DE thi HSG toan 9 chon HSG tinh thanh hoa huyen tinh gia

PHềNG GD - T TNH GIA

THI CHN I TUYN
HC SINH GII (VềNG 2)
Nm hc 2013-2014

CHNH THC

Mụn thi: Toỏn - Lp 9
Thi gian lm bi: 150 phỳt
Ngy thi: 25/02/2014
Bi 1: (4 im)
a) Cho a+b+c =0. Tớnh giỏ tr biu thc sau :
a
b
a b b c c a c
+
+
+
+
.

a
b ab bc ca
c

P=

b) Thu gn tng sau N = 13 +23+ ...+n3 vi n>1 v n N
Bi 2: (4 im)
a) Cho 3 s nguyờn x,y,z tho món: x2 + y2 =z2. Chng minh xyz M60

b) Tỡm 3 s t nhiờn khỏc nhau sao cho tng cỏc nghch o ca chỳng l s nguyờn.
Bi 3: (4 im) Gii phng trỡnh v h phng trỡnh sau:
a) x 3 +

x3
3x 2
+
2=0
( x 1) 3 x 1

2 x + 3 + 4 y = 4
b)
2 y + 3 + 4 x = 4

Bi 4: (4 im) Cho tam giỏc ABC (AB < AC) ni tip ng trũn tõm O, ng
kớnh BC = 2R. Ly im M i xng vi im A qua im B. Gi im H l hỡnh
chiu vuụng gúc ca im A trờn BC v im I l trung im ca HC.
a) Chng minh rng MH AI.
b) ng thng MH ct ng trũn (O) ti E v F (im E nm gia im M
v im F); ng thng AI ct ng trũn (O) ti G (im G khỏc im A). Chng
minh rng tng bỡnh phng di cỏc cnh ca t giỏc AEGF khụng i.
Bi 5: (2 im) Cho tam giỏc vuụng cú s o ba cnh l cỏc s nguyờn, trong ú s
o ca hai cnh l hai s nguyờn t v hiu ca chỳng bng 50. Tớnh s o nh nht
ca cnh th ba cú th t c.
Bi 6: (2 im) Cho các số x,y,z thoả mãn x+y+z =1
Tìm

giá

trị

bé

nhất

x + xy + y + y + yz + z + z + zx + x
2

2

2

2

2

của

biểu

thức :

M

=

2

(Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm)
H v tờn thớ sinh: ................................................................ S bỏo danh: ....................

Câu

ĐÁP ÁN MÔN TOÁN (VÒNG 2)
( Gồm 4 trang )
Nội dung

b−c
c−a
a −b
;y=
;z =
a) (2đ) Đặt x =
a
b
c
1 1 1
y+z z+x x+ y
+
+
Khi đó P = ( x + y + z ) .  + + ÷ = 3 +
x
y
z
x y z

Điểm

(1)

y+z
a  c −a a −b 
a c 2 − ac + ab − b 2
=
.
+
.
Ta có
÷=
x
b−c  b
c  b−c
bc
2
a (c − b).(c + b − a ) 2a
.
=
=
(vì c+b= -a)
b−c
bc
bc
z + x 2b 2
x + y 2c 2
=
=
Tương tự
và
y

ac
z
ab
y+z z+x x+ y
Suy ra x + y + z =
3
3
3
 a 2 b 2 c 2  2.(a 3 + b3 + c 3 ) 2.  −(b + c ) + b + c 
2.  + + ÷ =
=
abc
abc
 bc ca ab 

=

−6bc(b + c )
= 6 (vì c+b= -a)
abc

1.0

(2)

ra P = 9
1 Từ (1) và (2) suy
3
2
3

(4đ) b) (2đ) Ta có n –n = n( n -1) = n(n-1).(n+1) suy ra : n = n(n-1).(n+1) +n
Vậy N = 13 +23+ ..+n3 = (0.1.2 +1)+ (1.2.3+2)+ ...+ {n(n-1).(n+1) +n}

1.0

= {1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1)}+ { 1+2+...+n}
Đặt A= 1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1) và B = 1+2+...+n

1.0

Ta có 4.A = 4.{1.2.3+2.3.4+ ...+ n(n-1).(n+1)}
= 1.2.3.4+2.3.4.4+... +n(n-1).(n+1).4
= 1.2.3.(4-0)+ 2.3.4.(5-1)+ ...+ n(n-1).(n+1).{(n+2)-(n-2)}
= 1.2.3.4- 0.1.2.3 + 2.3.4.5 – 1.2.3.4 + ...
....+ n(n-1).(n+1). (n+2)- (n-2). n(n-1).(n+1)
= n(n-1).(n+1). (n+2)- 0.1.2.3
(n − 1).n(n + 1).(n + 2)
n(n + 1)
và B =
4
2
2
 n(n + 1) 
3
3
3
Từ đó suy ra N = 1 +2 + ..+n = (A+B) = 
 2 

Vậy A =

2 a) (2đ)
(4đ) * Chứng minh xyz chia hết cho 5
+) Nếu xy chia hết cho 5 thì xyz chia hết cho 5

1.0


+) Nếu xy không chia hết cho 5 thì x2 và y2 chia 5 dư 1 hoặc dư 4
Khi đó z2 = x2 + y2 chia 5 dư 0 hoặc 2 hoặc 3 nhưng vì z2 không thể chia 5 dư 2
hoặc dư 3 => z2 chia hết cho 5 hay z chia hết cho 5 .
Vậy xyz chia hết cho 5
* Chứng minh xyz chia hết cho 3
- Nếu x hoặc y không chia hết cho 3 thì x2 hoặc y2 chỉ có thể chia 3 dư 1
khi đó z2 chia 3 dư 2 (Vô lí)
Vậy xy chia hết cho 3 hay xyz chia hết cho 3
* Chứng minh xyz chia hết cho 4
+) Nếu x ,y chẵn thì xyz chia hết cho 4
+) Nếu trong hai số x hoặc y có một số lẻ, giả sử x chẵn, y lẻ suy ra z lẻ
Đặt x =2k; y = 2n+1, z = 2m+1.Theo bài ra : (2m+1)2 = 4k2+ (2n+1)2
suy ra k2 = m(m+1)-n(n+1) chia hết cho 2 => x chia hết cho 4
Vậy xyz chia hết cho 4
Mà (3,4,5) =1 nên xyz chia hết cho 60
b)(2đ)
Gọi 3 số tự nhiên thoả mãn đề bài là x, y, z với x,y,z đều khác nhau và khác 0
1

1

1

1

1

1

0.5

1.0

1

Giả sử 1 ≤ x< y có giá trị nguyên , khi đó có 2 trường hợp sau:
1

0.5

0.5

1

TH1) x + y + z = 1 ,
1

1

1

3

Ta có 1= x + y + z < suy ra 1 ≤ x < 3
x
- Xét x =1 (loại)
1

1

1

2

- Xét x =2 khi đó y + z = 2 < y => 2 => y = 3 => z= 6 (thoả mãn ) Ta được 2 cặp số (2 ;3 ;6)
1

1

1

TH2) x + y + z =2

0.5

1 1 1 3
3
Ta có 2 = x + y + z < suy ra 1 ≤ x <
x
2

1

1

2

=> x =1 => y + z = 1 < y suy ra 1 ≤ x Vậy từ các TH trên ta được 3 số thoả mãn đề bài là 2 ; 3 và 6
3 a) (2đ) ĐK : x ≠ 1
(4đ)
x3
3
Ta có x +

1.0
0.25

3x 2
+
−2=0
( x − 1) 3 x − 1

3

x 
x 
x  3x 2
⇔  x +
−
3.

x
.
.
x
+
−2=0
÷

÷+
x −1 
x −1 
x −1  x −1

3

 x2 
x2 x2
3x 2
⇔
−
3.
.
+
−2 =0
÷
x −1 x −1 x −1
 x −1 

0.25

3

2

 x2 
 x2 
x2
⇔
−
3.
+
3.
−1 = 1
÷

÷
x −1
 x −1 
 x −1 

0.5

3

 x2

x2
x2
⇔

− 1÷ = 1 ⇔
−1 = 1 ⇔
−2=0
x −1
x −1
 x −1 
⇔ x2 -2x +2 = (x-1)2 +1 = 0. Phương trình vô nghiệm

1.0

b)(2đ)
3
3
2
2
 2 x + 3 + 4 − y = 4

 2 y + 3 + 4 − x = 4
4 − y = u (u ≥ 0) và 4 − x = v (v ≥ 0)

Đk: − ≤ x ≤ 4; − ≤ y ≤ 4

0.25

Đặt
suy ra : y = 4- u2 và x= 4-v2 thay vào hệ ta có :
 11 − 2v 2 + u = 4

=>
 11 − 2u 2 + v = 4

0.25

11 − 2v 2 = (4 − u ) 2

2
2
11 − 2u = (4 − v)

Trừ từng vế các phương trình trong hệ ta được :
2(u2- v2) = (8-u-v).(v-u)=> (u-v).(u+v+8) = 0 => u= v vì u+v+8 >0
Khi đó: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + 5 =0
Đưa về dạng tích ta có v = 1 hoặc v =

0.5

5
(thoả mãn )
3

+) Nếu v = 1 thì x = y =3(TM)
+) Nếu v =

5
11
thì x = y = (TM)
3
9

Vậy nghiệm của hệ là (x ; y) = (3,3) hoặc (x ; y) = (

11 11
, )
9 9

1.0

4 a) (2đ)
(4 Ta có = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
®) ⇒ = (cùng phụ với ) (1).
Lại có ∆AHB ∽ ∆CHA (g-g) suy ra
1
AM
AH 2
AH AM
⇒
=
⇒
=
2CI
CA
CI
CA

AH AB
=
CH CA

(2)

1.0

Từ (1) và (2) suy ra ∆AHM ∽ với ∆CIA (c-g-c) ⇒ =
Mà + = 90 ⇒ + = 90 ⇒ MH ⊥ AI

1.0
b) (2đ) Lấy D đối xứng với G qua O, ta có = 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường
tròn) ⇒ AD / / EF . Tứ giác ADFE có AD / / EF ⇒ ADEF là hình thang cân


⇒ AE = DF , AF = ED

1.0

Ta có AE 2 + GF 2 = DF 2 + GF 2 = DG 2 = 4R 2 .
AF 2 + GE 2 = DE 2 + GE 2 = DG 2 = 4 R 2 .
Vậy AE 2 + GE 2 + GF 2 + FA2 = 8R 2 .

1.0

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông ABC là: a, b, c. (a, b, c ∈N )
Ta có: a, b ∈P và b – a = 50: là số chẵn nên a, b đều lẻ (b > a).
Giả sử cạnh thứ ba c là cạnh huyền.
Theo định lý Pi-ta-go, ta có:
c2 = a2 + b2 ⇔c2 = a2 + (a + 50)2 = 2a2 + 100a + 2500 = 2(a2 + 50a + 1250): số
chẵn.
Vì a lẻ nên (a2 + 50a + 1250): lẻ do đó 2(a2 + 50a + 1250)
4: điều này vô lý vì
C
2

c là số chính phương chẵn phải chia hết cho 4.
1.0
Do đó cạnh thứ ba c không thể là cạnh huyền.
b
a
5 Suy ra b là cạnh huyền (vì b > a).
A
B
(2đ) Theo định lý Pi-ta-go ta có:
c
2
2
2
2
2
2
2
b = a + c ⇔c = b – a = (b – a)(b + a) = 50(b + a) = 5 .2.( a + b)
0.5
Vì c2 là số chính phương nên:
Suy ra: a + b = 2k2 (k ∈N*), vì b > 50 nên a + b > 50, do đó k ≥ 6.
Khi đó: (a + b)min = 2.62 = 72, ta có:
*

a + b = 72
a =11∈ P
⇔

: thỏa điều kiện
 b − a = 50

b = 61∈P

Từ đó: cmin = 5.2.k = 5.2.6 = 60 khi a = 11, b = 61.
Vậy giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba của tam giác vuông là 60.
3
1
Ta có : x 2 + xy + y 2 = ( x 2 + 2.xy + y 2 )+ .( x 2 − 2.xy + y 2 )
4
4
3
3
1
3
= (x+y)2 + .(x-y)2 ≥ (x+y)2 => x 2 + xy + y 2 ≥
(x+y)
4

4

4

2

0.5
0.5
0.5

6
3
3

(y+z) ; z 2 + zx + x 2 ≥
(z+x)
(2đ) Tương tự : y 2 + yz + z 2 ≥
2

2

Cộng vế theo vế ta được M ≥ 3 (x+y+z) = 3
Vậy M đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1
3 khi x = y = z =
3

( Nếu bài học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa ! )

0.5
0.5