de cuong on tap toan lop 11 ki 2 vip

Gia sư Thành Được
www.daythem.edu.vn
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11
NĂM HỌC 2010 - 2011
A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.
Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
-

Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim

1
n

 0 , lim

1
1
 0 , lim 3  0 , lim q n  0 với |q| < 1
n
n

2/ Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số.
Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực
- Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số:
+) Nếu limun = + thì lim

-

1
un

0

limun

limvn = L

lim(unvn)



L >0





L<0





L >0





L<0



L >0
L>0
L<0
L<0

limvn

Dấu của
vn

0

+
+
-

lim

un
vn






Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số:

+) Nếu lim f  x    thì lim
x  x0

x  x0

lim f ( x)

x x0

+∞
-∞
+∞
- ∞

-

limun=L

lim g ( x)

x x 0

L>0
L<0

1

f  x

0

lim f ( x) lim g ( x) Dấu của
x x 0
g(x)

lim f ( x).g ( x)

x x0

x x 0

+∞
-∞
-∞

L>0
0
L<0

+∞

+
+
-

lim

x x 0

f ( x)
g ( x)

+∞
-∞
-∞
+∞

 0
; ;   ;0. ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử
 0
và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và
mẫu với một lượng liên hợp;…

Chú ý khi gặp các dạng vô định:

3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Cho CSN (un) lùi vô hạn (với q  1 ), ta có :

S  u1  u1q 

 u1q n 



4/ Xét tính liên tục của hàm số
Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0:
1

u1
1 q


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

+) Tính f(x0)
+) Tìm lim f  x  (nếu có)
x  x0

- Nếu lim f  x  không tồn tại f(x) gián đoạn tại x0.
x  x0

- Nếu lim f  x   L  f  x0   f(x) gián đoạn tại x0
x  x0

- Nếu lim f  x   L  f  x0   f(x) liên tục tại x0.
x  x0

5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.
Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM
1/ Tìm đạo hàm của hàm số
Phương pháp: Áp dụng các công thức tính đạo hàm
+) Các quy tắc tính đạo hàm:
c '  0 ;  x '  1

(u  v) '  u ' v '
(u.v) '  u '.v  v '.u
( k .u ) '  k .u '

'

 u  u '.v  v '.u
  
v2
v
'

'

v'
1
   2
v
v

 

x n '  n.x n 1

1
1
   2
x
x

1
x '
2 x

 

+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu y  f [u( x)] thì

 u  '  n.u
n

n 1

.u '

'

u'
1
   2
u
u
u'
u '
2 u

 
yx'  fu' .ux'

+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:

 sin x  '  cos x
 cos x  '   sin x

 sin u  '  u '.cos u
 cos u  '  u '.sin u

1
cos 2 x
1
(cot x) '   2
sin x

 tan u  ' 

 tan x  ' 

u'
cos 2 u
u'
(cot u ) '   2
sin u

2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hoành độ x0 có dạng:
y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)
3/ Vi phân
- Vi phân của hàm số tại nột điểm: df ( x0 )  f '( x0 ).x
- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0  x)  f ( x0 )  f '( x0 )x
- Vi phân của hàm số: df ( x)  f '( x)dx hay dy  y ' dx

4/ Đạo hàm cấp cao:
- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.
- Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’.
2


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

II. BÀI TẬP
CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:

a ) un 
e) u n

 1

n

2n  1
2

 1


n

sin 2n

n 1

b ) un 

2n
f ) un  n
3 1

n 1

3

n  cos 3n
n2  n

c ) un 

g ) un

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
2n  3n3  1
n3  3n  2
a) lim
b
)
lim
n3  n 2
2n 2  1

c) lim

 1


n



n 1

3

d ) un 

1
5n 1

h) un  n  1  n

3n  2
3
n  2n  1

d ) lim

4n 2  n  1
e) lim
1  2n

d) -3/25

e) -1

f) -2/3 g) -1/2

1  2n  3n5
(n  2)3 (5n  1) 2

4n 2  1  9 n 2  2
h) lim
2n

3n  2.5n
3n  4n  1
g ) lim
f ) lim n
2.4n  2n
3.5  4n
1
1
1
1


 ... 
i) lim un với un 
1.2 2.3 3.4
n  n  1
ĐS: a) -3 b) + c) 0

cos n
n n 1

h) 1 i) 1

Bài 3 : Tính các giới hạn sau:
a) lim(3n2  n  1)

b) lim(2n4  n2  n  3)

c) lim  3n2  n sin 2n 

d ) lim 3n2  n  1

e) lim  2.3n  5.4n 

f ) lim 3n2  1  2n

g ) lim n2  1  n

h)lim

i) lim



3n2  6n  1  7n

ĐS: a) +



k ) lim n

b) -  c) +

d) +



n 1  n

e) - 



f) - 

l ) lim

g) 0



n2  3n  n

h) + i) -

 n  n  n
m) lim  n  n  n 



3

n1

,...

1 1 1
1
b) 1, , , ,...,  
3 9 27
3

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng

 x3  5 x  1
a) lim 3
x  2 x  3 x 2  1

n1

,...


):


3x3  2

b) lim
x  2 x  1

5 x3  x 2  1
c) lim
x 
3x 2  x

x5  2 x3  4 x
5x2  1
e
)
lim
x  1  3 x 2  2 x 3
x  2 x 3  3 x 2  1
ĐS: a) -1/2
b) - c) -  d) - e) 0 f) -1/5
d) lim

f) lim

x 

x2  2 x  4 x2  1
2  5x

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a) lim (2 x3  x 2  3x  1)
x 

d) lim

x 

x 2  3x  2

b) lim ( x 4  x3  5 x  3)
x 

e) lim

x 



3x2  x  2 x



ĐS: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 
Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):
3

3

k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3

Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

1 1 1

 1
a) 1,  , ,  ,...,   
2 4 8
 2
ĐS: a) 2/3
b) 3/2

2

c) lim 4 x 2  x  2
x 

f) lim

x 



2 x2  x  x



2


Gia sư Thành Được
a) lim
x 3

x 1

x 3

b) lim
x 4

www.daythem.edu.vn

1 x

 x  4

ĐS: a) -  b) - 

c) lim

2

x 3

c) + 

2x 1
x 3

d) lim
x 2

2 x x
2 x  1
e) lim 2

x 0 x  x
x2

e) 1
f) + 
0
Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng ):
0
2
2
x 9
x  3x  2
x3  1
x3
a/ lim
b/ lim
c) lim 2
d) lim 2
x 3 x  3
x 1
x 3 x  2 x  3
x 1 x  1
x 1
x2  9
2x 1  3
x  2 1
2 x
f) lim
g) lim
h) lim

i) lim
x 4
x 1
x 3
x 2
x 2
x5 2
x 1  2
x 7 3
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6
g) 24
h) 4/3 i) 2 k) 0

Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):
x 



ĐS: a) 0

x2  1  x

b) 1



b) lim

x 

c) 1/4



x 1

3x  1
x 1

d) + 

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):
2x  3
2x 1
1 1

a) lim 
b) lim  x  1
c) lim x 2  9.
 1
2
x

1
x

3
x 0 x  x  1
x 1
x 3


ĐS: a) -1 b) 0 c) +
d) 0

a) lim

f) lim

x2  2 x  x2  1



c) lim

x 



4 x2  x  2 x

x2  2x  3
x 1 2 x 2  x  1
x 2  3x  2
k) lim
x 2
2 x

e) lim



d/ lim x3  8
x 2



d) lim

x 





x
2  x2

x2  x  x2  1

d) 1/2
sin x
 1)
x 0
x
1  cos 2 x
sin x.sin 2 x....sin nx
c) lim
d) lim
x 0
x 0

x sin x
xn

Bài 11: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Áp dụng lim
sin 3x
sin x sin 2 x
b) lim
x 0
x 0
x
3x 2
ĐS: a) 3 b) 2/3
c) 1
d) n!

a) lim

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:
 x2  4
khi x  -2

a) f ( x)   x  2
tại x0 = -2
 4
khi x  -2


 x2  4x  3

b) f ( x)   x  3


5

 2  x 1

d) f ( x)   3  x

3


khi x<3
khi x  3

 2 x 2  3x  5
khi x  1
khi x  3

c) f ( x)  
tại x0 = 1
x 1

7
khi x  1
khi x  3

2
 x 2
 x2
khi x  2
khi x  2



e/ f ( x)   x  2
tại x0 = 2
f) f ( x)   x  1  1
 3x  4
2 2
khi x  2
khi x  2


ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:
 1 x
 x 2  3x  2
khi x  2
2


a) f ( x)   x  2
b) f ( x)    x  2 

 3
1
khi x  2


 x2  x  2

c) f  x    x  2

 5 x


khi x  2
khi x  2

khi x  2
khi x  2

x
khi x  0


d) f  x   
x2
khi 0  x  1
 x 2  2 x  1 khi x  1


4

tại x0 = 3

tại x0 = 3

tại x0 = 2



Gia sư Thành Được
ĐS: a) hsliên tục trên R ;
c) hsliên tục trên R ;

www.daythem.edu.vn
b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.
d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.

Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.
 x2  x  2
 x2
khi x  1
khi x  1

a) f  x    x  1
với x0 = -1
b) f ( x)  
với x0 = 1
2ax  3 khi x  1


a
khi x  1

 x 7 3
3x 2  1 khi x  1
khi x  2

c) f ( x)   x  2
với x0 = 2

d) f ( x)  
với x0 = 1
2
a

1
khi
x

1

 a 1
khi x  2

ĐS: a) a = -3 b) a = 2
c) a = 7/6
d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:
a) x4  5x  2  0 có ít nhất một nghiệm.
b) x5  3x  7  0 có ít nhất một nghiệm.
c) 2 x3  3x2  5  0 có ít nhất một nghiệm
d) 2 x3  10 x  7  0 có ít nhất 2 nghiệm.
e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
g) x3  3x2  1  0 có 3 nghiệm phân biệt.
3
h) 1  m2  x  1  x 2  x  3  0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.









i) m  x  1 x 2  4  x 4  3  0 luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.
3

CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:
a) y  x3

b) y  3x 2  1

d) y 

c) y  x  1

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x
x3 x2
1) y    x  5
2) y  2 x 5   3
3 2
2
3
2
4) y  5x (3x  1)
5) y = (x – 3x )(x4 + x2 – 1)

7) y  ( x 2  1)(5  3x 2 )
8) y  x(2 x  1)(3x  2)
2

10) y    3x  x  1
11) y  2 x3
x




13) y  3x  x
4

16) y 

2

1
2
2 x  3x  5

19) y  x 2  6 x  7
22) y 

x 2  2x  3
2x  1



14) y   2 x  1  x  2  3x  7 
2

17) y 

x3  2 x
x2  x  1

20) y  x  1  x  2
23) y 

1 x
1 x

1
x 1
2 4
5
6
 2 3 4
x x
x 7x
2
3
6) y  ( x  5)
9) y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3

3) y 

12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5

2x2  5
15) y 
x2
 x2  7x  5
18) y 
x 2  3x
21) y  ( x  1) x 2  x  1





24) y  2 x 2  3 x  1

5

3


Gia sư Thành Được



25) y  x  x
2


3

www.daythem.edu.vn

x  2x
3

26) y =

x (x - x +1)

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1) y = 5sinx – 3cosx
2) y = cos (x3)
1
5) y  cos x. sin 2 x
6) y  cos x  cos3 x
3

9) y  cot 3 (2x  )
10) y  sin 2 (cos3x)
4
13) y  2  tan2 x
17) y 

cos x 4
 cot x
3sin3 x 3
18) y  x sin x
1  tan x

14) y  

1
(1  sin 2 2 x ) 2


x 
27) y   2 x 2  3 x 

x  2 


2

3) y = x.cotx
x
7) y  sin 4
2

4) y  (1  cot x ) 2
sin x  cos x
8) y 
sin x  cos x

11) y  cot 3 1  x2

12) y  3 sin 2 x. sin 3x

15) y  sin(2sin x)

16) y = sin 4 p - 3x

19) y  sin x  x

20) y  1  2 tan x

x

sin x

1
Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x)  sin 4 x  cos4 x và g ( x)  cos 4 x
4
Chứng minh rằng: f '( x)  g '( x) (x ) .

Bài 5: Cho y  x 3  3x 2  2 . Tìm x để: a) y’ > 0
x  0
ĐS: a) 
b) 1  2  x  1  2
x  2

b) y’ < 3

Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:
a) f(x) = cos x + sin x + x.
b) f(x) = 3 sin x  cos x  x
c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x
d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1
Bài 7: Cho hàm số f(x)  1  x. Tính : f(3)  (x  3)f '(3)

x2  2 x  2

Bài 8: a) Cho hàm số: y 
. Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2
2
b) Cho hàm số y =

x3
. Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’
x4

c) Cho hàm số y  2x  x2 . Chứng minh rằng: y3y" 1  0
Bài 9: Chứng minh rằng f '( x)  0 x  , biết:
2
a/ f ( x)  x9  x6  2 x3  3x 2  6 x  1
b/ f ( x)  2 x  sin x
3
x2  x
Bài 10: Cho hàm số y 
(C)
x2
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1.
Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)
a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x3  5x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C )
a) Tại M (0;2).
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
6

3


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y =
Bài 13: Cho đường cong (C): y 

1
x – 4.
7

x2
. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)
x2

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1
3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4
Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:
x
a) y  x 3  2 x  1
b) y  sin 4
2

c) y  x 2  6 x  7

Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
x 1
2x 1
1) y 
2) y  2
x2
x  x2
2
5) y  x sin x
6) y  (1  x 2 ) cos x
ĐS: 1) y '' 

6

 x  2

3

2) y '' 

5) y ''   2  x 2  sin x  4 x cos x

x
x 1
7) y = x.cos2x

3) y 

4 x3  10 x 2  30 x  14

x

2

 x2

3

6) y ''  4 x sin x  ( x 2  3) cos x

8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x
Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
1
a) y 
b) y = sinx
x 1
n!

n

ĐS: a) y  n    1
b) y  n   sin  x  n 
n 1
2

 x  1

7

e) y  (1  cot x ) 2

4) y  x x 2  1

2

3) y '' 



d) y  cos x. sin 2 x



8) y = sin5x.cos2x

2 x x2  3

x

2



1

3



4) y '' 

x

2 x3  3x
2

7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x



1

x2  1


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn
B. HÌNH HỌC

I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
 Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc
0
 Phương pháp 1: Chứng minh góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 90 .
 Phương pháp 2: a  b  u.v  0 ( u , v lần lượt là vectơ chỉ phương của a và b).
 Phương pháp 3: Chứng minh a  ( )  b hoặc b  (  )  a
 Phương pháp 4: Áp dụng định lí 3 đường vuông góc ( a  b  a  b ' với b’ là hình chiếu của đt b lên

mp chứa đt a).
 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P).
 Phương pháp 1: Chứng minh: d  a và d  b với a  b = M; a,b  (P)
 Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a  (P)
 Phương pháp 3: Chứng minh: d  (Q)  (P), d  a = (P)  (Q).
 Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q)  (R) và (Q) (P), (R)  (P).
 Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) và (Q) vuông góc.
 Phương pháp 1: Chứng minh (P)  a  (Q).
 Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R)  (Q).
 Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a  (Q).
 Dạng 4: Tính góc giữa 2 đt a và b.
 Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’  b’ = O)
- Khi đó: (a, b) = (a’, b’).
 Dạng 5: Tính góc giữa đt d và mp(P).
 Phương pháp: Gọi góc giữa đt d và mp(P) là 
+) Nếu d  (P) thì  = 900.
+) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ của d lên mp(P)
- Khi đó:  = (d,d’)
 Dạng 6: Tính góc  giữa hai mp (P) và (Q).
 Phương pháp 1:
- Xác định a  (P), b  (Q).
- Tính góc  = (a,b)
 Phương pháp 2: Nếu (P)  (Q) = d
- Tìm (R)  d
- Xác định a = (R)  (P)
- Xác định b = (R)  (Q)
- Tính góc  = (a,b).
 Dạng 7: Tính khoảng cách.
 Tính khoảng từ một điểm M đến đt a:
Phương pháp: d ( M , a)  MH (với H là hình chiếu vuông góc của M trên a).

 Tính khoảng từ một điểm A đến mp (P):
Phương pháp: - Tìm hình chiếu H của A lên (P).
- d(M, (P)) = AH
 Tính khoảng giữa đt  và mp (P) song song với nó: d(, (P)) = d(M, (P)) (M là điểm thuộc ).
 Xác định đoạn vuông góc chung và tính khoảng giữa 2 đt chéo nhau a và b:
+) Phương pháp 1: Nếu a  b :
8


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

- Dựng (P)  a và (P)  b
- Xác định A = (P)  b
- Dựng hình chiếu H của A lên b
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b
+) Phương pháp 2:
- Dựng (P)  a và (P) // b.
- Dựng hình chiếu b’ của b lên (P). b’ // b, b’  a = H
- Dựng đt vuông góc với (P) tại H cắt đt b tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
+) Phương pháp 2:
- Dựng đt (P)  a tại I cắt b tại O
- Xác định hình chiếu b’ của b trên (P) (b’ đi qua O).
- Kẻ IK  b’ tại K.
- Dựng đt vuông góc với (P) tại K, cắt b tại H.
- Kẻ đt đi qua H và song song với IK, cắt đt a tại A.
- AH là đoạn vuông góc chung của a và b.
II. BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).
b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC.
Bài 2:
a)
b)
c)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA  (ABCD). Chứng minh rằng:
BC  (SAB).
SD  DC.
SC  BD.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC  AD.
b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2 .
a) Chứng minh SO  (ABCD).
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD.
b) AC  BD.
Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vuông góc với nhau từng
đôi một.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC = a 3 , SA  (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông.
b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, tâm O và SA  (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu

vuông góc của A lên SB, SD.
9


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).
b) Chứng minh SC  (AHK).
c) Chứng minh HK  (SAC).
Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh BC  (SAI).
b) Tính SI.
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB).
b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BC.

BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc và OA= OB = OC = a.
Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
1. CMR: BC  (OAI).
2. CMR: (OAI)  (OHK).
3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC).
ĐS: a / 3
5. Tính côsin của góc giữa OA và mp (OHK).

ĐS: cos   6 / 3

6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC).
ĐS: tan   2
7. Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy.
ĐS: a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA  a 2 .
1. CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.
2. CMR: mp (SAC)  mp(SBD) .
3. Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB).
ĐS:   450 ,   300
4. Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD).
ĐS: tan   2
5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
ĐS: a 6 / 3
6. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a / 2
7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI.
ĐS: SI  a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA  SB  SD  a 3 / 2
và BAD  600 . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
1. CMR: BD  (SAC) và SH  (ABCD) .
2. CMR: AD  SB .
3. CMR: (SAC)  (SBD).
4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC.
ĐS: SH  a 15 / 6 và SC = a 7 / 2
5. Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), côsin của góc  giữa SC và (SBD).

ĐS: sin   3 / 3 và cos   3 / 14 .
6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD).

ĐS: a 10 / 12

7. Tính góc giữa (SAD) và (ABCD).
ĐS: tan   5
8. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng ấy.
ĐS: a 3 / 3
10


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

ĐS: 3 15a / 20
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A, AB = BC = a và ADC  450 .
9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI.

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vuông góc với mặt đáy và SA = a 2 .
1. CMR: BC  mp(SAB).
2. CMR: CD  SC .
3. Tính góc  giữa SC và (ABCD), góc  giữa SC và (SAB), góc  giữa SD và (SAC).
ĐS:   450 ,   300 , tan   2 / 2
4. Tính tang của góc  giữa mp(SBC) và mp(ABCD).

ĐS: tan   2

5. Tính khoảng cách giữa SA và BD.

ĐS: 2a / 5

6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
ĐS: 2a / 7
7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.
Từ đó tính MS và NS.
ĐS: MS  a , NS  a 6 / 2
Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là
trung điểm của AB và AD.
1. CMR: BD  (ACC'A') và A’C  (BDC') .
2. CMR: A'C  AB' .
3. CMR: (BDC’)  (ACC’A’) và (MNC’)  (ACC’A’).
4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’).
ĐS: a / 3
5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’).

ĐS: 3a / 17

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’).
7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD).

ĐS: tan   2 2 / 3
ĐS: tan   2

8. Tính côsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’).

ĐS: cos   7 / 51

9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’.

ĐS: a 3 / 3

11