ham so luong giac va phuong trinh luong giac toan 11 chuong 1 ham so phuong trinh luong giac

Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
sin² α + cos² α = 1
1
1 + tan² α =
(α ≠ π/2 + kπ, k là số nguyên)
cos 2 α
1
1 + cot² α =
(α ≠ kπ, k là số nguyên)
sin 2 α
tan α . cot α = 1 (α ≠ kπ/2, k là số nguyên)
2. Cung đối nhau
cos (–α) = cos α
sin (–α) = –sin α
tan (–α) = –tan α
cot (–α) = –cot α
3. Cung bù nhau
sin (π – α) = sin α
cos (π – α) = –cos α tan (π – α) = –tan α cot (π – α) = –cot α
4. Cung hơn kém π
sin (π + α) = –sin α cos (π + α) = –cos α tan (π + α) = tan α
cot (π + α) = cot α
5. Cung phụ nhau
sin (π/2 – α) = cos α cos (π/2 – α) = sin α tan (π/2 – α) = cot α cot (π/2 – α) = tan α
6. Công thức cộng

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb
cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb
sin (a – b) = sina cosb – sinb cosa
sin (a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan a  tan b
tan a  tan b
tan (a – b) =
tan (a + b) =
1  tan a tan b
1  tan a tan b
7. Công thức nhân hai và nhân ba
sin 2a = 2sina cosa
cos 2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a
2 tan a
tan 2a =
1  tan 2 a
sin 3a = 3sin a – 4sin³ a
cos 3a = 4cos³ a – 3cos a
8. Công thức hạ bậc
1  cos 2a
1  cos 2a
sin 2a
cos² a =
sin² a =
sina cosa =
2
2
2
9. Công thức biến tích thành tổng
1

cosa cosb = [cos (a – b) + cos (a + b)]
2
1
sina sinb = [cos (a – b) – cos (a + b)]
2
1
sina cosb =
[sin (a – b) + sin (a + b)]
2
10. Công thức biến đổi tổng thành tích
uv
uv
uv
uv
cos
sin
cosu + cosv = 2 cos
cosu – cosv = –2 sin
2
2
2
2
uv
uv
uv
uv
cos
sin
sinu + sinv = 2 sin
sinu – sinv = 2 cos

2
2
2
2
11. Hàm số sin: Hàm số y = sin x có tập xác định là R và –1 ≤ sin x ≤ 1, với mọi số thực x. Hàm số y = sin x
là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2π.
sin x = 0 <=> x = kπ, với k là số nguyên
sin x = 1 <=> x = π/2 + k2π, với k là số nguyên
sin x = –1 <=> x = –π/2 + k2π, với k là số nguyên
12. Hàm số côsin: Hàm số y = cos x có tập xác định là R và –1 ≤ cos x ≤ 1, với mọi số thực x. Hàm số y =
cos x là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2π.
cos x = 0 <=> x = π/2 + kπ, với k là số nguyên
cos x = 1 <=> x = k2π, với k là số nguyên
cos x = –1 <=> x = (2k + 1)π, với k là số nguyên


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

13. Hàm số tan: Hàm số y = tan x =

sin x
có tập xác định là D = R \ {π/2 + kπ | k  Z } là hàm số lẻ và tuần
cos x

hoàn với chu kì π.
14. Hàm số cot: Hàm số y = cot x =

cos x

có tập xác định là D = R \ {kπ | k  Z } là hàm số lẻ và tuần hoàn
sin x

với chu kì π.
15. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.
f(x) là hàm số chẵn <=> với mọi x thuộc D thì –x thuộc D và f(–x) = f(x)
f(x) là hàm số lẻ <=> với mọi x thuộc D thì –x thuộc D và f(–x) = –f(x)
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số
1  cos x
tan x
cot x
a. y =
b. y =
c. y =
sin x
3  cos x
sin x  1
cos x  3
d. y = cot (x + π/3)
e. y =
f. y = tan (π/3 – 3x)
sin x  1
tan x  3
1
g. y =
h. y = 1  cos x
i. y =
sin 3x
cos x  cos 3x

1  cos x
j. y = tan x + cot x
k. y =
1  cos x
Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số
a. y = 4 + 2sin x – cos 2x
b. y = 1 + cos 2x + cos x
c. y = 4 – 3cos x + 2sin² x
3
2
d. y =
e. y = 3 – 2sin x + cos² x
g.
2
1  2sin x
2  sin x
h. y = 3sin (x – π/4) + 2
i. y = 3(sin x + cos x) + 2sin 2x
Bài 3. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số
a. y = sin 2x
b. y = –2 + 3cos x
c. y = cos x – sin x
d. y = tan x sin x
e. y = cos x – sin |x| f. y = cot x |sin x|
Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình sin x = a
(1)
Nếu |a| > 1 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1, gọi α là cung thỏa mãn sin α = a, thì
sin x = a <=> sin x = sin α <=> x = α + k2π hoặc x = π – α + k2π (k thuộc Z)

Nếu α thỏa mãn điều kiện –π/2 ≤ α ≤ π/2 và sin α = a thì ta viết α = arcsin a.
Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian.
2. Phương trình cos x = a
(2)
Nếu |a| > 1 thì phương trình (2) vô nghiệm.
Nếu |a| ≤ 1, gọi α là góc thỏa cos α = a, thì
cos x = a <=> cos x = cos α <=> x = ±α + k2π, k là số nguyên
Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = a thì ta viết α = arccos a.
3. Phương trình tan x = a
(3)
Điều kiện x ≠ π/2 + mπ, m là số nguyên
Gọi α là cung thỏa mãn tan α = a.
Khi đó tan x = a <=> tan x = tan α <=> x = α + kπ, với k là số nguyên
Nếu α thỏa mãn điều kiện –π/2 < α < π/2 và tan α = a thì ta viết α = arctan a.
4. Phương trình cot x = a
(4)
Điều kiện x ≠ ℓπ (ℓ là số nguyên)
Gọi α là cung thỏa mãn cot α = a.
cot x = a <=> cot x = cot α <=> x = α + kπ, với k là số nguyên
Nếu α thỏa mãn điều kiện 0 < α < π và cot α = a thì ta viết α = arccot a.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a. 2cos (3x – π/6) = – 2
b. cos(x – 2) = 2/5
c. cos (2x + 50°) = cos 20°


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

d. (1 + sin x)(3 – cos x) = 0 e. tan 2x = tan 1
f. 3 tan (3x – 30°) = –1
g. cot (4x – π/6) = 1
h. sin (3x – 45°) = cos 30° i. sin (2x + π/6) = sin x
k. cos 2x cot x = 0
ℓ. cot 2x = tan x
m. sin 4x – π = 0
q. tan (x/2 – π/4) = tan (π/4) r. cos 3x = sin 2x
s. sin 4x sin 2x = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau:
a. sin (2x – 1) = sin(x + 3)
b. sin (3x + 30°) = cos 2x
c. sin (4x) + cos (5x – π/2) = 0
d. 2sin x + 2 sin 2x = 0
e. sin² 2x + cos² 3x = 1
f. tan 3x = tan (5x + π/4)
g. sin (2x + 50°) = –cos (x + 120°) h. tan (x – π/5) + cot x = 0
Bài 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác.
Phương trình dạng at + b = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là phương trình bậc
nhất đối với một hàm số lượng giác.
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
Phương trình dạng at² + bt + c = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là phương trình
bậc hai đối với một hàm số lượng giác.
3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
Phương trình có dạng asin x + bcos x = c
(1)
Cách giải
a
b

Chia hai vế phương trình (1) cho a 2  b 2 và đặt cos α 
;sin α 
2
2
2
a b
a  b2
c
Phương trình (1) trở thành sin(x + α) =
(2)
a 2  b2
Giải nghiệm từ phương trình (2)
Chú ý: phương trình có nghiệm <=> a² + b² ≥ c²
4. Phương trình a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d
a
b
c
Cách 1: a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d <=> (1  cos 2x)  sin 2x  (1  cos 2x) = d
2
2
2
<=> b sin 2x + (c – a)cos 2x = 2d – a – c
(*)
Giải phương trình (*) theo dạng phương trình bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x
Cách 2: Nếu cos x = 0 không là nghiệm thì chia hai vế của phương trình cho cos² x ta được
a tan² x + b tan x + c = d(1 + tan² x) <=> (a – d) tan² x + b tan x + c – d = 0
(*)
Giải phương trình (*) theo dạng bậc hai đối với một hàm lượng giác
Nếu cos x = 0 là nghiệm của phương trình thì ta có a = d và phương trình tương đương với
b sin x cos x + c cos² x = a(1 – sin² x)

<=> b sin x cos x + c cos² x = a cos² x
<=> cos x [b sin x + (c – a)] = 0
(*)
Giải nghiệm từ phương trình (*)
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. 4sin x – 3 = 0
b. 3tan x + 3 = 0
c. 2cos 3x + 1 = 0
d. sin (3x + 1) = sin (π/4)
e. cos (x + 2π/5) = sin 1
f. tan² x – 3 = 0
g. sin 2x cos 3x (tan 4x + 1) = 0
h. 8sin x cos x cos 2x = 3 i. sin 2x = 2cos x
j. 3tan² x + 3 tan x = 0
k. 4sin 2x – sin² 2x = 0
ℓ. 3 – 2sin 3x = 0
m. cot x + tan x = 2
n. cos² 2x = 3/4
o. 8cos³ x – 1 = 0
Bài 2: Giải các phương trình sau:
sin 2x
0
a. tan 3x tan x = 1
b. cot 2x. cot (x + π/4) + 1 = 0
c.
1  cos 2x
Bài 3: Giải các phương trình sau
a. 3cos² x – 5cos x + 2 = 0 b. 4sin² x – 4sinx – 3 = 0
c. cot² x – 4cot x + 3 = 0

d. tan² x + (1  3) tan x  3 = 0
e. 5cos² x + 7sinx – 7 = 0
4
f. tan x – 4tan² x + 3 = 0
g. sin³ x + 3sin² x + 2sin x = 0


Gia sư Thành Được

www.daythem.edu.vn

h. cos 2x + 9cos x + 5 = 0
i. sin² 2x – 2cos² x = –3/4
Bài 4: Giải các phương trình sau:
a. sin x + 3 cos x  2
b. sin x – cos x = 1
d. sin 5x + cos 5x = –1
e. 3sin x – 4cos x – 5 = 0

j. 4cos4 2x + 3 = 7cos² 2x
c. 2cos x – sin x = 2
f. 2sin² x + 3 sin 2x = 3

g. sin 5x + cos 5x = 2 cos 13x
h. sin x – 2 sin 3x – cos x = 0
Bài 5: Giải các phương trình sau:
a. 2sin² x – sin x cos x – cos² x = 2
b. 4sin² x – 4sin x cos x + 3cos² x – 1 = 0
c. 2cos² x – 3sin 2x + sin² x = 1
d. 2sin² x + sin x cos x – cos² x – 3 = 0

e. 4sin² x + 3 3 sin 2x – 2cos² x – 4 = 0
f. sin³ x + 2sin² x cos x = 3cos³ x
g. 3 sin x cos x – sin² x = –1
i. 3cos² x + 2sin² x = 5sin x cos x
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. cos 3x – cos 4x + cos 5x = 0
b. sin 7x – sin 3x = cos 5x
c. cos 5x cos x = cos 4x
d. sin x + 2sin 3x = –sin 5x
e. 2tan x – 3cot x – 2 = 0
f. sin² x – cos² x = cos 4x
g. 2tan x + 3cot x = 4
h. cos x tan 3x = sin 5x
i. 2sin² x + sin 2x – 1 = 0
Bài 7. Giải các phương trình sau
1. cos³ x + cos² x + 2sin x – 2 = 0
2. tan x sin² x – 2sin² x = 3(cos 2x + sin x cos x)
sin 2x
 cos 2x  2 cos x  1
3. 2sin 3x – (1/sin x) = 2cos 3x + (1/cos x)
4.
1  2sin x
5. 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1)
6. sin x + cos x = 4sin³ x
7. sin (3x – π/4) = sin 2x sin (x + π/4)
8. sin³ x.cos 3x + cos³ x.sin 3x = sin³ 4x
Gợi ý: sin³ x = (3sin x – sin 3x)/4, cos³ x = (3cos x + cos 3x)/4
1
1
7π


 4sin(  x)
9.
10. sin 3 x  3 cos3 x  sin x cos 2 x  3 sin 2 x cos x
sin x sin(x  3π / 2)
4
11. 2sin x (1 + cos 2x) + sin 2x – 2cos x – 1 = 0
12. sin 2x + cos 2x = 1 + sin x – 3cos x
13. 2sin x + cot x = 2sin 2x + 1
14. 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2cos 2x = 0
sin 4 x  cos 4 x 1
1
2(cos x  sin x)
 (tan x  cot x)
15.
16.

sin 2x
2
tan x  cot 2x
cot x  1
17. 2sin² (x – π/4) = 2sin² x – tan x
18. sin 2x(cos x  3)  2 3 cos3 x  3 3 cos 2x  8( 3 cos x  sin x)  3 3  0
19. cos x = 8sin³ (x + π/6)
20. cos 2x + 5 = 2(2 – cos x)(sin x – cos x)
21. 2cos 3x + 3 sin x + cos x = 0
22. 8(cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x) = 2 + 3 2
23. sin 2πx + sin πx = 0
24. sin (2x + 5π/2) – 3cos (x – 7π/2) = 1 + 2sin x
sin x  sin 2x  sin 3x

 3
25. sin³ x + cos³ x = 2(sin5 x + cos5 x)
26.
cos x  cos 2x  cos 3x
27. (1 – sin x)tan² x = 1 + cos x
28. tan 2x – tan 3x – tan 5x = tan 2x tan 3x tan 5x
4x
π
1
1

29. cos
= cos² x
30. 2 2 sin(x  ) 
3
4
sin x cos x
2
31. 2tan x + cot 2x = 3 
32. cos x cot 3x = cos 5x cot x
sin 2x
33. sin² x + sin² 2x + sin² 3x = 2