông:
+ Đònh lí thuận: Trong 1 tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền
+ Đònh lí đảo: Trong 1 tam giác, đường trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện thì tam giác đó vuông.
2. Tia phân giác:
- Tia phân giác của góc là tia nằm trong góc ấy và chia góc đó ra làm hai góc bằng nhau.
A
- Phân giác của tam giác là một đoàn thẳng có môt đầu là đỉnh
của tam giác, đầu kia là giao điểm của tia fân giác xuất phát từ
đỉnh đến cạnh đối diện.
- Trong một tam giác, đường phân giác trong và ngoài chia
cạnh đối diện thành những đoạn tỉ lệvới hai cạnh kề.
Ta có tam giác ABC có AM là đường phân giác 

3. Đường trung trực:
A

B

H

C

BM
CM



AB
AC

B

M

C

- Đònh nghóa: Đường thẳng trung trực của 1 đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc
với đoạn đó tại trung điểm.
- Đònh lí 1: Nếu điểm M nằ trên đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường trung
trực của đoạn AB.
- Đònh lí 2:Tập hợp những điểm cách đều 2 đầu của đoạn thẳng AB là đường thẳng
trung trực của đoạn AB

Ta có tam giác ABC có AH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến, vừa là phân giác, vừa là trung trực (tam giác ABC cân)

4. Đường trung bình của tam giác:
- Đònh lí 1: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đi qua trung
điểm của một cạnh và song song với canh thứ hai thì nó đi qua
trung điểm của cạnh thứ ba.


Gia sư Thành Được

A

www.daythem.edu.vn

-7-

- Đònh lí 2: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác thì
song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh thứ ba.
M
N
- Đònh lí 3: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác gọi là
đường trung bình của tam giác.
5. Tính chất ba đường trung tuyến:
B
- Trong một tam giác, ba đường trung tuyến cắt nhau tại một điểm. Điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác.
2
- Khoảng cách từ đỉnh đến trọng tâm bằng
trung tuyến đó.
3
6. Tính chất đường phân giác:
a) Tính chất 3 đường phân giác:
Đònh lí về phân giác của góc:
+ Đònh lí thuận: Bất cứ điểm nào nằm trên đường fân giác của một góc thì cũng cách đều 2 cạnh góc đó.
+ Đònh lí đảo: Điểm nào cách đều 2 cạnh của một góc thì nằm trên fân giác của góc đó.

C