chuyen de luong giac toan 10

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

LƯỢNG GIÁC
Phần 1: Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
A. Kiến thức cần nhớ
1. Các hằng đẳng thức cơ bản
a) sin 2 x  cos 2 x  1
d) 1  tan 2 x 

b) tan x 

1
cos 2 x

sin x
cos x

e) 1  cot 2 x 

c) cot x 

1
sin 2 x

cos x
sin x

f) tan x. cot x  1

2. Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt
a) Hai cung đối nhau
b) Hai cung bù nhau
2

c) Hai cung khác nhau

cos( x)  cos x

sin(  x)  sin x

sin( x  2 )  sin x

sin( x)   sin x
tan( x)   tan x

cos(  x)   cos x
tan(  x)   tan x

cos( x  2 )  cos x
tan( x  2 )  tan x

cot( x)   cot x

cot(  x)   cot x

cot( x  2 )  cot x

d) Hai cung khác nhau 

e) Hai cung phụ nhau

sin(  x)   sin x



sin   x   cos x ;
2


cos(  x)   cos x
tan(  x)  tan x



cos  x   sin x
2






tan  x   cot x ; cot   x   tan x
2

2


cot(  x)  cot x

B. Bài tập
1. Tìm các giá trị của  để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
A

1
1  sin 

; B

1
1  cos 

2. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) sin 123o  sin 132o
b) cot 304o  cot 316o
3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) 5 tan 540o  2 cos1170o  4 sin 990o  3 cos 540o

25
13
19
 3 tan
 2 cos
6
4
3
c) sin 2 15o  sin 2 35o  sin 2 55o  sin 2 75o
d) cos 2 15o  cos 2 35o  cos 2 55o  cos 2 75o


3
5
7
9
11
e) sin 2  sin 2  sin 2  sin 2
 sin 2
 sin 2
12
12
12
12
12
12

3
5
7
9
11
f) cos 2  cos 2  cos 2  cos 2
 cos 2
 cos 2
12
12
12
12
12
12


3
g) sin(  a)  cos  a   cot(2  a)  tan  a 
2

 2

4
2
2
2
h) A  sin a  cos a  sin a. cos a

b) 3 sin

[Type text]


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
2

a
a

 sin  cos   1
2
2
i) B  
a

a
a
tan  sin . cos
2
2
2
2
o
cos 696  tan(260 o ). tan 530 o  cos 2 156
j) C 
tan 2 252 o  cot 2 342 o
2

 17
 7

 13

k) tan
 tan
 b   cot
 cot 7  b 
4
4
 2




 1  sin x

1  sin x  1  cos x
1  cos x 


l) 


1  sin x  1  cos x
1  cos x 
 1  sin x
m) sin 3 a(1  cot a)  cos 3 a(1  tan a)
tan b
n)
tan b  cot b
1  cos 4 a  sin 4 a
o)
cos 4 a
sin( x   ). cos( x  2 ). sin(2  x)
p)


 3

sin  x . cot(  x). cot 
 x
2

 2


2

2

2






3
q) sin  x   sin(  x)  cos  x   cos(2  x)


 2

  2


2
5
3
r) sin  a . tan  a . cos  a   tan(  a). tan  a 
3

 3

 3


 2

cot(5,5  a)  tan(b  4 )
s)
cot(a  6 )  tan(b  3,5 )
t) tan 50o. tan190o. tan 250o. tan 260o. tan 400o. tan 700o

4. Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin( A  B)  sin C; cos(B  C)  -cosA
c) tan( A  C)   tan B; cot(A  B)  -cotC
b) sin

AB
C
BC
A
 cos ; cos
 sin
2
2
2
2

5. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y 

d) tan

AC
B
AB

C
 cot ; cot
 tan
2
2
2
2

2  cos x
sin x  cos x  2

6. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng    x   : y 
7. Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC.
a) Cho sin 2 B  sin 2 C  2 sin 2 A . Chứng minh A  60o .
b) 2(a cos A  b cos B  c cos C)  a  b  c  ABC đều.
c) Chứng minh: 0  sin A  sin B  sin C - sinA.sinB - sinB.sinC - sinC.sinA  1
Phần 2: Các công thức lượng giác
I. Công thức cộng
A. Kiến thức cần nhớ
[Type text]

cos x  2 sin x  3
.
2 cos x  sin x  4


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

3) tan(a  b) 

tan a  tan b
1  tan a tan b

B. Bài tập
1. Chứng minh các công thức sau:




a) cos a  sin a  2 cos  a   2 sin  a 

4

4



b) cos a  sin a  2 cos  a   2 sin  a 
4

4


2. Rút gọn các biểu thức:



2 cos a  2 cos  a 
4

a)


 2 sin a  2 sin   a 
4


b) cos10o  cos11o.cos 21o  cos 69o.cos 79o
c) (tan a  tan b).cot(a  b)  tan a. tan b
3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
B
B
C
C
A
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A

B
C
c) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  1
d) cot  cot  cot  cot .cot .cot
2
2
2
2
2
2

1  tan b
1  tan a
4. a) Cho a  b  , chứng minh:
 tan a và
  tan b .
1  tan a
4
1  tan b

b) tan . tan  tan . tan  tan . tan  1

a) tan A  tanB  tanC  tanA.tanB.tanC

b) Cho a  b 
c) Cho



, chứng minh: (1  tan a)(1  tan b)  2 và (1  cot a)(1  cot b)  2

4
tan( x  a)  m

. Chứngminh: tan( x  y) 

a b
.
1  ab

tan(a  y )  n
2
3
d) Cho tan a  , tan b  (0  a, b  1v) . Tìm a + b.
7
5
1 

e) Cho tan a   (  a   ) và tan b  3 (0  b  ) . Tìm a + b.
2 2
2
2
1
f) Cho tan a  1 , tan b  (0  a, b  1v) . Tìm a - b.
3
4
1
2
1
g) Cho tan a  , tan b  , tan b  . Chứng minh a + b + c = 45o.

5
3
12

5
5. Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc: 15o hoặc
và 75o hoặc
.
12
12

6. Cho  ,  ,  thoả mãn điều kiện:      



. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2
A  1  tan . tan   1  tan  . tan   1  tan  . tan

7. Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam
giác ABC cân:

[Type text]


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

cos 2 A  cos 2 B 1
 (cot 2 A  cot 2 B)
2
2
sin A  sin B 2
A
c) a  b  tan (a tan A  b tan B)
2

a)

b)

sin B
 2 cos A
sin C

d) tan A  2 tan B  tan A. tan 2 B

II. Công thức nhân đôi nhân ba.
A. Lý thuyết cần nhớ
sin 2a  2sin a cos a

sin 3a  3sin a  4sin 3 a

cos 2a  cos a  sin a  1  2sin a  2cos a  1
2 tan a
tan 2a 
1  tan 2 a
2

2

2

2

cos3a  4cos3 a  3cos a

B. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức sau:

 

sin   a .sin   a 
4
 4

a)
sin 3a cos a  cos 3a sin a

tan 2

b)


8

1

tan  8

c) cos 20o.cos 40o.cos 80o

d) 2 sin a cos a(cos 2 a  sin 2 a)

e) cos 4 a  6 sin 2 a cos 2 a  sin 4 a

f) cos 2 a  4 sin 2 cos 2

a
a
2
2
o
o
h) 8 cos10 cos 20 cos 40o
j) 4 sin 4 4a  sin 2 2a

g) 1 8sin 2 a cos 2 a
i) 4 sin 3 a cos 3a  4 cos 3 a sin 3a


2
l) cos 20o cos 40o cos 60o cos 80o
5
5
m) tan a  2 tan 2a  4 tan 4a  8 tan8a  16 tan16a  32 tan 32a
sin 3 a  sin 3a
cos a  cos 3a

n)
o)
3
sin a  sin 3a
cos a  cos 3a

k) cos cos

2. Chứng minh:




a) sin a sin  a  sin  a   sin 3a . Áp dụng với a 
3
 3
3
b) 8sin 18  8sin 2 18  1



c) 8  4 tan  2 tan



1
4



 tan



 cot


9

.



8
16
32
32
2
o
d) tan 36 tan 72  5

5
7


1
e) cos a cos  a  cos  a   cos 3a . Tính: cos cos cos
18
18
18

3
 3
 4
3
3 tan a  tan a
f) tan 3a 
1  3 tan 2 a
2

o

[Type text]


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn





g) tan a tan  a  tan  a   tan 3a . Chứng minh: tan 6o tan 54o tan 66o 
3



3



5 1
10  2 5

2 ab
(a, b  0) . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
ab
2a
b) Cho cos  
. Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
1 a2
5
c) Cho sin   cos   . Tìm sin 2 , cos 2 , tan 2 .
4

3. a) Cho sin  

4. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:


a) y  sin x   sin x  


4



b) y  cos 4 x  sin 4 x

4

c) y  1 8sin 2 x cos 2 x
a
2

III. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t  tan .
A. Lý thuyết cần nhớ
1  cos 2a  2 cos 2 a
1  cos 2a  2 sin a
2

sin a 

2t
1 t 2

cos a 

1 t2
1 t2

tan a 

2t
1 t 2

B. Bài tập
1. Chứng minh các biểu thức sau:
a)

2 sin a  sin 2a
a
 tan 2
2 sin a  sin 2a
2

c) (sin a  sin b) 2  (cos a  cos b) 2  4 cos 2
e)

1  sin a
 a 
 cot 2   
1  sin a
 4 2

ab
2

g) sin a(sin a  sin b)  cos a(cos a  cos b)  2 cos 2
h) (sin a  sin b) 2  (cos a  cos b) 2  4 sin 2
 a 
 a 
sin    sin  
i)  4 2    4 2  (0  a   )
1  sin a
1  sin a

1  sin 2a  cos 2a



 tan  a 
1  sin 2a  cos 2a
4

a
a
d) tan  cot  2 cot a
2
2

b)

a b
2

f) tan 7 o30'   3  2  2  1
a b
2

2. Rút gọn các biểu thức sau:
1 1 1 1

 cos  (0     )
2 2 2 2
a
2 cot
2
c)
2 a
1  cot

2

a)

[Type text]

1 1 1 1

 cos  (0     )
2 2 2 2
a
a
cot  tan
2
2
d)
a
a
cot  tan
4
4

b)

.


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a
a
tan
2 
2
e)
a
a
1  tan
1  tan
2
2
1  cos   cos 2
g)
sin 2  sin 
tan



1

a
a
1  tan
2
2
sin 2
cos 
h)

.
1  cos 2 1  cos 
1  tan

3. Tìm giá trị biểu thức
a)

1

f)

sin a
a
biết tan  2
3  2 cos a
2

b)

tan a  sin a
a 2
Biết tan 
tan a  sin a
2 15

4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
a) y  2 cos 2 x  sin 2 x
b) y  2 sin 2 x  cos 2 x


c) y  sin 2   x   (sin x  cos x) 2
4



IV. Công thức biến đổi tổng và tích
A. Lý thuyết cần nhớ
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
1
cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
sin a cos b 

2. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
. cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2 cos
.sin
2

2
ab
a b
cos a  cos b  2 cos
. cos
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2 sin
.sin
2
2
sin a  sin b  2 sin

sin( a  b)
cos a cos b
sin( a  b)
tan a  tan b 
cos a cos b
sin( a  b)
cot a  cot b 
sin a sin b
sin( a  b)
cot a  cot b  
sin a sin b
tan a  tan b 

B. Bài tập
1. Rút gọn biếu thức

a) cos a  cos(a  b)  cos(a  2b)  ...  cos(a  nb) (n  N)
cos a  cos 3a  cos 5a  cos 7a
sin a  sin 3a  sin 5a  sin 7a




cos 2a    cos 2a  
6
6

d) cos a  
2 cos a

b)

1
4

1
2

f) cos 2a cos 2 a  cos 4a  cos 2a
[Type text]

cos a  2 cos 2a  cos 3a
sin a  sin 2a  sin 3a





cos a    cos a  
3
3


e)
a
cot a  cot
2

c)

g) cos 2 3  cos 2 1  cos 4 cos 2


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

h) sin1o  sin 91o  2 sin 203o (sin112o  sin158o )
i) cos 35o  cos125o  2 sin185o (sin130o  sin140o )
j) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o
2. Chứng minh:

k) tan 20o tan 40o tan 60o tan 80o

3
16
sin a  sin 3a  sin 5a  ...  sin(2n  1)a

b)
 tan na
cos a  cos 3a  cos 5a  ...  cos(2n  1)a
na
(n  1)a
sin sin
2
2
c) sin a  sin 2a  sin 3a  ...  sin na 
a
sin
2
na
(n  1)a
sin cos
2
2
d) cos a  cos 2a  cos 3a  ...  cos na 
a
sin
2

a) sin 20o sin 40o sin 60o sin 80o 

3. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:
A
2

B
2

a) sin A  sin B  sin C  4 cos cos cos

C
2

A
B
C
2
2
2
2
2
2
c) sin A  sin B  sin C  2(1  cos A cos B cos C)
d) cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1  2 cos Acos B cos C
A
B
C
e) sin A  sin B  sin C  4 sin sin cos
2
2
2
A
B
C
f) cos A  cos B  cos C  4 cos cos sin  1
2
2

2
g) sin 2 A  sin 2B  sin 2C  4 sin Asin B sin C
h) cos 2 A  cos 2B  cos 2C  1  4 cos Acos B cos C
i) sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2 sin Asin B cos C
x y 1
4. Chứng minh bất đẳng thức: sin
 (sin x  sin y ) với 0  x, y   .
2
2

b) cos A  cos B  cos C  1  4 sin sin sin

5. Tính giá trị các biểu thức sau:

3
5
7
 sin 4
 sin 4
16
16
16
16
o
o
o
b) tan 67 5' cot 67 5' cot 7 5' tan 7 o5'
c) cos 5o cos 55o cos 65o

3

5
7
9
d) cos  cos  cos  cos  cos
11
11
11
11
11

a) sin 4



 sin 4

6. Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:
3
 x
a) 4 sin 4 x  sin 2 2 x  4 cos 2    với   x 

4

[Type text]

2

2

b) 4 cos 4 x  cos 2 2x  4 cos 2 x cos 2x

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

2

 2

 x   sin 2 
 x
3

3

 3

 3

sin B  sin C
7. Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là: sin A 
cos A  cos B
3
8. Chứng minh nếu các góc của ABC thoả mãn: cos A  cos B  cos C  thì nó là tam giác đều.
2
bc
9. Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC thoả mãn hệ thức: cos A  cos B 
thì tam
a





c) cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x 

d) sin 2 x  sin 2 

giác đó là tam giác vuông.
A
2

10. Cho tam giác ABC và 5 tan tan

[Type text]

B
 1 . Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b).
2