ĐỀ cương ôn tập Toán 8 ( Học kì 2 )

Phương trình Bất phương trình
1/Hai phương trình tương đương :
Hai phương trình tương đương là hai
phương trình có cùng một tập nghiệm .
2/ Định nghĩa phương trình bậc nhất một
ẩn :
Phương trình dạng ax + b = 0 , với a và
b là hai số đã cho và a
≠
0 , được gọi là
phương trình bậc nhất một ẩn .
Ví dụ : 2x – 1 = 0
3/ Cách giải phương trình bậc nhất một
ẩn :
Chuyển các hạng tử chứa ẩn về vế trái ,
các hạng tử chứa số về vế phải .
Chú ý :
 Khi chuyển vế số hạng thì phải đổi
dấu số hạng đó
1/ Hai bất phương trình tương đương :
Hai bất phương trình tương đương là hai
bất phương trình có cùng một tập nghiệm
.
2/ Định nghĩa bất phương trình bậc nhất
một ẩn :
Bất phương trình dạng ax + b < 0( hoặc
ax + b > 0, ax + b
≤
0, ax + b
≥
0 )với a

và b là hai số đã cho và a
≠
0 , được gọi
làbất phương trình bậc nhất một ẩn .
Ví dụ : 2x – 3> 0, 5x – 8
≥
0
3/ Cách giải bất phương trình bậc nhất
một ẩn :
Chuyển các hạng tử chứa ẩn về vế trái ,
các hạng tử chứa số về vế phải .
Chú ý :
 Khi chuyển vế số hạng thì phải đổi
dấu số hạng đó.
 Khi chia cả hai về của bất phương
trình cho số âm phải đổi chiều bất
phương trình
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 8 HỌC KÌ II
I./ LÝ THUYẾT:
Câu 1 : So sánh phương trình và bất phương trình
Câu 2 : Nêu cách giải phương trình tích :A(x).B(x)C(x).D(x) = 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
A x
B x
C x
D x
=



=

⇔

=

=

Câu 4: Nêu cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu:
 Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình
 Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu .
 Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được .
 Bước 4: Đối chiếu ĐKXĐ để nhận nghiệm
Câu 5 : Nêu các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình :
 Chọn ẩn , đặt điều kiện thích hợp cho ẩn
 Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
 Lập phương trình (dựa vào đề toán )
 Giải phương trình , chọn nghiệm và kết luận
Câu 6 : Nêu cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1
Cần nhớ : khi a
≥
0 thì
a a=
khi a < 0 thì
a a= −
Câu 7 :
* Nêu định nghĩa tỷ số của 2 đoạn thẳng:

Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị đo.
* Nêu định nghĩa đoạn thẳng tỷ lệ :
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ của hai đoạn thẳng A’B’ và C’D’ nếu có tỉ
lệ thức :
AB
CD
=
' '
' '
A B
C D
hay
' ' ' '
AB CD
A B C D
=
Câu 8 : Nêu định lí TaLet trong tam giác :
Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại
thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ .
C'
B'
A
B
C
Câu 9 : Nêu định lí đảo của định lí TaLet: Nếu một đường thăng cắt hai cạnh của
một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đạon thẳng tương ứng tỉ lệ thì
đường thăng đó song song với cạnh còn lại .
C'
B'
C

B
A
Hệ quả của định lí TaLet : Nếu một đường thăng cắt hai cạnh của một tam giác và
song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng
tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho
GT
ABC : B’C’
P
BC;
(B’
∈
AB ; C’
∈
AC)
K
L
' ' ' 'AB AC B C
AB AC BC
= =

Định lí :
Nếu một đường thăng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh còn lại
thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho
Câu 10: Nêu tính chất đường phân giác trong tam giác :Trong tam giác , đường phân
giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với 2 cạnh kề hai đoạn
ấy .
2
, B’C’ BC
GT B’ AB
KL ;;

ABC ; B’ AB;C’ AC
GT
KL B’C’ BC

GT
ABC ,ADlàphân giác
của
·
BAC

KL
AB
AC
DB
DC
=
Câu 11 : Nêu định nghĩa hai tam giác đồng dạng :Tam giác A’B’C’ gọi là đồng
dạng với tam giác ABC nếu :
µ
µ
µ
µ
µ
µ
' ; ' ; ' ;
' ' ' ' ' '
A A B B C C
A B B C C A
AB BC CA
= = =

= =
Câu 12 : Nêu các cách chứng minh hai tam giác đồng dạng :
 Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam
giác đó đồng dạng .
 Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với 2 cạnh của tam giác kia và hai góc tạo
bởi các cặp cạnh đó bằng nhau , thì hai tam giác đó đồng dạng
 Nếu hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai
tam giác đó đồng dạng với nhau .
Câu 13: Nêu các cách chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng :
 Tam giác vuông này có một góc nhọn bằng góc nhọn của tam giác vuông kia
 Tam giác vuông này có hai cạnh góc vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của
tam giác vuông kia .
Câu 14 : Nêu công thức tính thể tích , diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của
hình hộp chữ nhật , hình lập phương , hình lăng trụ đứng
Hình Diện tích xung
quanh
Diện tích toàn
phần
Thể tích
Lăng trụ đứng
D C
A
H G
E
F
Sxq = 2p.h
P:nửa chu vi đáy
h:chiều cao
Stp = Sxq + 2Sđ V = S.h
S: diện tích đáy

h : chiều cao
Hình hộp chữ nhật





Đỉnh
Cạnh
Mặt
V = a.b.c
3
3
6
A
B
C
D
B
Hình lập phương V= a
3
Hình chóp đều Sxq = p.d
p : nửa chu vi
đáy
d: chiều cao của
mặt bên .
Stp = Sxq + Sđ
V =
1
3

S.h
S: diện tích đáy
h : chiều cao
II./ BÀI TẬP :
Giải các phương trình sau:
*Bài 1
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 1 3x 3 2x 1
2 3x
a) 7
5 10 4
8 1 3x 2 2 3x 140 15 2x 1
20 20 20
8 24x 4 6x 140 30x 15
30x 24x 6x 140 15 8 4
0x 121
− +
+
− = −
− + − +
⇔ − =
⇔ − − − = − −
⇔ − − = − − +
⇔ =
Phương trình đã cho vô nghiệm.
( )
2
2 2
2 2

b) 3 4x 25 2x 8x x 300
3 100x 8x 8x x 300
3 300 100x 8x 8x x
101x 303 x 3
− − = + −
⇔ − + = + −
⇔ + = − + +
⇔ = ⇒ =
*Bài 2:
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
a) x 1 4 x 2x 1 x 1 2 x 1 0
x 1 2x 2 x 1 2x 2 0 3 x 3x 1 0
3 x 0 ho x 3 ho
+ = − + ⇔ + − − =
 
 
⇔ + − + + + − = ⇔ − − =
⇔ − = ⇔ =
1
Æc 3x - 1 = 0 Æc x =
3
4
( )
( )

( ) ( )
3 2 2
2
b) 2x 5x 3x 0 x 2x 5x 3 0
x 2x x 6x 3 0 x 2x 1 x 3 0
1
x 0 ho ho
2
+ − = ⇔ + − =
⇔ − + − = ⇔ − + =
⇔ =
Æc x = Æc x = - 3
Vậy tập nghiệm là
1
S 0, 3,
2
 
= −
 
 
*Bài 3::
( )
2
2
2 x 2
x 1 x 1
a)
x 2 x 2 x 4
+
+ −

+ =
− + −
ĐKXĐ:
x 2≠ ±
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
x x 2
x 1 x 2 x 1 x 2
x 4 x 4
+
+ + + − −
⇔ =
− −
2 2 2
x 3x 2 x 3x 2 2x 4⇒ + + + − + = +
2 2 2
x x 2x 3x 3x 4 4
0x 0
⇔ + − + − = − +
⇔ =
Nghiệm đúng với mọi x khác
±
2
( ) ( )
3x 8 3x 8
b) 2x 3 1 x 5 1
2 7x 2 7x
+ +

   
+ + = − +
 ÷  ÷
− −
   
ĐKXĐ:
2
x
7
≠
. Ta có:
( ) ( )
( )
3x 8
1 2x 3 x 5 0
2 7x
3x 8
1 x 8 0
2 7x
3x 8
x 8 0 ho 1 0
2 7x
x 8 0 x 8
3x 8 3x 8 2 7x
1 0 0
2 7x 2 7x
5
10 4x 0 x
3
Æc

+
 
⇔ + + − − =
 
 ÷
 
−
 
+
 
⇒ + + =
 ÷
−
 
+
 
⇔ + = + =
 ÷
−
 
+ = ⇔ = −
+ + + −
 
+ = ⇔ =
 ÷
− −
 
⇒ − = ⇒ =
g
g

Cả hai giá trị trên của x đều thoả mãn ĐKXĐ. Do đó
5
S 8;
2
 
= −
 
 
Giải các bất phương trình sau:
*Bài tập 4:
a) x – 1 < 3 ⇔ x < 3 + 1 ⇔ x < 4
Vậy nghiệm của BPT là x < 4
5
)
0 4
b) x + 2 > 1 ⇔ x > 1 – 2 ⇔ x > - 1
Vậy nghiệm của BPT là x > - 1
(
- 1 0
*Bài tập 5
2x 3
a) 3 15 2x 3 12 2x
5
+
≤ ⇔ ≤ + ⇔ ≤


6 x x 6⇔ ≤ ⇔ ≥
.
Vậy nghiệm của bất phương trình là x≥ 6

( ) ( )
4x 5 7 x 4x 5 7 x
b) 0
3 5 3 5
5 4x 5 3 7 x 0
20x 25 21 3x 0 23x 46
x 2
− − − −
> ⇔ − >
⇔ − − − >
⇔ − − + > ⇔ >
⇔ >
Vậy nghiệm của BPT là x >2
*Bài tập 6: Tìm x để biểu thức
5 2x−
là số dương:
5
5 2x 0 2x 5 x
2
− > ⇔ − > − ⇔ <
Vậy để giá trị của biểu thức 5 – 2x là số dương thì
5
x
2
<
.
* Bài tập 7: Tìm x để giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của 4x – 5
x 3 4x 5 x 4x 5 3
8
3x 8 x

3
+ < − ⇔ − < − −
⇔ − < − ⇔ >
Vậy để giá trị của biểu thức x + 3 nhỏ hơn giá trị của 4x – 5 thì x >
8
3
.
Bài 8: Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:

a/
1
0
2 2 3 1
x x
x x
−
+ =
+ +
ĐKXĐ:
≠ − ≠ −
1
1;
3
x x
b/
2
1 4
0
1
x

x x
− =
+
ĐKXĐ:
≠
0x
6
Bài 8 :Giải các phương trình sau :
( )
( )
( )
/ 3 8 1
1:3 0 0 3 3
1 3 8
3 8
2 8
8
4(Choïn )
2
2:3 0 0 3 3
1 3 8
3 8
4 8
8
2(Choïn )
4
a x x
TH x x x x
x x
x x

x
x
TH x x x x
x x
x x
x
x
= +
∗ ≥ ⇔ ≥ ⇒ =
⇔ = +
⇔ − =
⇔ =
⇔ = =
∗ < ⇔ < ⇒ = −
⇔ − = +
⇔ − − =
⇔ − =
⇔ = = −
−
Vậy tập ngiệm của phương trình
là
S =
{ }
/ 4; 2x x x= = −
( )
( )
( )
( )
( )
/ 2 2 10 1

1: 2 0 2 2 2
1 2 2 10
2 10 2
1 12
12
12 choïn
1
2: 2 0 2 2 ( 2) 2
1 2 2 10
2 10 2
3 8
8 8
loaïi
3 3
b x x
TH x x x x
x x
x x
x
x
TH x x x x x
x x
x x
x
x
+ = −
∗ + ≥ ⇔ ≥ − ⇒ + = +
⇔ + = −
⇔ − = − −
⇔ − = −

−
⇔ = =
−
∗ + < ⇔ < − ⇒ + = − + = − −
⇔ − − = −
⇔ − − = − +
⇔ − = −
−
⇔ = =
−
Vậy tập nghiệm của phương trình là S =
{ }
/ 12x x =

Bài 9 Hai thư viện có cả thảy 20000 cuốn sách .Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất
sang thư viện thứ hai 2000 cuốn sách thì số sách của hai thư viện bằng nhau .Tính số
sách lúc đầu ở mỗi thư viện .
Lúc đầu Lúc chuyển
Thư viện I x x- 2000
Thư viện II 20000 -x 20000 – x + 2000
Giải : Gọi số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất là x ( x nguyên , sách )
Thì số sách lúc đầu ở thư viện thứ hai là 20000 – x
Nếu chuyển từ thư viện thứ nhất sang thư viện thứ hai 2000 cuốn sách thì
số sách của thư việnthứ nhất là x – 2000
số sách của thư việnthứ hai là 20000- x+ 2000
lúc đó số sách của hai thư viện bằng nhau nên ta có phương trình :
x- 2000 =20000 – x + 2000
<=> 2x = 20000+2000+2000
<=> 2x= 24000
<=> x= 2400: 2

<=> x=1200
vậy số số sách lúc đầu ở thư viện thứ nhất 12000 ( sách )
số sách lúc đầu ở thư viện thứ hai là8000 ( sách )
Bài 10 :
Số lúa ở kho thứ nhất gấp đôi số lúa ở kho thứ hai .Nếu bớt ở kho thứ nhất đi 750 tạ
và thêm vào kho thứ hai 350 tạ thì số lúa ở trong hai kho sẽ bằng nhau .Tính xem lúc
đầu mỗi kho có bao nhiêu lúa .
Lúa Lúc đầu Lúc thêm , bớt
Kho I 2x 2x-750
Kho II x x+350
7
Giải :
Gọi số luá ở kho thứ hai là x (tạ , x >0 )
Thì số lúa ở kho thứ nhất là 2x
Nếu bớt ở kho thứ nhất đi 750 tạ thì số lúa ở kho thứ nhất là :2x -750
và thêm vào kho thứ hai 350 tạ thì số lúa ở kho thứ hai là x + 350
theo bài ra ta có phương trình hương trình : 2x – 750 = x + 350
<=> 2x – x = 350 +750
<=> x= 1100
Lúc đầu kho I có 2200 tạ
Kho II có : 1100tạ
Bài 11 :Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5. Nếu tăng cả tử mà mẫu
của nó thêm 5 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số
2
3
.Tìm phân số ban đầu .
Lúc đầu Lúc tăng
tử số x x+5
mẫu số x +5 (x+5)+5= x+10
Phương trình :

5 2
10 3
x
x
+
=
+
Bài 12 :Năm nay , tuổi bố gấp 4 lần tuổi Hoàng .Nếu 5 năm nữa thì tuổi bố gấp 3 lần
tuổi Hoàng ,Hỏi năm nay Hoàng bao nhiêu tuổi ?
Năm nay 5 năm sau
Tuổi Hoàng x x +5
Tuổi Bố 4x 4x+5
Phương trình :4x+5 = 3(x+5)
Bài 13 : Lúc 6 giờ sáng , một xe máy khởi hành từ A để đến B .Sau đó 1 giờ , một
ôtô cũng xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình lớn hớn vận tốc trung bình của
xe máy 20km/h .Cả hai xe đến B đồng thời vào lúc 9h30’ sáng cùng nàgy .Tính độ
dài quảng đường AB và vận tốc trung bình của xe máy .
S V t(h)
Xe máy 3,5x x 3,5
O tô 2,5(x+20) x+20 2,5
Giải :
Thời gian xe máy đi từ A đến B là : 9h30’ – 6h = 3h30’ = 3,5 h
Thời gian ô tô đi từ A đến B là : 9h30’ – 7h= 3h30’ = 2,5h
Gọi vận tốc của xe máy là x ( x > 0 , km/h)
Vận tốc của ôtô là x + 20 (km/h)
Quảng đường xe máy đi là 3,5x
Quảng đường ôtô đi là 2,5(x+20)
Vì xe máy và ô tô đi cùng một đoạn đường nên ta có phương trình :
3,5x = 2,5(x+20)
⇔

3,5x = 2,5x +50
⇔
3,5x -2,5x = 50
⇔
x=50 (nhận )
Vậy vận tốc của xe máy là 50(km/h)
Vận tốc của ôtô là 50 + 20 = 70 (km/h)
8
Bài 14: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 km / h.Luc về người đó đi
với vận tốc 12km / HS nên thời gian về lâu hơn thời gian đi là 45 phút .Tính quảng
đường AB ?
S(km) V(km/h) t (h)
Đi x 15
15
x
Về x 12
12
x
Giải :
45 phút =
3
4
( giờ )
Gọi x là quảng đường AB ( x> 0, km )
thời gian đi
15
x
(giờ ) , thời gian về
12
x

( giờ )
Vì thời gian về lâu hơn thời gian đi là 45 phút nên ta có phương trình :
3
12 15 4
x x
− =

⇔
5x – 4x = 3.15
⇔
x = 45 (thoả mãn )
Vậy quảng đường AB dài 45 km
Bài 15 :Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 6 giờ và ngược dòng từ bến B
về bến A mất 7 giờ .Tính khoảng cách giữa hai bến A và B , biết rằng vận tốc của
dòng nước là 2km / h .
Ca nô S(km) V (km/h) t(h)
Xuôi dòng 6(x+2) x +2 6
Ngược dòng 7(x-2) x-2 7
Phương trình :6(x+2) = 7(x-2)
Bài 16:Một số tự nhiên có hai chữ số .Chữ số hàng đơn vị gấp hai lần chữ số hàng
chục .Nếu thêm chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số ấy thì được một số mới lớn hơn số
ban đầu là 370 .Tìm số ban đầu .
Giải :
Gọi chữ số hàng chục là x ( x nguyên dương )thì chữ số hàng đơn vị là 2x
Số đã cho là
( )
2x x
= 10x + 2x = 12x
Nếu thêm chữ số 1 xen giữa hai chữ số ấy thì số mới là :
( )

1 2x x
= 100x + 10 + 2x =
102x + 10
Vì số mới lớn hơn số ban đầu là 370 nên ta có phương trình : 102x +10 – 12x = 370
⇔
102x -12x = 370 -10
⇔
90x = 360

⇔
x= 360:90 = 4 (nhận )
Vậy số ban đầu là 48

Bài 17 :Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản suất 50 sản phẩm .Khi thực
hiện , mỗi ngày tổ đã sản xuất được 57 sản phẩm .Do đó tổ đã hoàn thành trước kế
hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm .Hỏi theo kế hoạch , tổ phải sản xuất
bao nhiêu sản phẩm ?
9
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Năng suất 1 ngày
( sản phẩm /ngày )
Số ngày (ngày) Số sản phẩm (sản
phẩm )

Kế hoạch 50
50
x
x
Thực hiện 57
13
57
x +
x+ 13
Phương trình :
50
x
-
13
57
x +
= 1
* Bài tập 18:
C/M:
a) Xét hai tam giác vuông BKC, CHB ta có:
µ µ
B C=
, BC là cạnh huyền chung
BKC CHB BK CH⇒ ∆ = ∆ ⇒ =
b) Từ giả thiết AB = AC và BK = CH

AK AH⇒ =

Ta có:
AK AH

KH // BC
AB AC
= ⇒
c) Vẽ thêm đường cao AI, ta có:
∆IAC ~ ∆HBC (g – g)
Nên
1
a
IC AC b
2
hay
HC BC HC a
= =
2 2 2 2
a a 2b a
HC AH b
2b 2b 2b
−
⇒ = ⇒ = − =
Từ KH // BC suy ra:
AH KH
AC BC
=
2 2
AH.BC 2b a a
KH
AC 2b b
−
 
⇒ = =

 ÷
 
3
2
a
a
2b
= −
*Bài tập 19:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Hãy cho biết:
a) Hình hộp này có mấy mặt, các mặt là hình gì? Kể tên vài
mặt đó?
b) Hình hộp chữ nhật có mấy đỉnh? Và có mấy cạnh?
10
10m
4m
5m
6m
C
1
B
1
A
1
C
B
A
c) AB và AA’ có nằm trong cùng 1 mặt phẳng hay không? Có điểm chung hay
không ?
d) AA’ và BB’ có nằm trong cùng 1 mặt phẳng hay không?

Có điểm nào chung hay không?
Giải:
a) Hình này gồm 6 mặt là: ABCD ; A’B’C’D’; …
b) Hình có 8 đỉnh là: A; B; C; D; A’; B’; C’; D’.
Và có 12 cạnh: AB; AA’; …
c) AB và AA’ nằm trong mặt phẳng (ABB’A’), có điểm chung là A.
d) AA’ và BB’ cùng nằm trong mặt phẳng (ABB’A’), nhưng không có điểm chung.
* Bài tập 20:
Tính diện tích toàn phần của lăng trụ đứng theo các kích thước như hình vẽ sau ?
Giải:
Diện tích đáy ABC là:
S
1
=
2
1
.4.6 = 12m
2
.
Diện tích mặt BCC
1
B
1
là:
S
2
= 6.10 = 60m
2
.
Diện tích mặt AA

1
B
1
B là:
S
3
= 10.5 = 50m
2
.
S
tp
của hình lăng trụ là:
S
tp
= 2S
1
+ S
2
+ 2S
3
= 184m
2
.
* Bài tập 21:
Cho hình vẽ sau:
Tính thể tích của thùng chứa?
Giải:
Vì thùng chứa có dạng lăng trụ đứng:
V = 1,6.3,1.7 = 34,72m
3

11
7m
1,6m
3,1m